На главную домой советы по ремонту квартиры
Поиск по сайту
Список кабинетов || Что это за доктор? || Записаться на прием

Основное меню


Технологии выполнения работ


Диагностика и лечение


Инженерные сети и коммуникации


Элементы конструкции


Расчет конструкций


Помещения


Встраиваемая техника


Строительные и отделочные материалы


Дизайн




Расчет на ударную нагрузку с учетом массы конструкции

Теория расчета на ударную нагрузку с учетом массы деформирующегося тела

До этого мы определяли значение динамического коэффициента без учета массы деформируемого тела, точнее без учета силы, создаваемой инертной массой деформирующегося тела. Использование таких коэффициентов при расчетах конструкций, когда масса груза действительно больше массы деформирующегося тела, вполне оправдано и результаты, полученные при расчетах, будут достаточно точно отображать картину, возникающую при рассматриваемой ситуации, а если масса деформирующегося тела сопоставима с массой падающего груза, то значение коэффициентов будет давать дополнительный запас по прочности.

Иногда этот запас может быть слишком большим и потому не совсем оправданным, так как приведет к перерасходу материалов, т.е. необоснованному завышению стоимости конструкции. Потому, если есть уверенность в своих силах и знаниях, то иногда имеет смысл пересчитать значение динамического коэффициента с учетом массы деформирующейся конструкции.

Как уже говорилось, удар - это достаточно сложное физическое явление, в результате которого происходит много различных процессов, в частности падающее тело в момент падения имеет импульс

p = mV (288.1)

где v - уже рассматривавшаяся нами скорость тела в момент касания с рассматриваемой конструкцией. При этом и упавший груз и рассматриваемая конструкция имеют некоторую массу. Из закона сохранения энергии и вытекающего из него закона сохранения импульсов вытекает следующее уравнение:

m1v1 + m2v2 = m1v'1 + m2v'2 (296.1.1)

где m1 - масса груза, m2 - масса рассматриваемой конструкции, v1 - скорость груза перед ударом, v'1 - скорость груза после удара, соответственно v2 - скорость рассматриваемой конструкции перед ударом, v'2- скорость рассматриваемой конструкции после удара.

Если скорость рассматриваемой конструкции до начала удара принять v2 = 0, то формула (288.11.2) преобразуется в

m1v1 = m1v'1 + m2v'2 (296.1.2)

Далее рассмотрим несколько граничных условий и промежуточных вариантов, характерных для столкновения тел:

1. Если масса рассматриваемой конструкции значительно меньше массы груза и для упрощения расчетов массой конструкции пренебречь, то

m1v1= m1v'1 (296.1.3)

Суть этой формулы в том, что при столкновении относительно тяжелого тела с относительно легким телом скорость движения тяжелого тела в момент столкновения практически не изменяется, что можно видеть и даже проверить самому, прыгая на батуте. Именно это допущение мы и использовали при расчете деформаций и динамических коэффициентов без учета массы деформирующегося тела.

2. Если масса падающего груза значительно меньше массы рассматриваемой конструкции, то формула (296.1.1) примет вид

m1v1 = - m1v'1 или v1 = - v'2 (296.1.4)

Суть этой формулы в том, что при столкновении очень легкого тела с очень тяжелым телом скорость движения тяжелого тела после столкновения практически не изменится, а вот легкое тело после столкновения начнет двигаться в противоположном направлении, проще говоря, отскочит от рассматриваемой конструкции, но в силу неизменного действия силы тяжести через некоторое время опять упадет на рассматриваемую конструкцию, снова отскочит и так будет продолжаться до тех пор, пока вся энергия не перейдет в указанные нами выше виды и легкое тело не упокоится с миром на поверхности тяжелого тела. Это можно наблюдать, роняя на пол теннисный или любой другой мяч.Тем не менее то, что легкое тело отскакивает от тяжелого почти с такой же скоростью (во всяком случае теоретически), означает, что на тяжелое тело действует такая же ударная сила, а значит деформируемую конструкцию все равно следует рассчитывать на действие ударной нагрузки и потому формула (288.5.3), позволяющая определить максимальную деформацию в зависимости от линейной скорости и частоты колебаний, остается в силе.

Если деформирующееся тело после столкновения движется по прямолинейной траектории (совершает поступательное движение) или по криволинейной траектории с радиусом, значительно превышающим размеры тела, то такое движение можно рассматривать как движение материальной точки, совпадающей с центром тяжести тела. Кроме того, чем больше радиус траектории, тем ближе криволинейное движение к прямолинейному по своим параметрам и вообще прямолинейное движение - это частный случай движения по криволинейной траектории с бесконечным радиусом.

Но если в качестве рассматриваемой конструкции выступает балка или плита, которая в результате удара прогибается, то такое движение никак нельзя назвать прямолинейным или вращательным относительно оси, расположенной на очень большом расстоянии, а потому масса не может рассматриваться, как одна из характеристик такого движения. Не является такое движение и вращательным относительно центра тяжести сечения. И потому момент инерции для описания такого движения также не подходит. А используется для корректного описания такого движения коэффициент жесткости с, учитывающий сложные и запутанные взаимоотношения между массой деформирующейся конструкции, длиной, моментом инерции поперечного сечения, и модулем упругости материала рассматриваемой конструкции.

Не смотря на столь припудренное определение коэффициента жесткости формула, позволяющая определить циклическую частоту, выглядит даже проще, чем при поступательном движении:

ω2 = с/m (296.2.1)

А при угловых колебаниях (вращении относительно центра тяжести):

ω2 = c/I (296.2.2)

Универсальность формулы (296.2.1) в том, что если колебания балки вызываются сосредоточенной нагрузкой, приложенной посредине пролета, при этом масса балки пренебрежимо мала по сравнению с массой груза, вызывающей деформацию, то исходя из формулы (288.10.1) следует, что если

ω2 = Q/mfст (288.10.1)

то

сQ = Q/fст = 48EI/l3 (296.3.1)

и в итоге мы получаем ту же формулу (288.11.3) для определения динамического коэффициента.

А вот когда нужно определить коэффициент жесткости для балки, колеблющейся под действием нагрузки от собственного веса, то ситуация усложняется. Во-первых следует учитывать, что балка может иметь не постоянное по длине сечение и даже не постоянный модуль упругости. Но даже если сечение, определяющее значения момента инерции, и модуль упругости постоянны по длине, то все равно отсутствует сосредоточенная сила, которая может рассматриваться как ударная нагрузка, а есть только распределенная по длине балки масса. В таких случаях используется понятие приведенной массы.

Существует несколько методов учета этой приведенной массы: метод Рэлея, формула Граммеля, формула Донкерли, метод Ритца, метод Бубнова-Галеркина. Эти методы используют разные подходы и разные физические модели процессов, происходящих в процессе ударной деформации, а потому и результаты при использовании различных методов разные, впрочем разница не столь уж и существенна. Единственное, что все эти методы объединяет - это насыщенность дифференциальными уравнениями и интегралами, которые представляют определенный интерес для любителей высшей математики. Здесь же, оставаясь в формате справочника, отмечу лишь основную проблему, которая возникает, при переходе от распределенной массы к условно сосредоточенной.

Когда мы рассматривали возможные соотношения между сосредоточенной и равномерно распределенной нагрузкой, то выяснили, что момент от равномерно распределенной нагрузки, умноженной на длину балки (что и дает нам значение условно приведенной нагрузки), будет в два раза меньше, чем от сосредоточенной нагрузки, равной по значению условно приведенной нагрузке и приложенной посредине пролета. Таким образом мы определили коэффициент перехода γп = 2. Соответственно приведенный коэффициент при переходе от равномерно распределенной нагрузки к сосредоточенной будет равен:

kпр = 1/γ = 1/2 = 0.5 (296.4.1)

Однако прогиб от приведенной нагрузки будет не в 2, а приблизительно в 1.5 раза меньше, чем при сосредоточенной нагрузке (см. расчетные схемы для балок). Таким образом в этой ситуации некорректно применять один и тот же динамический коэффициент при определении прогиба, угла поворота поперечного сечения, нормальных и касательных напряжений. Между тем определяющими при расчете на ударные нагрузки являются нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях под действием изгибающего момента, но расчет при этом производится в зависимости от значения прогиба. Чтобы с честью выйти из этой ситуации используют понятие приведенного прогиба, который имеет большее значение, чем прогиб при воздействии статической равномерно распределенной нагрузки и тогда:

fпр = fстkпр = Qпрl3/48EI = qlkпрl3/48EI = ql4/96EI (296.5.1)

где Qпр = ql = γFl - значение приведенной сосредоточенной силы, γ - плотность материала балки, F - площадь поперечного сечения.

Тогда условное значение коэффициента жесткости, необходимое для определения частоты колебаний, составит:

сq = ql/fпр = 96EI/l3 (296.3.2)

При таком подходе мы получаем максимально возможное значение приведенного прогиба по сравнению с вышеперечисленными методами, однако парадокс ситуации в том, что чем меньше статический прогиб, тем больше в итоге значение динамического коэффициента, а значит и меньше запас по прочности. Например, метод Рэлея приводит к следующему значению переходного коэффициента:

kРпр = β = 17/35 = 0.4857 (296.4.2)

и тогда

fРпр = 0.4857ql4/48EI = ql4/98.82EI (296.5.2)

соответственно

сРq = 98.82EI/l3 (296.3.3)

Если рассматривать приведенный прогиб как сумму прогиба от равномерно распределенной нагрузки и производной этого прогиба (а производная от прогиба - это угол поворота), то:

спр =ql/fст + q/f'ст = 384EI/5l3 + 24EI/l3 = 100.8EI/l3 (296.3.4)

Как видим значения приведенных прогибов, полученные при разных способах определения, отличаются незначительно, максимальное расхождение составляет менее 5%. И не совсем понятно, зачем придумывать столько разных способов, чтобы вычислить максимальное значение приведенного прогиба, но напомню, что значение приведенного прогиба влияет на значение частоты колебаний, а когда частота свободных колебаний - колебаний груза, совпадает с частотой вынужденных колебаний - деформаций балки, то возникает резонанс, значительно увеличивающий амплитуду колебаний, что в итоге может привести к разрушению конструкции. На уроках физики изучение явления резонанса предваряется следующей байкой:

Когда-то давным-давно рота солдат бодрым строевым шагом вступала в побежденный город по широкому и прочному мосту. Однако частота собственных (вынужденных) колебаний пролета моста совпала с частотой четко отбиваемого строевого шага (частотой свободных колебаний), возникло явление резонанса, пролет обвалился и рота победителей погибла под обломками моста, так и не успев собрать трофеи, точнее трофеи в том смысле, в каком это понятие использовали древние греки, буквально засыпали солдат. С тех солдатам строго настрого запрещено проходить строевым шагом по мостам, акведукам и прочим инженерным сооружениям, включая плиты перекрытия, в которых могут возникнуть вынужденные колебания. Тем не менее свои выводы из этой истории сделали и строители и потому при расчете конструкций на различные виды нагрузок учитывается как минимально возможное так и максимально возможное значение частоты колебаний.

При расчете на ударные нагрузки конструкций жилых помещений явление резонанса как правило не учитывается, потому что по большому счету максимальный прогиб от действия ударной силы - это и есть проявление резонанса. А так как в результате достаточно быстрого перераспределения энергии удара, колебания такой системы при любом соотношении масс являются быстро затухающими, то возникновение ударной силы, большей чем при первом столкновении, в моменты последующих возможных столкновений практически не возможно. Тем не менее ударные нагрузки, прикладываемые к конструкции с более-менее постоянной частотой мы можем наблюдать в обычной квартире при работе стиральной машины, работающей в режиме отжима. Самый простой способ максимально уменьшить ударные нагрузки от прыгающей по помещению стиральной машинки - это изменить количество оборотов при отжиме и у хороших стиральных машин-автоматов для этого есть специальный регулятор. Если же переключателя скоростей нет, то можно рассчитать перекрытие на дополнительную ударную нагрузку возникающую от прыгающей стиральной машины, руководствуясь приведенным выше принципом.

В обще случае определить значение коэффициента жесткости (когда это возможно), частоту и период колебаний можно по следующей таблице:

Таблица 1: Основные параметры упругих систем с одной степенью свободы

параметры упругой системы с одной степенью свободы

Если рассматривается случай приложения ударной нагрузки к изгибаемой конструкции, отличный от приведенных в таблице, то определить приближенное значение коэффициента жесткости можно по расчетным схемам для простых и статически не определимых балок. Приближенное потому, что при приложении сосредоточенной нагрузки не посредине пролета или при приложении не равномерно распределенной нагрузки колебания вряд ли будут гармоническими.

Таким образом формула для определения динамического коэффициента ударной нагрузки (288.11.3) при учете только массы деформирующейся конструкции примет вид

kд = 1 + √1 + 2h/fпр = 1 + √1 + 2h/(fстkпр) (296.7.1)

3. Если груз после падения продолжает движение вместе с рассматриваемой конструкцией, то формула (296.1.2) остается в силе

Это означает, что для определения максимального прогиба следует учитывать как массу падающего груза, так и параметры деформирующейся конструкции. Прогиб от действия сосредоточенной нагрузки, приложенной посредине балки, составляет fст = Ql3/48EI, прогиб от действия приведенной сосредоточенной нагрузки составляет fпр = kпрfст, таким образом суммарный прогиб составляет:

fсум = fст + fпр = (Q + qlkпр)l3/48EI = (1+ qlkпр/Q)Ql3/48EI = fст(1 + kпр(ql/Q) (296.8.1)

тогда значение динамического коэффициента ударной нагрузки с учетом масс обеих тел составит:

kд = 1 + √1 + 2h/fсум = 1 + √1 + 2h/(fст(1 +kпр(ql/Q)) (296.7.2)

Не смотря на кажущуюся сложность, все приведенные выше формулы определения динамического коэффициента максимально просты, так как основаны на простейшей физической модели процессов, происходящих при ударе. Между тем, как уже говорилось, процессы, происходящие в соударяемых телах, достаточно сложные. Да и падать на перекрытие могут не только твердые тела, но и жидкости в различной упаковке, сыпучие материалы (песок, цемент и различные сухие строительные смеси), ну и тем более человек. Особенность таких падений в том, что перечисленные вещества, а тем более человек, падая на поверхность, даже очень жесткую, очень редко от нее отскакивают. Происходит это потому, что у жидкостей, а тем более сыпучих материалов отсутствуют жесткие внутренние связи, характерные для твердых тел, а человек, приземляясь после прыжка, старается присесть и таким образом искусственно продлить время контакта, а значит и максимально уменьшить ударную силу. Это означает, что ударная сила в таких случаях будет меньше и в зависимости от множества различных факторов (включая ловкость, если речь идет о человеке), которые требуют отдельного учета, расчетное снижение скорости, может снижаться от 1.1. до нескольких десятков раз. В связи с этим из соображений упрощения расчетов и обеспечения дополнительной прочности такие тонкости поведения жидких сыпучих и человеческих тел можно не учитывать. Но опять же, если есть уверенность в понимании происходящих процессов и в своих силах, то

Для сыпучих материалов в зависимости от размера фракций и плотности упаковки можно применять понижающий коэффициент kп = 0.5-0.2 тогда формула (296.7.2) примет вид:

kд = 1 + √1 + 2hkп/fсум = 1 + √1 + 2h/(fст(1 +kпр(ql/Q)) (296.7.2)

Для человека упавшего головой на балку, тоже можно вычислить понижающий коэффициент в зависимости от наличия головного убора, пышности волос, толщины кожного и мышечного слоя, геометрии, жесткости и прочности черепа, но мой вам совет, не падайте головой на перекрытие, потому что в этом случае спасать придется уже не конструкцию перекрытия, а вас.

Пример расчета балки на ударную нагрузку с учетом масс балки и груза

А теперь посмотрим как изменится значение динамического коэффициента с учетом массы балки, на ранее рассматривавшемся примере. Напомню, рассматривается шарнирно закрепленная деревянная балка перекрытия длиной 4 м из древесины сечением 20х10 см. На средину балки с высоты 50 см падает гиря весом в 32 кг. Требуется определить прочность балки при ударной нагрузке с учетом массы балки.

1. При таком сечении и плотности древесины γ = 500 кг/м3 приведенная масса балки составит

ql = 500х0.2х0.1х4 = 40 кг

2. Прогиб балки при воздействии статической нагрузки от гравитационной массы гири мы уже определяли

f = Ql3/48EI = 32х4003/(48х100000х6666.667) = 0.064 см

где Е = 105 кгс/см2 - модуль упругости древесины, I = bh3/12 = 6666.667 см4 - момент инерции поперечного сечения.

3. Тогда значение динамического коэффициента составит

kд = 1 + √(1 + 2х50/0.064(1 + 0.5(40/32) = 32.02 (при использовании приведенного коэффициента 0.4875 значение динамического коэффициента составит 32.17)

напомню, значение динамического коэффициента без учета массы балки составляло 40.53, таким образом учет массы балки позволил уменьшить расчетное значение динамического коэффициента почти на треть.

4. Значение максимального изгибающего момента при таком динамическом коэффициенте составит

Мд = Qlkд/4 = 32х400х31.02/4 = 102464 кг·см

5. Тогда при расчетном сопротивлении R = 140 кг/см2 требуемый момент сопротивления составит

Wтр = М/R = 99279/140 = 731.9 см3

6. Момент сопротивления для балки сечением 20х10 см составит W = 2I/h = 6666.667/10 = 666.67см3 < Wтр = 731.9 см3.

Напомню, без учета массы балки требуемый момент сопротивления составлял 926.4 см3.

Вывод: Не смотря на все наши старания балка под действием такой ударной нагрузки может разрушиться. Однако в данном случае мы совершенно не учитывали упругие свойства гири, полагая ее совершенно жесткой, а также то, что на балке перекрытия будут уложены как минимум доски пола (без досок балки перекрытия как-то теряют изначальный смысл). А это означает, что расчетную массу балки следует еще увеличить, а если еще учесть упругие свойства как гири, так и древесины, и вполне вероятное развитие местных неупругих деформаций, то у рассматриваемой балки большие шансы на выживание.

На главную домой

Категории:
Оценка пользователей: 8.0 (голосов: 1)
Переходов на сайт:1250
Комментарии:
19-07-2015: Станислав

Сейчас очень актуальна эта тема для меня, спасибо.
Что бы лучше понять откуда. что берется обычно пересчитываю примеры.
Тогда значение динамического коэф. будет 31,02+1=32,02 и 32,17 или мы не учитываем Кд=1+(выражение под корнем)
И не совсем понятно значение коэф. без учета массы балки будет выглядеть 1+ корень(1+(2*50/0,064(1+0,5/32) или что-то путаю


19-07-2015: Доктор Лом

Спасибо за внимательность. В статье действительно допущена ошибка (хотя и незначительная). Исправил. А определение значения динамического коэффициента без учета массы конструкции рассматривается в статье "Расчет на ударные нагрузки" и в зависимости от соотношения высоты конструкции к величине статической деформации для определения динамического коэффициента могут применяться различные формулы.


02-12-2016: Анатолий

Получается держать в доме стиральную машину опасно? Вибрации перекрытия и машинки могут создать резонанс или в плите могут возникнуть опасные деформации?


03-12-2016: Доктор Лом

Вообще-то даже если стиральная машинка в процессе отжима и "пляшет", то все равно высота подскока измеряется максимум миллиметрами, да и то не под всеми опорами, а потому и дополнительная ударная нагрузка не перекрытие относительно небольшая, особенно если перекрытие само по себе тяжелое. Кроме того стиральная машинка обычно стоит у стены, т.е. у опоры, что еще больше снижает нагрузку на перекрытие. Тем не менее при совпадении частот колебаний перекрытия и стиральной машинки резонанс возможен. В целом расчет перекрытия на вибрацию - отдельная большая тема.


04-12-2016: Анатолий

Доктор Лом, а можно вопрос "не по теме"? Монолитная колонна второго этажа шире на 4 см и 2.5 см по двум сторонам. То есть колонна первого этажа 45 см на 44 см, а колонна второго этажа 47.5 см на 48 см. Сильно ли это критично, что колона опирается немного на перекрытие, в качестве перекрытия уложили дорожные плиты. Всё стоит трещин нет, но может трещины есть в сжатой зоне плиты


04-12-2016: Доктор Лом

Без чертежей я конечно же ничего определенного не скажу, но даже если "свес" колонны с одной из сторон составляет 4 см, то при толщине плит 12 и больше см беспокоиться не о чем - дополнительного изгибающего момента, действующего на плиту, колонна не создаст.
Примерно так.


06-12-2016: Анатолий

Доктор Лом, спасибо большое за ответ! Толщина плит 10 см.


06-12-2016: Доктор Лом

В этом случае, предполагаю, ничего экстраординарного не случится.


06-12-2016: Анатолий

Вообще в площади опирания колонны с одной стороны обычные пустотки, с другой дорожные плиты толщиной 10 см с однорядной арматурой 12 м в диаметре. На продавливание колонной пустотка должна выдержать всего один этаж сверху, а вот дорожные плиты вроде на это и рассчитаны и тоже должны выдержать давление от колонны, как думаете?


07-12-2016: Доктор Лом

Я уже говорил, что без чертежей диагноз не поставлю. Полагаю, что все будет нормально, но вообще это надо считать.


07-12-2016: Катя

Здравствуйте, скажите пожалуйста в танцевальном зале человек 20 танцуем и отбиваем такт. Вниз не провалимся? Перекрытие обычные пустотные плиты.


07-12-2016: Доктор Лом

Если перекрытие рассчитано на данную нагрузку, то не провалитесь. Если во время танцев вы никогда не чувствовали вибрации пола, то полагаю, беспокоиться не о чем.


07-12-2016: Катя

Спасибо! В этом помещении еще не занимались. Я конечно посмотрю на вибрации, а они сильные должны быть или едва ощутимыми?


07-12-2016: Катя

Спросила у арендодателя нашего. Он сказал плиты ПБ 57-12-8 новые с завода,вроде правильно написала


07-12-2016: Доктор Лом

Вообще-то даже едва ощутимые вибрации - это уже не хорошо. Кроме того, если вы вибрацию чувствуете, то значит своим весом эту вибрацию немного гасите. В целом период колебаний ж/б перекрытий составляет около 2-3 Гц, т.е. 2-3 колебания в секунду, если вы отбиваете такт с такой же частотой, а кроме того отбивание такта совпадет с началом колебания перекрытия, то возможен резонанс и вы ощутите колебания намного сильнее.


07-12-2016: Доктор Лом

Указанные вами плиты способны выдерживать нагрузку до 800 кг/м2, так что даже в случае резонанса плиты нагрузку должны выдержать с большим запасом.


07-12-2016: Катя

Спасибо, вам большое от всего нашего коллектива))


Добавить свой комментарий:

Имя:

E-Mail адрес:

Комментарий:

Ваша оценка:

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье "Записаться на прием к доктору" (ссылка в шапке сайта).




советы по строительству и ремонту



После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью и адресом электронной почты. Если вы хотите задать вопрос, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Спасибо. Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий к соответствующей статье.

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

На всякий случай кошелек webmoney: R158114101090

Или: Z166164591614


Доктор Лом. Первая помощь при ремонте, Copyright © 2010-2016