Мы живем в потоке образов... Это означает, что мы реагируем не на саму реальность, а на тот образ, который она вызывает.
Павел Гуревич. Динамика человеческой психики
Основы прикладной геометрии - форма и размеры. Все.
Но если вы хотите более углубленно ознакомиться с основами геометрии, то пожалуйста:
Изучение геометрии, как впрочем и любой другой научной дисциплины, невозможно без определения основных понятий. Между тем эти понятия в современных школьных учебниках даются чрезвычайно скупо и непонятно (пример ниже). Большинству учеников остается лишь принять их на веру подобно христианским догматам и таким образом навсегда выключиться из увлекательнейшего процесса познания мира. Мне такое положение дел кажется не правильным. Человек к 13-14 годам вполне способен если не полностью понять, то хотя бы в общих чертах усвоить следующее:
Геометрия - одна из простейших моделей окружающего нас мира. Простейших потому, что геометрия очень наглядна и большую часть задач геометрии можно решить графическим способом, не прибегая ни к каким вычислениям. Но даже в случаях, когда без вычислений решение задачи невозможно, геометрия была и остается очень простым, удобным инструментом, используемым человеком с древнейших времен.
Пример 1:
У вас есть кирпичи (или скоро будут) и вы хотите из этих кирпичей построить дом, но не знаете, сколько кирпичей вам для этого нужно. Ответ на этот вопрос вам даст геометрия. Конечно же, перед началом строительства у вас могут возникнуть и другие вопросы: насколько эти кирпичи тяжелые? насколько кирпичи прочные? каковы их теплоизоляционные свойства? и множество других вопросов. И хотя ответы на эти вопросы следует искать в других научных дисциплинах, но и для расчета массы кирпича и для определения прочности и расчета теплопроводности все равно потребуется знание геометрических характеристик кирпича. Так что, как видим, в современной жизни, и в частности в строительстве, без знаний геометрии совершенно не обойтись.
Однако это вовсе не означает, что решать подобные задачи могут только люди.
Пример 2:
Все мы видели кузнечиков, прыгающих с травинки на травинку, или как минимум слышали песню о том, как в траве сидел кузнечик. Казалось бы, ерунда, ничего сверхъестественного. Но даже такое насекомое, как кузнечик, прыгая с травинки на травинку, за доли секунды успешно решает достаточно сложные с точки зрения человека задачи, а именно: кузнечик видит соседнюю травинку, соотносит видимый образ с образом хранящимся в памяти и проанализировав эти два образа кузнечик определяет расстояние до этой травинки - для решения подобных задач современный человек часто использует знания по геометрии и не только; также кузнечик определяет прочность травинки и решает, выдержит его травинка или нет - для этого современному человеку нужны как минимум знания строительной механики и теории сопротивления материалов; а еще кузнечик рассчитывает силу, с которой нужно оттолкнуться, чтобы долететь до травинки - для подобных расчетов современный человек использует знание законов динамики. И это еще максимально упрощенная формулировка задачи.
Ну а такой представитель млекопитающих как человек, способен еще быстрее и точнее решать более сложные жизненные задачи, совершенно не обучаясь в университетах и академиях. Из этого можно сделать вывод, что практически все люди без серьезных отклонений умственного развития (а такими обычно и являются учащиеся средних школ) изначально знают и геометрию и математику и физику и многие другие дисциплины в некотором объеме (об этом чуть ниже). И если ученики не понимают какую-либо науку в том виде, в каком она изложена, то вина в том не учеников, а учителей.
Пример 3:
Даже самая распоследняя блондинка родом из анекдотов, зайдя в ювелирный магазин, за доли секунды выберет себе колечко нужного размера. А если блондинка и задержится в магазине на пару-тройку часов, то вовсе не из-за проблем с геометрией, а потому, что колец и перстней много, форма и материалы их разные, виды сочетание и драгоценных камней захватывают дух и все эти украшения хочется примерить и таким образом подобрать не просто кольцо, подходящее по размеру, но и самое красивое с точки зрения блондинки. А между тем, человеку, знающему геометрию и ищущему ответ с помощью этих знаний, пришлось бы сначала определить внутренний диаметр кольца, потом определить длину внутренней окружности кольца, определить несколько длин окружности поперечных сечений пальца (фаланги пальцев с мышцами и кожей на них - совсем не цилиндры) и на основании этих расчетов принимать решение (впрочем, возможны и другие варианты решения задачи). Даже профессору математики для этого потребуется как минимум несколько минут, а еще хоть какой-то измерительный инструмент (профессора как правило видят уже плохо и на зрение им полагаться не стоит), а возможно и калькулятор (с годами умножать число π на радиус в уме становится все труднее). Однако даже профессор не сможет подобрать самое красивое кольцо, потому как понятие красоты геометрией не рассматривается.
Когда же человек успевает постичь все эти тайны мироздания и как они доступны даже животным?
Сразу скажу, ответа на этот вопрос я не знаю, но могу высказать предположение, что для живых существ, имеющих нервную систему
2. Возможны как минимум два метода познания мира:
1.а) Практический
требующий большого расхода энергии.
Этот метод можно назвать методом проб и ошибок. Суть метода в том, что человек, как и любое другое животное, изначально не знает ответа на возникший вопрос, а потому просто перебирает все возможные варианты и четко запоминает правильный. Например, годовалый ребенок несколько дней, а то и недель, учится складывать из кубиков (простых геометрических фигур) пирамиду (сложную геометрическую фигуру), чтобы затем порадовать родителей и собрать пирамиду за несколько секунд; или обезьяна месяц пытается сложить из ящиков разных размеров подобие пирамиды, чтобы научиться доставать банан за несколько минут. Но это далеко не единственное возможное определение для практического метода познания мира. Еще его можно назвать интуитивным или подсознательным, потому что, возможно, самая важная информация, полученная нашими предками, сохраняется не только в памяти предков, но и на генетическом уровне передается потомкам и потому определение "интуитивный" или "подсознательный" также приемлемо. А еще это позволяет понять, почему девочки месяцев шести от роду, не умеющие не только говорить, но даже стоять или сидеть, уже смотрят на незнакомых мужчин таким выразительным взглядом, каким и не каждая половозрелая блондинка владеет.
Это очень важный и нужный метод познания. Как мы уже видели на примере 3, практический или интуитивный метод познания часто позволяет решать возникающие в жизни задачи намного быстрее, чем рассматриваемый ниже логический способ.
1.б) Игровой
Этот метод познания мира является как бы подвидом практического метода познания мира и отличается от практического только тем, что в реальной жизни задачи, требующие решения, еще не возникли, однако ситуация, подобная жизненной, моделируется заранее. Например, годовалый ребенок с одной стороны решает практическую задачу, складывая пирамиду, а с другой стороны, просто играется, так как насущной необходимости в складывании пирамиды нет, все пирамиды, заслуживающие внимания, уже давно построены египтянами. Однако знания, полученные в ходе складывания пирамиды, несомненно ребенку пригодятся. Ну а когда девочка играет с куклами, то тут вообще без вопросов. Возможно этот метод познания мира следует сделать отдельным пунктом, пока не знаю.
2.а) Умозрительный (логический)
требующий минимального расхода энергии.
Человек, в отличие от многих других животных, постигая окружающий мир практическим методом, научился не только запоминать результаты, но и делать выводы, т.е. устанавливать причинно-следственную связь между явлениями, а, значит, с большой долей вероятности прогнозировать результаты тех или иных событий (следствия тех или иных причин). Например, осенний день, небо затянуто тучами, идет дождь. Поэт в такой ситуации напишет какое-нибудь стихотворение, посвященное возлюбленной, художник оценит пропорции, игру света и тени, а человек, логически мыслящий, установит причинно-следственную связь между наблюдаемыми явлениями: сначала определит направление движения капель дождя и сделает вывод, что дождь идет из туч, значит тучи - причина дождя, а сам дождь - следствие. Дальнейшие логические рассуждения приведут человека к мысли о том, что если на небе тучи, то не мешает перед выходом из дома взять зонт, а не бежать за зонтом, когда пойдет дождь.
Логический метод познания отличается от практического тем, что человек все действия, используемые при практическом или игровом постижении мира, совершает мысленно. А кроме того, при решении различных задач человек не обращает внимания (этот прием называется абстрагированием) на те признаки постигаемых вещей, которые существенного значения для решения задачи не имеют и потому только мешают.
Пример 4 (на основе примера 1):
Кирпич как и любой объект реального, окружающего нас мира, может быть тяжелым или легким с точки зрения физики; иметь красный, желтый или любой другой цвет с точки зрения оптики; быть неоднородным, иметь трещины, раковины и другие дефекты с точки зрения теории сопротивления материалов; дорогим или дешевым с точки зрения экономики, красивым или не красивым с точки зрения эстетики и так далее. Но для геометрии это не имеет ровно никакого значения. Для геометрии важна только форма кирпича - параллелепипед (или другая) и размеры. Эти признаки реального объекта позволяют создавать абстрактный образ геометрической фигуры и уже работать с этим образом, не отвлекаясь на все другие характеристики реального кирпича.
Примечание: Подобный прием характерен не только для науки, но и для искусства, ничего странного в этом нет, так как и наука и искусство оперируют абстрактными образами, но не действительностью. Например литературные образы лисы, волка, ягненка, медведя и прочих животных в баснях Эзопа используются только для определения главных с точки зрения человека качеств того или иного животного. Лиса - хитрая, волк - злой, ягненок - беззащитный, медведь - сильный. И не вдаваясь в тонкости эзопова языка и морали, можно сказать, что этот прием позволил максимально сократить размер произведений. Впрочем, даже в больших по объему произведениях, включающих целые тома, авторы все равно ограничиваются описанием только характерных признаков героев. Сюда же можно отнести и такой распространенный литературный прием, как сравнение, в научных дисциплинах подобием сравнения являются примеры.
Такой метод постижения мира позволяет человеку экономить значительное количество физической энергии, но при этом увеличивать расходы энергии на работу мозга. Если рассматривать эволюцию с энергетической точки зрения, то именно логическое мышление позволило подняться человеку выше всех животных. Как именно это произошло - отдельный большой вопрос, но несомненно, что логический метод постижения мира невозможен без практического. А еще погружать человека без соответствующих практических знаний в чужой абстрактный мир совершенно бессмысленно. Решая различные задачи, человек создает свой уникальный мир абстрактных образов. Тем не менее для большинства объектов и явлений реального мира образы, возникающие в воображении различных людей, очень похожи, хотя и не идентичны. Это помогает людям понимать друг друга. На этом взаимном понимании и должна строиться система образования.
2.б) Поисковый (машинный)
требующий наличия интернета. Это относительно новый способ познания мира и его возможно тоже следует сделать отдельным пунктом. Особенность этого метода познания в том, что источником информации, помогающей понять этот мир, является некий текст, выложенный в сети, при этом ценность той или иной информации определяют не люди, а алгоритмы поисковых систем. Любой текст оценивается не с точки зрения значимости для человечества, полезности, художественного содержания или как минимум информативности - машины такими понятиями пока не владеют, для них и библия и надпись на заборе не имеют принципиальной разницы. А оцениваются тексты с точки зрения уникальности, вхождения ключевых слов, соответствия тайтла и дескрипшина основному содержанию, количеству ссылочной массы и еще по двум сотням признаков. По этим признакам поисковые системы формируют список выдачи, в этом списке в зависимости от поискового запроса могут быть миллионы веб-страниц. При этом совсем не факт, что даже первый десяток результатов будет соответствовать запросу, а дальше заглядывает редкий пользователь. Конечно же тексты из интернета используются для логического познания окружающего мира пока еще относительно небольшим количеством людей, основная масса использует интернет для чувственных наслаждений или игрового постижения мира, тем не менее тенденция все увеличивающегося влияния интернета на сознание очевидна, да и совершенствование поисковых алгоритмов и введения самообучающихся систем позволяет говорить о том, что революция роботов уже свершилась, на смену человеческому идет машинное мышление, только основная масса людей пока этого не замечает.
Примечание: В "Метафизике" и еще более подробно в трактате "О душе" Аристотель определяет 3 вида души: растительную, животную и разумную, при этом вкладывая в понятие души совершенно отличный от современного смысл. Под растительной душой Аристотель понимает вообще всякое стремление к жизни и в частности к продолжению рода. Это можно понимать как некое изначальное стремление к удовольствию. Такая душа есть у всех живых организмов. Животная душа более сложная и если переосмыслить Аристотеля, то у обладателей животной души есть органы чувств числом 5: зрение, слух, обоняние, осязание и вкус, а еще память. Эти органы чувств вкупе с памятью позволяют получать обладателям животной души намного больше удовольствий, чем обладателям только растительной души. Животная душа вместе с растительной есть у животных. Разумная душа есть только у человека и думаю, уже понятно, что только человек может получать удовольствие от процесса мышления, но и удовольствия, получаемые человеком с помощью органов чувств, более разнообразны. Боэций добавил к этим определениям понятие силы. В его трактовке душа едина, но может иметь растительную силу, животную силу и разумную силу. Мне такое уточнение кажется правильным, но не соответствующим сегодняшнему дню. Используя современное понимание окружающего нас мира, достаточно заменить понятие души или душевной силы на понятие "нервная система" и все должно встать на свои места. Однако растения не имеют нервной системы в том виде, в каком мы ее себе сейчас представляем, а главное, не имеют памяти (опять же в том виде, в каком мы ее себе представляем), так как память - одна из функций головного мозга - венца нервной системы (проблемы машинного мышления здесь не рассматриваются). Поэтому логично вытекающий из вышесказанного растительный метод познания мира я не рассматривал, хотя существование такого метода познания, требующего не только очень большого расхода энергии, но и еще очень долгого, я допускаю (возможно это как-то связано с интуитивным методом познания?). Ведь растения, хоть и очень медленно, но реагируют на изменения окружающей среды, на действия окружающих растений и животных и явно стремятся к продолжению рода, потому предположение о наличии некоего подобия нервной системы у растений вполне допустимо. А значит допустимо и предположение о некотором изначальном растительном методе познания мира. Впрочем, тут может быть просто проблема с понятием "познание", ведь что такое познание? - это понимание. А понимать - поймати - поимати - поиметь в принципе означает то же, что и совокупление с целью продолжения рода. Если рассматривать проблему познания с этой точки зрения, то и растения несомненно обладают своим пониманием мира.
Из приведенных примеров можно сделать простой вывод в полном согласии с логикой человеческого мышления: обучение в школе конечно же необходимо, но в начальных классах должно вестись только в игровой форме и только к 4-5 классу, а может и позже, можно постепенно погружать учеников в разнообразнейшие миры человеческих абстракций. Но все равно, начиная с первого же класса и даже с детского сада, детям нужно сначала пояснять, для чего те или иные знания нужны и приводить простые и наглядные примеры применения полученных знаний. Однако достаточно открыть любой учебник, даже и для первого класса, чтобы убедиться, что такой вывод ошибочен. Например, возьмем учебник по математике для 1 класса (М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова), 2006 года издания:
 
Рисунок 1. Некоторые страницы из учебника по математике для 1 класса общеобразовательной школы.
Напомню, что к этому времени первоклашки, часто шестилетние малыши, только знакомятся с цифрами и числами и вышеприведенный материал дается между изучением числа 5 и числа 6 (вот бы старик Евклид порадовался!). В таком же стиле даются понятия луча, окружности, треугольников, четырехугольников и других геометрических фигур. В принципе страницы учебника настолько показательны (особенно хорошо определение кривой линии и призыв: "Учись чертить"), что добавить мне нечего кроме того, что в целом это еще хороший учебник, бывают и хуже.
Зачем же такая спешка? Судя по учебникам геометрии за 7 класс, только для того, чтобы в предисловии к основному курсу сказать: "На уроках математики вы познакомились с некоторыми геометрическими фигурами и представляете себе, что такое точка, прямая, отрезок, луч, угол, как они могут быть расположены относительно друг друга. Вы знакомы с такими фигурами, как треугольник, прямоугольник, окружность, круг и др." (источник цитаты не привожу, подобные предисловия есть практически во всех учебниках по геометрии). Вот так. Тема основных понятий и определений закрыта. Некогда рассусоливать, впереди контрольные, проверки, экзамены. Не знаю, как у других детей, но у моей дочери, несколько лет рвавшейся в школу и даже сочинявшей сказки о школе, желание учиться отпало уже в 1 классе. Зачем Евклид накропал 13 томов своих "Начал", а сотни выдающихся математиков в течение двух с лишком тысяч лет пытались постигнуть эти начала, в процессе постижения открывая и формулируя новые понятия, ставшие важными этапами развития множества современных наук - загадка.
Почему так получилось, опять же не знаю, но кое-какие предположения имею. Но так как я являюсь обычным человеком и мое восприятие окружающего мира не может претендовать на объективность, а мое мнение об истинности или ложности тех или иных суждений вполне может оказаться неправильным, что может следовать из вышеприведенного примера, то считаю необходимым привести еще два предположения, на которых основана моя система восприятия мира и все дальнейшие рассуждения:
1. Мир вокруг нас по-прежнему не постижим и по-прежнему не завершен.
2. Возможны как минимум два метода познания мира (уже приводилось выше)
3. Человек есть существо не довольное (самое недовольное из всех животных), но стремящееся к удовольствию
(впрочем, это предположение - одно из следствий логического метода познания мира).
Используя эти предположения, можно вывести много чего. Например: человек в отличие от всех остальных животных не принимает окружающий его мир таким, как есть, и соответственно не пытается приспособиться под этот мир, а постоянно пытается изменить окружающий мир под свои все возрастающие потребности. Так, если другие животные выживают, наращивая клыки, отращивая более густую и длинную шерсть или увеличивая скорость бега, то человек выживает, наращивая объем мозга. А для того, чтобы изменять мир, нужно его понимать или как минимум верить другим людям, которые объясняют этот мир более-менее правдоподобно. Другими словами, принимать их мир абстрактных образов. При этом, чем проще объяснение окружающего мира - тем больше у такого объяснения приверженцев по той простой причине, что для понимания простых и наглядных образов умственной энергии требуется меньше. Примеров таких упрощенных объяснений мира - сотни, из наиболее известных: большинство духовных практик, включающих все современные формы религии, сказки и мифы всех народов мира, астрология, алхимия, хиромантия, каббала, нумерология, коммунистическая идея (идея борьбы классов), сонники, психоанализ в формулировке Фрейда, реклама. Тем не менее есть приверженцы и у популярных способов объяснения мира (сюда по идее должны входить естественные науки) и даже у довольно сложных, таких как философия.
"Упрощенный" не означает "ошибочный" или "неправильный". Так множество наук, ныне считающихся лженауками, основаны на неких предпосылках, позволяющих делать вполне определенные логичные выводы. Например астрология считает, что судьба человека зависит от расположения звезд в момент рождения, хиромантия - что судьба человека зависит от расположения линий на руке и так далее. Кому-то такие предпосылки кажутся верными, кому-то нет. Как бы то ни было, многие из указанных способов постижения мира существуют и по сей день. Причины этого могут быть в следующем:
Упрощенные, популярные и даже сложные способы объяснения мира как правило подтверждают одно, а то и все из трех основных убеждений, формирующихся в мозгу человека на подсознательном уровне по мере его развития:
1. Веру в собственное бессмертие;
2. Веру в собственную сексуальную неотразимость, проще говоря, в исключительную собственную красоту и физическую силу.
3. Веру в собственную гениальность, другими словами в исключительную силу собственных мыслей и чувств.
И хотя большинство людей, получая двойки по основным школьным предметам, получая отказ от особи противоположного пола, наблюдая смерти других людей, должны бы убедиться в ложности этих убеждений, но тем не менее самую большую ошибку допустит тот человек, который предположит, что избавился от подобных убеждений (так считает Эрик Берн и я с ним согласен).
В принципе геометрия, как и прочие естественные науки, медицина, биология, должны быть популярными способами объяснения мира или даже приближаться к упрощенным. Однако представители материалистического взгляда на окружающий мир, преобладающего в существующей системе образования, пытаются представить все ныне существующие науки, как некую объективную истину, не зависящую от человека, и не любят упоминать о том, что мир идей, впервые описанный Платоном, по-прежнему является неотъемлемой частью современного материалистического мышления и даже система образов, относительно недавно сформулированная психоаналитиками, есть не что иное, как модифицированный мир идей Платона. При изложении основ любой научной дисциплины из учебников выбрасываются все логические цепочки и причинно-следственные связи, приведшие к появлению и формированию той или иной научной дисциплины. Вместо этого даются абстрактные формулировки, сопровождаемые такими же абстрактными задачами, все это в странной последовательности да еще и в огромных объемах, на которые обычный детский мозг, по моему мнению, не рассчитан. В результате дети школьные дисциплины конечно изучают, но не для того чтобы научиться лучше познавать мир, а чтобы сдать экзамен, порадовать родителей, получить новый телефон или компьютер. А еще стать надежным безмолвным звеном сложившейся системы.
Начало такому положению дел вполне возможно положил Евклид, величайший греческий математик. Как именно было дело, точно не знаю, возможно так:
Стремление к постижению геометрии присуще человеку с древнейших времен. Первые документально зафиксированные сведения по геометрии, относятся к XVII веку до н.э. и дошли до нас из Древнего Египта. Не исключено, что попытки геометрического осмысления мира предпринимались и раньше, однако верно и то, что геометрия без письменности, хотя бы простейшей, вряд ли возможна. Около VII века до н.э. эти крайне разрозненные и по большей части эмпирические (опытные) знания попали на благодатную почву Древней Греции, где в течение нескольких веков сложились в законченную научную систему. А книга Евклида "Начала" (латинское название - "Элементы"), включающая 13 томов, вот уже более двух тысяч лет не теряет своей актуальности при изучении геометрии. Более того, я считаю, что изучение геометрии наиболее правильно начинать именно с "Начал" Евклида, в которых логические связи еще не утеряны.
Не смотря на название (от γ? - Земля и μετρ?ω - мерить, измерять), дословно означающее "землемерие", геометрия изначально мыслилась, как часть математики, а измерением земли занималась другая наука - геодезия (от γ? - Земля и δα?ζω - делить). Впрочем, и такая древняя наука, как астрология (от ?στρον - звезда и λ?γος - мысль, причина), ныне считающаяся псевдонаукой, использовала те же основные понятия, что и геометрия - точки, линии, углы.
Такое разнообразие наук, пользовавшихся схожими понятиями уже в древнейшие времена, может свидетельствовать об основной тенденции развития современной человеческой цивилизации - все более узкой специализации. Попытки разбить сложную комплексную проблему на множество более мелких - неизбежное следствие логического метода постижения мира - приводят с одной стороны к упрощению понимания окружающего мира - чем меньше остается неизвестных, тем проще обнаружить причинно-следственную связь между наблюдаемыми явлениями. С другой стороны это может приводить к тому, что при чрезмерном расчленении теряется сам источник проблемы и борьба ведется не с причиной, а со следствием. В итоге количество узких специалистов с каждым днем растет, но в комплексе проблема не решается.
Пример 5:
Количество специалистов, занимающихся только зубами, растет с каждым днем, еще каких-нибудь сто лет назад зубы лечил только один врач; теперь один специалист ставит на зубы брекеты, второй пломбирует, третий удаляет, четвертый наращивает и корректирует, пятый изготавливает коронки, но в итоге люди, в роду которых никто не мог похвастаться хорошими зубами, теряют зубы как и прежде, просто стоит это теперь намного дороже и не так больно, благодаря знаниям специалистов из другой области медицины - анестезиологии. А еще использование зубных паст, порошков, ополаскивателей и прочих профилактических мер не может считаться эффективным до тех пор, пока не будет проведено достаточное количество независимых исследований, а даже наоборот - пока соответствующих исследований нет, можно предполагать, что различные профилактические меры по уходу за зубами приводят к преждевременному разрушению зубов или являются не более чем рекламой товара с целью финансового обогащения и потому стоматологию в ее современном виде можно ставить в один ряд с астрологией, сонниками, хиромантией.
Возможно, пример и не вполне удачный, но достаточно наглядный. Однако вернемся в седую беззубую старину.
О жизни Евклида почти ничего не известно. В одних источниках приводятся даты его рождения и смерти: 360-300 годы до нашей эры (н.э.), в других - 315-255 до н.э. Согласно арабской рукописи XII века: "Евклид, сын Наукрата, известный под именем "Геометра", ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира". Достоверно известно лишь то, что Евклид основал в Александрии математическую школу и написал свои "Начала" для учеников школы, но скорее для царя Птоломея I, пожелавшего изучать геометрию.
Конечно же, "Начала" Евклида появились не на пустом месте. Труды Фалеса (ок. 625-547 до н. э.), Пифагора (570-490 до н. э), "Элементы" Гиппократа Хиосского (VI в. до н. э.), труды Теэтета (415-369 гг. до н. э.) и Евдокса (408-350 гг. до н. э.) - учеников и последователей Платона - вполне вероятно были хорошо известны Евклиду. И не смотря на уже начинавшуюся специализацию, трудно поверить, что философские труды Платона и Аристотеля (384-322 до н.э.) прошли мимо Евклида. Более того, я полагаю, что Евклиду, именно благодаря изучению основных положений философии Платона, "Метафизики" и "Логики" Аристотеля, удалось создать стройную, логически обоснованную систему.
В "Метафизике" Аристотель, перед тем, как сформулировать свою методику постижения окружающего мира, раскритиковал и пифагорейцев, которые настолько были восхищены числовыми порядками и пропорциями, что объясняли весь окружающий мир этими самими цифрами, положив тем самым начало нумерологии; и своего учителя Платона с его миром идей; но особенно нещадно и даже с насмешкой - последователей атомистической идеи строения мира. Примечательно, что критика эта изложена достаточно просто и понятно даже для современных читателей, и именно по труду Аристотеля проще всего понять, что вышеуказанные способы постижения мира собой представляли. Когда же речь заходит непосредственно об аристотелевском способе познания мира, то разобраться в хитросплетении логических построений становится практически невозможно, примеров катастрофически не хватает. В итоге "Метафизика" Аристотеля популярной системой постижения мира так и не стала и представляет чисто научный интерес для любителей философии - хилых очкариков, мнящих себя гениями, а само слово "метафизика" - стало синонимом философии, сосредоточившейся на сверхчувственных, а оттого и непостижимых, принципах и началах бытия. Да и чего еще можно ожидать от человека так и не придумавшего названий, а по сути основных определений для главных своих трудов? "Метафизика" - случайное название 14 книг о первопричинах сущего, буквально означающее "после физики", данное неким Андроником из Родоса, приводившим в порядок рукописи Аристотеля. "Логика" Аристотеля - также сборник книг без единого названия.
Не знаю, хотел ли Евклид избежать критики многочисленных философов, тренировавших свое красноречие на любых доступных объектах, или просто считал предпосылки, на основании которых построена вся система его геометрии, достаточно очевидными и потому не достойными упоминания, но построил свои "Начала" таким образом, что они стали не просто новым взглядом на проблемы и задачи геометрии, но по сути новым методом познания окружающего нас мира.
Прежде всего в "Началах" Евклида поражают строгая последовательность, максимальная простота и краткость изложения материала (я такими качествами похвастаться не могу). Основные положения геометрии Евклида будут рассмотрены отдельно, здесь лишь отмечу, что изначально Евклид проанализировал все известные ему геометрические фигуры, определил характерные признаки этих фигур, на основании этого анализа выделил главные элементы геометрии: точку, линию и поверхность. И затем выстроил свой абстрактный геометрический мир только из этих трех главных элементов, начиная с точки, и при необходимости рассматривая размеры геометрических фигур и их возможные соотношения.
Если рассматривать "Начала" с моей точки зрения, то Евклид разбил всю геометрию, точнее все книги своей геометрии как бы на 2 части, соответствующие практическому и логическому методам постижения мира. При этом первую - практическую - часть можно условно разбить на интуитивную и игровую:
1.а) Первая часть - описательная
Включает "Определения" основных геометрических фигур. Данные определения с точки зрения Евклида должны приниматься или пониматься интуитивно и потому не требуют доказательств. Доказательства - окружающий нас мир. Эти описания подобны названиям и основным характеристикам инструментов, которые ученик ремесленника, приступая к изучению ремесла, должен просто запомнить, несколько раз посмотрев на них.
1.б) Первая часть - игровая или предположительная
Сюда следует отнести "Предположения" Евклида, теперь чаще именуемые "Постулатами". Сам Евклид ничего не постулировал, αιτηματα и сейчас переводится как запросы, просьбы, требования . А чтобы никаких сомнений в этом не оставалось, все так называемые теперь "Постулаты" Евклид начинал словом "Допустим". Таким образом "Предположения" Евклида можно сравнить с первыми уроками использования ремесленных инструментов. При этом право определения истинности или ложности таких "Предположений" предоставляется ученику.
2. Вторая часть
Постигается только логическим мышлением. Начинается с изложения "Общих понятий". Сейчас эти "Общие понятия" более известны как "Аксиомы", т.е. некие предположения, доказать которые логическим методом не возможно, а потому такие общие понятия принимаются без доказательств, априорно. Однако мне такая логика представляется не совсем правильной. Дело в том, что за "Общими понятиями" следуют "Предложения", сейчас чаще именуемые "Теоремами". Для доказательства или опровержения тех или иных "Предложений" и используется логический метод мышления. Но при этом нельзя забывать, что при доказательстве или опровержении предложений используются те или иные общие понятия - аксиомы. Это значит, что если какое-либо предложение в результате логического исследования оказалось истинным, то и общее понятие - аксиома, которая использовалась при логическом исследовании, также является истинной. Но почему-то на этот очевидный силлогизм мало кто обращает внимание.
В итоге "Начала" Евклида должны бы занимать достойное место среди популярных способов объяснения мира, приближаясь даже к упрощенным, но...
Столь необычная форма изложения и уникально краткое изложение материала привели к тому, что понимание замысла Евклида уже в средние века вызывало трудности, а теперь и подавно. К сожалению аутентичного текста "Начал" не сохранилось и потому трудно судить, таков ли был изначальный замысел Евклида или это просто мои фантазии. Подобно затонувшему кораблю, обросшему ракушками и водорослями, за долгие века труд Евклида оброс вставками, комментариями и пояснениями, возможно что-то было и утеряно. Практически каждый человек, изучавший "Начала" Евклида, строил на основе полученных знаний свой уникальный мир геометрии, а если что-либо в этом мире не совпадало с определениями и понятиями Евклида, то человек изменял эти понятия под свой мир. При этом широкие возможности логического анализа произведения Евклида привели к тому, что любые попытки математиков оспорить или переосмыслить "Начала" только способствовали развитию науки, при этом никак не влияя на изначальный замысел Евклида. В итоге идеи Герона - автора золотого правила механики; Декарта - автора декартовой системы координат; Лежандра - автора метрической системы измерения; Ламберта, Гаусса, Лобачевского - авторов неевклидовой геометрии и многих других математиков берут свое начало в "Началах" Евклида, а комментарии и пояснения к "Началам" - это в некотором роде и есть история развития математики и не только математики.
Таковы вкратце основы геометрии и "Начал" Евклида, теперь умещающиеся на нескольких страницах учебника по математике за 1 класс.
дальше |
