На главную домой советы по ремонту квартиры
Поиск по сайту
Список кабинетов || Что это за доктор? || Записаться на прием

Основное меню


Технологии выполнения работ


Диагностика и лечение


Инженерные сети и коммуникации


Элементы конструкции


Расчет конструкций


Помещения


Встраиваемая техника


Строительные и отделочные материалы


Дизайн




К расчету пластин на действие равномерно распределенной нагрузки

Расчет пластин, а тем более оболочек - занятие не из простых и не для слабонервных. Достаточно сказать, что различные методы расчета пластин и оболочек не являются предметом рассмотрения общего курса теории сопротивления материалов. Это, так сказать, высшее знание, доступное лишь немногим избранным, постигшим таинство неопределенных интегралов и дифференциального исчисления, в добавок к тому вооруженным сверхсовременными компьютерами и программами.

Для остальных есть таблицы в толстых справочниках, содержание которых также маловразумительно, как труды Аристотеля, а с недавнего времени еще и форумы. В целом за последние две с половиной тысячи лет ситуация с доступом к знаниям изменилась мало.

Напрасно Александр Македонский, находясь с походом в Азии, корил своего учителя в письме: "Ты поступил неправильно, обнародовав учения, предназначенные только для устного преподавания. Чем же мы будем отличаться от остальных людей, если учения сделаются общим достоянием? Я хотел бы превосходить других не столько могуществом, сколько знаниями о высших предметах." Но Аристотель успокоил ученика, утверждая, что эти учения хотя и опубликованы, но вместе с тем как бы и не опубликованы, а потому волноваться не о чем. И действительно, все кто пытался постигнуть суть трудов Аристотеля, могут это подтвердить.

А между тем люди не только используют, но и изготавливают пластины и оболочки с древнейших времен и начали это делать задолго до того, как появилась письменность. Например, керамические тарелки, горшки, кованные щиты, стены домов - все это оболочки или пластины, имеющие часто очень сложные геометрические формы. В последнее время к ним добавились железобетонные плиты перекрытия, большим разнообразием формы впрочем не отличающиеся.

Но если при изготовлении кухонной утвари вполне можно обойтись накопленным опытом предыдущих поколений, то при устройстве железобетонных плит, перекрытий из металлического листа или фанеры с опиранием по контуру все-таки требуется хотя бы минимальный расчет, потому как размеры подобных перекрытий, способы опирания и виды прилагаемых нагрузок разнятся достаточно сильно.

Как же быть в подобной ситуации человеку, затеявшему строительство бюджетного домика с монолитной железобетонной плитой перекрытия, опертой по контуру или какой другой пластиной в конструкции дома? Вариантов два:

1. Обратиться к избранным (заказать расчет плиты перекрытия, а лучше - всего дома, в проектной организации).

2. Попытаться самому разобраться в тонкостях и хитросплетениях расчета пластин.

Скажу сразу, данная статья не поможет вам с невиданной доселе легкостью и быстротой рассчитывать пластины, но даст общее представление об особенностях их расчета.

Введение

Человеку, не сведущему в тонкостях сопромата, может показаться, что расчет пластин мало чем отличается от расчета стержней (балок). И это действительно так, когда речь идет о пластинах, в которых возникает линейное напряженное состояние, что бывает только при соответствующем расположении опор. Во всех остальных случаях в пластинах возникает плоское напряженное состояние и это необходимо учитывать при расчетах. И не просто плоское напряженное состояние, а неоднородность этого состояния в различных точках пластины (плиты) даже при равномерно распределенной плоской нагрузке. Из-за чего же возникает это различие напряженных состояний?

Начнем издалека. В теории стержень - это физическое тело, высота и ширина которого значительно меньше длины. На практике это позволяет рассматривать стержень (на первой стадии расчета) как физическое тело, имеющее только один значимый параметр - длину, а высотой и шириной пренебречь при условии, что высота и ширина - это есть постоянные параметры по всей длине балки.

Возьмем к примеру (чисто виртуально) деревянную доску длиной 2 метра, шириной 25 см и высотой (толщиной) 0.5 см и положим ее на два стандартных кирпича так, чтобы доска опиралась по краям на кирпичи по всей ширине доски. В идеальном случае, т.е. когда доска и кирпичи имеют идеальную геометрическую форму, кирпичи поставлены параллельно один другому и перпендикулярно оси х, к тому же находятся на плоскости, мы получаем классический стержень - балку с двумя шарнирными опорами - кирпичами, на которую действует линейная равномерно распределенная нагрузка (на этом и нижеследующих рисунках, на расчетных схемах б) нагрузка не показана, но само собой подразумевается):

расчетная схема доски балки

Рисунок 360.1. а) доска на кирпичах, б) расчетная схема для доски длиной 2 метра, в) поперечное сечение доски, г) сечение доски, проходящее через нейтральную ось (на рисунке не показана)

Примечание: Сечение доски, проходящее через нейтральную ось балки, показывает, какой у доски будет прогиб в результате действия нагрузки. По большому счету рисунок а) почти ни чем не отличается от рисунка г). А положение нейтральной оси при этом описывается уравнением прогиба.

На самом деле на доску действует объемная равномерно распределенная нагрузка - собственный вес балки, складывающийся из веса отдельных атомов и молекул доски. Однако при условии равномерного распределения этих атомов и молекул в объеме доски нам для упрощения задачи ничто не мешает свести объемную равномерно распределенную нагрузку к линейной равномерно распределенной и кроме того приложить эту нагрузку в плоскости, проходящей через оси х и у. Делается это просто: объемный вес древесины умножается на ширину и высоту доски, таким образом получаем линейную равномерно распределенную нагрузку.

Если мы отрежем от доски кусок длиной 27 см, то уже получим пластину, т.е. физическое тело, толщина которого значительно меньше длины и ширины. Но если мы уложим этот кусок так, как описано выше, то опять-таки ничто не помешает рассматривать нам этот кусок, как балку. Ширина такой балки будет равна длине (если длина опорных участков будет по 1 см), однако равномерное распределение нагрузки и равномерное распределение опорных реакций по всей длине кирпичей позволяют рассматривать такую пластину как обычный стержень - балку, на которую действует линейная равномерно распределенная нагрузка. Под действием этой нагрузки в поперечных сечениях балки будут возникать нормальные напряжения (под действием изгибающего момента) и касательные напряжения (под действием поперечных сил). В результате этого балка - доска будет прогибаться. Причем величина прогиба будет постоянной в выбранном сечении по всей ширине балки b, т.е. параметры поперечного сечения не изменятся (момент инерции поперечного сечения будет постоянным по всей длине балки).

расчетная схема для короткой доски балки

Рисунок 360.2. Короткая доска на 2 кирпичах

Если же мы под доску подсунем еще два кирпича перпендикулярно уже уложенным, то таким образом получим пластину - квадратную плиту, опертую по контуру (или по периметру, это кому как больше нравится). Очевидно, что из-за появившихся дополнительных опор по краям ширины величина прогиба (в рассматриваемом поперечном сечении) уже не будет постоянной по всей ширине доски. Максимальным прогиб будет посредине ширины (в плоскости, проходящей через оси х и у), а на дополнительных опорах прогиб будет равен нулю.

расчетная схема для доски пластины

Рисунок 360.2. Короткая доска на 4 кирпичах.

В итоге мы получаем конструкцию, у которой сечения во взаимно перпендикулярных плоскостях, проходящих через центр тяжести доски, одинаковы (см. рис 360.2.в) и г)).

Если же мы вернемся к первой доске длиной 2 метра и сделаем для нее опирание по контуру из кирпичей, то влияние дополнительных опор по длинной стороне (эти кирпичи показаны на рисунке желтым цветом) будет минимальным:

Расчетная схема для длинной доски пластины

Рисунок 360.3. Длинная доска на 4 кирпичах.

Рисунок 360.4. Длинная доска с опиранием на кирпичи по контуру, д) сечение доски, проходящее через нейтральную ось при отсутствии дополнительных опор по длинной стороне (желтые кирпичи)

и вообще, если убрать дополнительные опоры, параллельные оси z, то почти ничего не изменится. Ведь прогиб - это результат действия нагрузки. Для однопролетной шарнирно опертой балки максимальный прогиб при равномерно распределенной нагрузке:

f = 5ql4/(384EI)

А значит, если условно разбить плоскую нагрузку на линейные, действующие в перпендикулярных плоскостях, и предположить, что общий максимальный прогиб возникает в результате действия этих линейных нагрузок, то

f = fx + fz = 5(qxl4 + qzb4)/(384EI)

Поэтому даже при fx = fz соотношение нагрузок, действующих в перпендикулярных плоскостях, будет иметь следующий вид:

qxl4 = qzb4; qz = qxl4/b4 = qx(l/b)4

То есть при l/b = 200/25 = 8 линейная нагрузка в плоскости y-z будет в 84 = 4096 раз меньше нагрузки, действующей в плоскости у-х. Конечно это не совсем корректное допущение, но зато достаточно наглядное. К тому же прогиб балки относительно оси х не удастся описать относительно простым уравнением прогиба. Да и если сравнить рисунки 360.4.г) и д), то большой разницы мы не увидим, это при том, что на рисунках прогиб для наглядности показан намного большим, чем он может быть на самом деле.

Отсюда следует как минимум 4 вывода:

1. Опирание по контуру имеет максимальное влияние на расчет квадратных пластин. При расчете таких пластин следует учитывать изменение момента инерции рассматриваемых сечений.

2. Любую опертую по контуру пластину, на которую действует плоская равномерно распределенная нагрузка (или объемная равномерно распределенная нагрузка), имеющую соотношение длины к ширине больше 3 (условная разница между линейными нагрузками в перпендикулярных плоскостях более 81 раза), допустимо рассматривать как обычную балку, на которую действует линейная равномерно распределенная нагрузка. Само собой расчетная длина балки - это короткая сторона пластины.

3. Плоскую равномерно распределенную нагрузку нельзя привести к линейным равномерно распределенным, действующим в перпендикулярных плоскостях, особенно для прямоугольных пластин.

4. Если все вышесказанное легким туманом рассеялось в голове, то можно любую пластину, имеющую опирание по периметру рассчитывать как балку. Большой беды в том не будет, а будет определенный запас прочности. А как известно запас прочности еще никому не помешал, только наоборот. Запас прочности при таком простом расчете составит примерно 1.85.

Если такой запас прочности кажется вам излишне большим, то добро пожаловать дальше.

Расчет квадратной пластины в первом приближении

Если квадратная пластина имеет очень большую жесткость (в идеале стремящуюся к бесконечности) или нагрузка на пластину крайне незначительна, при этом возникающими деформациями можно пренебречь, или величина максимального прогиба крайне незначительна по отношению к толщине пластины, что также позволяет не учитывать изменение момента инерции рассматриваемых сечений, то в этих случаях допустимо рассматривать квадратную пластину как две балки. Одна балка с нейтральной осью, совпадающей с осью х, а вторая балка с нейтральной осью, совпадающей с осью z. При этом плоскую равномерно распределенную нагрузку, действующую на пластину, можно рассматривать как две линейные равномерно распределенные нагрузки, действующие на балки. А так как пластина квадратная, то:

qx = qz = q/2 (360.1)

тогда максимальное значение моментов

Мx = Mz = ql2/(8·2) = ql2/16 = 0.0625ql2 (360.2)

Ну и все остальные величины имеют соответствующие значения. Вот так все было бы легко и просто при расчете квадратных пластин, если бы не одно но. В действительности все вышеперечисленные случаи практически не встречаются. Если мы определим значение максимального момента по соответствующей таблице, то обнаружим, что коэффициент, предлагаемый для определения максимального значения момента составляет 0.0479. Таким образом при принятом допущении запас прочности составит 0.0625/0.0479 = 1.3. И хотя это не такой уж и большой запас по прочности, если учесть, что коэффициент надежности по нагрузке иногда принимается равным 1.3, тем не менее можно попробовать рассчитать квадратную пластину еще более точно.

Расчет квадратной пластины во втором приближении

Так как все известные на данный момент человечеству материалы обладают вполне определенной жесткостью, далекой от бесконечности и нагрузка на рассчитываемые пластины является достаточно значимой, то при расчетах пластин имеет смысл учитывать неравномерность распределения условных линейных нагрузок. Вот только как именно изменяются эти нагрузки, мы не знаем, более того, мы даже не можем определить значения опорных реакций, возникающих по контуру пластины. Все потому, что пластина - не балка.

Когда мы рассматривали изменение опорных реакций в зависимости от точки приложения сосредоточенной силы к балке, то обнаружили линейную зависимость между значением опорной реакции и расстоянием от опоры до точки приложения силы. Эта линейная зависимость называется линией влияния. Однако для пластины построить подобную линию влияния мы не сможем. Даже когда сосредоточенная единичная сила (Q = 1) приложена посредине одной из сторон квадрата, то в связи с тем, что пластина имеет некоторую жесткость, отличную от бесконечной, суммарная опорная реакция по этой стороне квадрата действительно может быть равна 1, однако эта опорная реакция будет не сосредоточенной, а распределенной по длине стороны квадрата. В данном случае эту сторону квадрата более правильно рассматривать как балку, лежащую на упругом основании со всеми вытекающими.

Тем не менее воспользуемся следующим предположением:

При приложении сосредоточенной силы посредине одной из сторон квадрата опорная реакция будет действовать только по этой стороне квадрата, соответственно суммарная опорная реакция будет равна приложенной сосредоточенной силе. При приложении сосредоточенной силы в одной из вершин квадрата опорная реакция будет действовать только по 2 сторонам квадрата, примыкающим к этой вершине, соответственно опорные реакции для этих сторон будут равными и составят 0.5 от действующей сосредоточенной силы.

Тогда, если мы попробуем построить условную линию влияния опорных реакций для нашей квадратной пластины с шарнирным опиранием по контуру, то обнаружим, что при перемещении единичной силы вдоль оси х данная линия не будет прямой, так как при приложении единичной сосредоточенной силы (Q = 1) в центре пластины реакция будет распределяться равномерно на все 4 опоры, соответственно значение опорных реакций в этом случае будет составлять 0.25.

линия влияния для опорной реакции квадратной пластины с шарнирным опиранием по контуру

Рисунок 360.4. Условная линия влияния для опорной реакции при перемещении сосредоточенной силы вдоль оси х.

Как видим, данная условная линия влияния опорной реакции может быть описана квадратной параболой.

А если построить условные линии влияния для опорных реакций при перемещении единичной силы по диагоналям, то мы получим прямые линии, подобные линиям влияния для обычной балки:

линия влияния для квадратной пластины с опиранием по контуру при перемещении сосредоточенной силы по диагонали

Рисунок 360.5.Условная линия влияния для опорной реакции при перемещении сосредоточенной силы вдоль одной из диагоналей квадрата.

Из этого можно сделать следующие выводы:

1. Значения условных приведенных линейных распределенных нагрузок в точках, расположенных на диагоналях квадрата, равны между собой и составляют 0.5q.

2. Максимальное значение условных приведенных линейных распределенных нагрузок будет по осям х и z. При рассмотрении балок с некоторой достаточно малой шириной, для которых нейтральные оси совпадают с осями х и z, условная приведенная линейная распределенная нагрузка будет изменяться от 1 до 0.5 (посредине пластины) и снова до 1. Можно предположить, что такое изменение будет равномерным и тогда условная приведенная распределенная нагрузка для такой балки будет иметь следующий вид (рис 360.6.а)):

изменение условной приведенной линейной распределенной нагрузки для квадратной пластины

Рисунок 360.6. Изменение значения распределенной нагрузки. а) по оси б) по ширине балки.

3. Минимальное значение условных приведенных линейных распределенных нагрузок будет по краям пластины - на сторонах квадрата. При рассмотрении балок с некоторой достаточно малой шириной, совпадающих со сторонами квадрата, условная приведенная линейная распределенная нагрузка будет изменяться от 0.5 до 0 (посредине стороны квадрата) и снова до 0.5. При этом изменение нагрузки вдоль перпендикулярной оси (по ширине пластины) будет иметь следующий вид (рис 360.6.б)).

4. Из этого следует, что при определении максимального изгибающего момента например для для сечения, поперечного оси х, мы должны дополнительно учитывать неравномерность распределения нагрузки по ширине пластины. Для этого попробуем определить среднее значение нагрузки по ширине балок.

При изменении в начале балки распределенной нагрузки по ширине балки от 0.5 в начале ширины до 1 посредине ширины балки и снова до 0.5 в конце ширины среднее значение нагрузки составит 0.75q. При изменении в середине балки распределенной нагрузки от 0 в начале ширины до 0.5 посредине ширины и снова до 0 в конце ширины среднее значение нагрузки составит 0.25q. Таким образом мы имеем как бы сочетание равномерно распределенной нагрузки 0.25q и равномерно изменяющейся от 0.5 в начале балки до 0 посредине балки и снова до 0.5 в конце балки.

Воспользовавшись коэффициентами приведения равномерно изменяющейся нагрузки к эквивалентной равномерно распределенной мы получим следующее значение

Мx = Mz = 0.25ql2/8 + 0.5ql2/24 = ql2/32 + ql2/48 = 5ql2/96 = 0.052083ql2 (360.3)

Таким образом при принятом допущении запас прочности составит 0.052083/0.0479 = 1.087 или около 9%.

Главный недостаток принятого допущения в том, что производя расчет по среднему значению распределенной по ширине балки нагрузки, мы не учитываем изменение момента инерции сечения из-за разной величины прогиба в начале, конце и посредине ширины балки, т.е. принимаем величину этого прогиба постоянной по ширине. В действительности, как мы выяснили ранее, это не так. Тем не менее погрешность при определении изгибающих моментов таким способом совсем не большая.

Для большей точности, например при расчете квадратной пластины в третьем приближении, следовало бы учесть, что края пластины, которые можно условно рассматривать как балки, лежащие на упругом основании, в результате действия нагрузки и относительно большого прогиба посредине пластины также будут прогибаться, хотя и не так значительно как условная балка посредине пластины. Это приводит к тому, что сумма условных линейных нагрузок не является постоянной по длине балки, лежащей на упругом основании (по ширине пластины) и не равна 1. Кроме того, концы условных балок, лежащих на упругом основании (вершины квадрата) будут приподниматься над опорами в результате прогиба. Т.е. в вершинах квадрата опорные реакции не просто будут равны 0, а еще и будут действовать реактивные силы, направленные противоположно опорным реакциям. В общем виде эпюры опорных реакций будут иметь вид эпюры Vz (показана на рис. 374.1 розовым цветом):

расчетная схема и эпюры для расчета прямоугольных шарнирно опертых плит

Рисунок 374.1

Однако мы, во всяком случае в рамках данной статьи, производить расчет в третьем приближении не будем. Различных способов расчета пластин (тем не менее все равно остающихся приближенными) и без нас хватает.

Примечание: рисунок 374.1 взят из статьи, где приводятся таблицы для расчета пластин с шарнирным опиранием по контуру при действии равномерно распределенной плоской нагрузки. А все вышесказанное позволяет более наглядно представить, почему эпюры различных параметров имеют соответствующий вид и откуда появляются реактивные силы в вершинах пластины.

На главную домой

Категории:
Оценка пользователей: Нет
Переходов на сайт:1459
Комментарии:

Комментариев нет

Добавить свой комментарий:

Имя:

E-Mail адрес:

Комментарий:

Ваша оценка:

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье "Записаться на прием к доктору" (ссылка в шапке сайта).




советы по строительству и ремонту



После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью и адресом электронной почты. Если вы хотите задать вопрос, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Спасибо. Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий к соответствующей статье.

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

На всякий случай кошелек webmoney: R158114101090

Или: Z166164591614


Доктор Лом. Первая помощь при ремонте, Copyright © 2010-2016