На главную домой советы по ремонту квартиры
Поиск по сайту       Что это за доктор?       Записаться на прием

Примеры консультаций

Расчет двухпролетной балки с консолями

Двухпролетные балки являются статически неопределимыми конструкциями, хоть с консолями, хоть без. Рассчитываются такие балки с использованием метода сил или метода опорных моментов. Ничего особенно сложного в таких расчетах нет, тем не менее, если пролеты у балки одинаковые, то далеко не всегда есть желание проходить всю процедуру расчетов с учетом того, что для бесконсольных двухпролетных балок с равными пролетами все основные данные для расчета уже давно определены и ничего считать особенно не надо. К тому иногда длина консолей изначально не задается и если стоит задача подобрать соответствующую длину для консолей, то производить каждый раз соответствующие расчеты желание пропадает и вовсе.

В таких случаях можно воспользоваться таким полезным принципом, как принцип суперпозиции, смысл которого в том, что если на какую-либо конструкцию действует несколько нагрузок, то рассчитывать конструкцию на совместное действие нагрузок вовсе не обязательно. Можно рассчитать конструкцию на действие каждой отдельно взятой нагрузки, а затем полученные результаты сложить.

Например для двухпролетной бесконсольной балки с равными пролетами, на которую действует равномерно распределенная нагрузка, все основные расчетные данные уже давно определены. Достаточно в имеющиеся формулы подставить значения длины пролета и действующей нагрузки. В целом эпюра моментов для двухпролетной бесконсольной балки будет выглядеть так:

эпюра моментов для двухпролетной балки при действии равномерно распределенной нагрузки

Рисунок 346.1. Эпюра моментов для двухпролетной балки с равными пролетами при действии равномерно распределенной нагрузки.

При этом

МА = МС = 0 (1.1)

МВ = - ql2/8 (1.2)

A = C = 3ql/8 (1.3)

B = 10ql/8 (1.4)

Соотношение опорных реакций В/А = 10/3 = 3.33.

Между тем, если добавить к бесконсольной балке консоли и к этим консолям приложить такую же равномерно распределенную нагрузку, как и в пролетах, то эпюра изгибающих моментов изменит свой вид, да и значения опорных реакций изменятся. Как, мы сейчас и выясним.

Если двухпролетная балка имеет консоли длиной k, то в результате действия нагрузки на одну консоль возле опоры А будет действовать изгибающий момент:

МА = - qk2/2 (2.1)

В данном случае знак "-" означает, что растягивающие напряжения будут действовать в верхней части поперечных сечений балки на опоре. А еще в результате действия нагрузки на консоль будет возникать изгибающий момент и на опоре В.

Если нагрузка будет действовать только на одну из консолей, то согласно закономерностей, определенных при расчете балок методом моментов, значение момента на опоре В будет с обратным знаком и в 4 раза меньше значения момента на опоре А (если балка 1 раз статически неопределимая). Т.е. момент на опоре В будет равен:

МВ = qk2/8 (2.2)

А момент на опоре С будет равен нулю. Теперь нам ничто не мешает определить опорные реакции. Чтобы создать момент на опоре В, равный указанному, опорная реакция С должна быть равна:

С = МВ/l = qk2/8l (2.3)

тогда, чтобы получить на опоре А момент, равный указанному, исходя из уравнения моментов:

С2l + Bl = qk2/4 + Bl = - qk2/2 (2.4.1)

B = (- qk2/2 - qk2/4)/l = -3qk2/4l (2.4.2)

Тогда реакция на опоре А, исходя из условий равновесия системы:

А + В + С = qk (2.5.1)

A = qk - B - C = qk + 3qk2/4l - qk2/8l = qk + 5qk2/8l (2.5.2)

При этом эпюра моментов будет выглядеть так:

эпюра моментов для двухпролетной балки с одной загруженной консолью

Рисунок 346.2. Эпюра моментов для двухпролетной балки с одной загруженной консолью.

Проверим, не ошиблись ли мы где-нибудь в расчетах. Если составить уравнение моментов для крайнего левого сечения, то суммарный момент в этом сечении должен быть равен нулю. Для простоты расчетов примем значение k = l. Тогда

C3l - B2l + Al - ql2/2 = 3(ql2/8) - 2(6ql2/8) + 13ql2/8 - 4ql2/8 = 0 (2.6)

Тогда, если равномерно распределенная нагрузка действует на обе консоли, то 

МА = МС = - qk2/2 (3.1)

МВ = 2qk2/8 = qk2/4 (3.2)

A = C = qk + qk2/8l + 5qk2/8l = qk + 3qk2/4l (3.3)

B = 2(- 3qk2/4l) = -3qk2/2l (3.4)

При этом эпюра моментов для балки, у которой загружены обе консоли, будет выглядеть так:

эпюра моментов для балки с двумя консолями

Рисунок 346.3. Эпюра моментов для двухпролетной балки с двумя загруженными консолями.

Если у консолей балки есть некоторая вполне определенная длина, например, k = l/4, тогда для двухпролетной шарнирно опертой балки с двумя консолями, на которые действует равномерно распределенная нагрузка:

МА = МС = - ql2/(2·42) = - ql2/32 (4.1)

МВ = ql2/(4·42) = ql2/64 (4.2)

A = C = ql/4 + 3ql2/64l = 19ql/64 (4.3)

B = - 3ql2/32l = - 3ql/32 (4.4)

Соответственно, если равномерно распределенная нагрузка действует по всей длине балки, включая консоли, то

суммарная эпюра для двухпролетной балки с консолями

Рисунок 346.4. Суммарная эпюра моментов для балки с консолями загруженной по всей длине.

МА = МС = - ql2/(2·42) = - ql2/32 (5.1)

МВ = - ql2/8 + ql2/64 = - 7ql2/64 (5.2)

A = C = 3ql/8 + 19ql/64 = 43ql/64 (5.3)

B = 10ql/8 - 3ql/32 = 37ql/32 (5.4)

Соотношение опорных реакций в этом случае составляет В/А = 37·2/43 = 1.721.

Если длина консолей балки будет составлять k = l/3, тогда для двухпролетной шарнирно опертой балки с двумя консолями, на которые действует равномерно распределенная нагрузка:

МА = МС = - ql2/(2·32) = - ql2/18 (4.1)

МВ = ql2/(4·32) = ql2/36 (4.2)

A = C = ql/3 + 3ql2/36l = 16ql/36 (4.3)

B = - 3ql2/32l = - 3ql/18 (4.4)

Соответственно, если равномерно распределенная нагрузка действует по всей длине балки, включая консоли, то

МА = МС = - ql2/(2·42) = - ql2/18 (5.1)

МВ = - ql2/8 + ql2/36 = - 7ql2/36 (5.2)

A = C = 3ql/8 + 16ql/36 = 59ql/72 (5.3)

B = 10ql/8 - 3ql/18 = 78ql/72 (5.4)

Соотношение опорных реакций в этом случае составляет В/А = 78/59 = 1.322

Таким образом действие нагрузки на консоли балки приводит к появлению изгибающих моментов на опорах А и С и к уменьшению изгибающего момента на опоре В. Кроме того уменьшается разница между значениями опорных реакций. На основании полученных данных мы можем даже построить график, отражающий изменение соотношения В/А при изменении длины консоли:

изменение соотношения опорных реакций при изменении длины консоли балки

Рисунок 346.5.  График, отражающий изменение соотношения опорных реакций при изменении длины консоли.

А теперь несколько слов о том, зачем еще эти формулы могут понадобиться.

Например, вы рассчитываете сплошную фундаментную плиту, которая может рассматриваться как балка, у которой нагрузки от стен - это опорные реакции, а давление, оказываемое плитой на основание - это распределенная нагрузка. Так вот, если на плиту опираются 3 стены (2 наружных и одна внутренняя), то нагрузки от стен очень редко пропорциональны опорным реакциям для двухпролетной балки. Так как в реальности опоры балки могут перемещаться относительно вертикальной оси, проще говоря, фундамент будет проседать, то такое несоответствие между нагрузками от стен и опорными реакциями для балки будет приводить к тому, что плита просядет не равномерно.

Кроме того, поперечные сечения бесшарнирной балки на крайних опорах будут иметь некоторый угол наклона по отношению к горизонтальной оси. Это означает, что стены будут отклоняться от вертикали, что может привести к трещинам в стенах из натурального или искусственного камня, если не будут приняты соответствующие меры по усилению стен. Другими словами в стенах будут возникать горизонтальные растягивающие напряжения. А если нагрузка от внутренней стены будет меньше требуемой по расчету, то это приведет к дополнительному увеличению угла наклона на крайних опорах, а значит и к увеличению горизонтальных растягивающих напряжений. Кстати сказать, это относится и к сплошным фундаментным плитам, рассматриваемым как однопролетные балки.

В принципе определить прогиб или угол поворота - не проблема. Как известно, чем больше жесткость балки - тем меньше прогиб и угол поворота, однако это означает, что минимизация прогиба или угла поворота выльется в дополнительную толщину сплошной фундаментной плиты - бесконсольной балки, а устройство консолей соответствующей длины позволяет минимизировать угол поворота плиты  на крайних опорах и неравномерность проседания фундамента.

Расчет балки с разными по длине пролетами и консолями

Ну а если балка имеет неравные по длине пролеты и консоли, то формулы значительно усложнятся (первая консоль обозначается ниже как а, первый пролет - b, второй пролет - с, вторая консоль - d, расчет выполняется на основе расчета двухпролетной бесконсольной балки с разными пролетами и двухпролетной балки с одной консолью) и будут выглядеть так:

1. Сначала определяется момент на опоре С:

MС = -qd2/2

2. Затем дополнительный момент на опоре В:

MBд = -MCb/(2(a + b)) = qbd2/(4(a + b))

3. В итоге момент на опоре В:

MВ = - q(a3 + b3)/8L + q(aс2 + bd2)/(4(a + b))

4. Дополнительные опорные реакции:

RCд = qd - МC/b + MBд/b = qd + qd2/2b + qd2/(4(a + b))

RAд = MВд/a = qbd2/(4a(a + b))

RBд = МC/b - MBд/b - MBд/а = -qd2/2b - qd2/(4(a + b)) - qbd2/(4a(a + b))

5 Проверка:

RA + RB + RC - qd = qd + qd2/2b + qd2/(4(a + b)) + qbd2/(4a(a + b)) = - qd2/2b - qd2/(4(a + b)) - qbd2/(4a(a + b))= qd- qd = 0

6. Итоговые опорные реакции:

RA = q(а/2 - (a3 + b3)/8La + c + с2/2a + с2/(4(a + b)) + bd2/(4a(a + b)))

RC = q(b/2 - (a3 + b3)/8Lb + ас2/(4b(a + b)) + d + d2/2b + d2/(4(a + b)))

RB = qL/2 + q(a3 + b3)/8La + q(a3 + b3)/8Lb - qс2/2a - qс2/(4(a + b)) - qас2/(4b(a + b)) - qd2/2b - qd2/(4(a + b)) - qbd2/(4a(a + b))

7. Для определения максимального изгибающего момента в первом пролете а сначала определяется точка, где касательные напряжения равны 0:

"Q"х = RA - qx = 0

x = RA/q

M1пр = RA(х - с) - qx2/2

8. Для определения максимального изгибающего момента во втором пролете b сначала определяется точка, где касательные напряжения равны 0:

"Q"х = RC - qx = 0

x = RC/q

M2пр = RC(x - d) - qx2/2

Примечание: в данном случае значение х будет определяться не от начала, а от конца балки.

9. Для определения максимального прогиба в первом пролете а сначала определяется точка, где угол наклона поперечного сечения равен 0. Для этого сначала определяется угол наклона поперечного сечения в начале балки:

fB = - θн(a + c) + RAa3/6EI - q(a + с)4/24EI + qc4/24EI + θнc = 0

θн(a + с - c) = RAa3/6EI - q((a + с)4 - c4)/24EI

θн = (4RAa3/6EI - q((a + с)4 - c4))/(24EIa) = (4RAa2 - q((a + с)4 - c4)/a)/24EI

тогда:

- Θн + RA(х - с)2/2EI - qx3/6EI = 0

10. Кубическое уравнение будет иметь вид:

qx3/6EI - RA(х - с)2/2EI + Θн = 0

Далее:

fпр = qc4/24EI + θн(c - х) + RA(х - с)3/6EI - qx4/24EI =

(qc4 + (4RAa2 - q((a + с)4 - c4)/a)(c - х) + 4RA(х - с)3 - qx4)/24EI

11. Проверка:

При х = c

fA = (qc4 + (4RAa2 - q((c + a)4 - qc4)/a)(c - c) + 4RA(a - a)3 - qc4)/24EI = (qc4 - qc4)/24EI = 0

При х = (c + а)

fВ = (qc4 + (4RAa2 - q((c + a)4 - qc4)/a)(c - c - a) + 4RA(c + a - c)3 - q(c + a)4)/24EI = (qc4 + (4RAa2 - q((c + a)4 - qc4)/a)(- a) + 4RAa3 - q(c + a)4)/24EI = (qc4 - 4RAa3 + q((c + a)4 - qc4 + 4RAa3 - q(c + a)4)/24EI = 0 

Примечание: по указанным формулам можно получить значение прогиба в любой точке пролета, подставляя соответствующее значение х.

На этом пока все.

Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье "Записаться на прием к доктору"

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV

Для Украины - номер гривневой карты (Приватбанк) 5168 7422 4128 9630

На главную домой

Категории:
Оценка пользователей: 10.0 (голосов: 3)
Переходов на сайт:6770
Комментарии:
01-05-2021: Ника

В формулах 5.1 и 5.2 ошибки вроде как есть...


23-05-2021: Доктор Лом

Был бы признателен, если бы вы указали, какие именно ошибки. Я что-то их не нахожу.


Добавить свой комментарий:

Имя:

E-Mail адрес:

Комментарий:

Ваша оценка:

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье "Записаться на прием к доктору" (ссылка в шапке сайта).







советы по строительству и ремонту




Доктор Лом. Первая помощь при ремонте, Copyright © 2010-2021