Рассмотрим следующий пример: имеется балка перекрытия на двух шарнирных опорах с расчетной длиной l = 230.5 см. На балку опираются 4 лаги, первая на расстоянии l1 = 18 см от шарнирной опоры, расстояние между 1 и 2, между 2 и 3 и между 3 и 4 лагами l2 = l3 = l4 = 60 см, расстояние от 4 лаги до второй шарнирной опоры l5 = 32.5 см.
Как видим, сосредоточенные нагрузки к балке приложены несимметрично, да и значения сосредоточенных нагрузок вряд ли могут быть равными. Как минимум потому, что на лаги передается нагрузка от перекрытия, а значит нагрузка на первую лагу будет меньше, чем на все остальные даже при равномерно распределенной нагрузке на напольное покрытие. А во-вторых, равномерно распределенная нагрузка на напольное покрытие принимается исключительно в целях упрощения расчета, в действительности возле стен обычно стоит всякая разная мебель и потому нагрузка на крайние лаги как правило больше, чем на лаги, расположенные ближе к середине пролета.
Итак у нас есть два варианта проведения расчетов: упрощенный и полный. Сначала рассмотрим
Упрощенный вариант первого этапа расчета балки
Если мы для дальнейшего упрощения расчетов примем значения сосредоточенных нагрузок от лаг равными между собой Q1 = Q2 = Q3 = Q4 = Q = 200 кг, а приложение этих нагрузок будем рассматривать как симметричное, т.е. l1 = l5 = l2/2, то сможем относительно легко перевести эти сосредоточенные нагрузки в эквивалентную равномерно распределенную.
qэкв = γmQ/l = 1·4Q/l = 4·200/230.5 = 3.47 кг/см (305.1.4)
где m - количество сосредоточенных нагрузок, γ = 1 - коэффициент перехода от сосредоточенных нагрузок к эквивалентной равномерно распределенной.
Таким образом максимальный момент составит
M = qэквl2/8 = 3.47·230.52/8 = 23050 кгс·см
и теперь подобрать необходимое сечение будь то деревянной, металлической или железобетонной балки - не проблема (варианты подбора необходимого сечения рассматриваются в соответствующих статьях). Да и определить значения поперечных сил на опорах не сложно. А после того, как будет подобрано необходимое сечение и станут известны его параметры, можно будет проверить допустимость максимального прогиба для такой балки по формуле
f = 5qэквl4/384EI
Вот в сущности и весь упрощенный расчет, в результате которого мы получили несколько завышенные значения момента. Насколько завышенные, нам поможет узнать
Полный вариант первого этапа расчета балки
1. Определение опорных реакций
Так как первая лага опирается максимально близко к первой шарнирной опоре рассматриваемой балки, то сосредоточенная нагрузка от этой лаги скорее всего будет меньше, чем от остальных лаг. Предположим, что от остальных лаг сосредоточенная нагрузка как и прежде составляет Q2 = Q3 = Q4 = 200 кг, а от первой лаги
Q1 = Q2(l1 + l2/2)/l2 = 200(18 + 60/2)/60 = 0.8Q2 = 160 кг
Тогда опорные реакции составят
А = (Q1(l - l1) + Q2(l - l1 - l2) + Q3(l4 + l5) + Q4l5)/l = (160(230.5 - 18) + 200((230.5 - 18 - 60) + (60 + 32.5) + 32.5)/230.5 = 388.286 кг
В = (Q1 l1 + Q2( l1 + l2) + Q3(l - l4 - l5) + Q4(l - l5)/l = (160·18 + 200((18 + 60) + (230.5 - 60 - 32.5) + (230.5 - 32.5))/230.5 = 371.713 кг
Проверим наш расчет, сумма опорных реакций должна быть равна сумме сосредоточенных нагрузок
388.286 + 371.71 = 759.999 ≈ 760 кг = 160 + 3·200
Это значит, что одно из условий равновесия системы выполняется, так как опорные реакции направлены в сторону, противоположную нагрузкам, а значит и сумма всех сил, действующих относительно оси у, будет = 0. Кроме того опорные реакции соответствуют значениям поперечных сил, действующих на опорах балки.
Теперь мы можем продолжать расчет, но сразу отметим, что разница опорных реакций для нашего случая загружения балки не так уж и велика, около
100%(388.286 - 371.713)/371.713 = 4.4%
2. Определение максимального изгибающего момента
Для того, чтобы определить максимальный изгибающий момент при несимметричной нагрузке, мы сначала должны построить эпюру моментов. Впрочем, схема загружения нашей балки не такая уж и сложная и очевидно, что максимальный момент будет в сечении под второй или третьей лагой, поэтому ограничимся тем, что определим значения моментов в сечениях под 2 и 3 сосредоточенной нагрузкой.
М2 = А(l1 + l2) - Q1l2 = 388.286(18 + 60) - 160·60 = 20686.308 кгс·см
М3 = А(l1 + l2 + l3) - Q1(l2 + l3) - Q2l3= 388.286(18 + 60 + 60) - 160(60 + 60) - 200·60 = 22383.468 кгс·см
Как видим, максимальный момент будет в сечении под 3 лагой, при этом разница с максимальным моментом, полученным при упрощенном расчете, составит около
100%(23050 - 22383.468)/22383.468 = 3%
что можно рассматривать, как дополнительный запас прочности. С учетом того, что при расчетах частно принимаются коэффициенты надежности по нагрузке от 1.1 до 1.4, дополнительный коэффициент 1.03 на мой взгляд не кардинально влияет на расчеты. К тому же доступные сечения деревянного бруса и металлопроката, точнее разница размеров поперечных сечений, иногда требуют принять больший запас по прочности или пересматривать расчетную схему.
Тем не менее продолжим расчет. Для определения максимального прогиба нам сначала нужно определить значение угла поворота поперечного сечения хотя бы на одной из опор, например, на опоре А.
3. Определение угла поворота на опоре А и максимального прогиба поперечного сечения
Так как нагрузки, приложенные к балке, несимметричны и не равны, то максимальный прогиб будет не посредине пролета балки, а в точке, где угол поворота поперечного сечения = 0, где-то между 2 и 3 лагами (на расстоянии х от первой опоры и судя по всему достаточно близко к середине пролета балки). На основании этого мы можем составить следующее уравнение:
θ(х) = - θA + Ax2/2EI - Q1(x - l1)2/2EI - Q2(x - l1 - l2)2/2EI = 0
В этом уравнении 2 неизвестных: угол поворота на опоре А и собственно расстояние х. Для того, чтобы определить угол поворота на опоре А, необходимо решить дополнительное уравнение, исходя из условия, что прогиб на опорах А и В равен нулю.
fВ = - θAl + Al3/6EI - Q1(l - l1)3/6EI - Q2(l - l1 - l2)3/6EI - Q3(l4 + l5)3/6EI - Q4l53/6EI = 0
После определения этих неизвестных мы, наконец можем определить максимальный прогиб по формуле
f(x) = - θAx + Ax3/6EI - Q1(х - l1)3/6EI - Q2(x - l1 - l2)3/6EI
Лично у меня нет большого желания решать все эти уравнения, тем более, что итоговые результаты будут отличаться от полученных при упрощенном расчете на несколько процентов. А есть ли у вас необходимость в столь точном расчете - решать вам. | 
