На главную домой советы по ремонту квартиры
Поиск по сайту
Список кабинетов || Что это за доктор? || Записаться на прием

Основное меню


Технологии выполнения работ


Диагностика и лечение


Инженерные сети и коммуникации


Элементы конструкции


Расчет конструкций


Помещения


Встраиваемая техника


Строительные и отделочные материалы


Дизайн




Общий случай расчета балки на шарнирных опорах при действии нескольких сосредоточенных нагрузок

Первый этап расчета однопролетной балки на шарнирных опорах - определение максимальных изгибающих моментов, поперечных сил, углов поворота и прогибов - большой сложности не представляет, если к балке приложена одна сосредоточенная нагрузка. Все необходимые формулы для этого частного случая уже имеются, достаточно лишь подставить в эти формулы свои значения.

Тем не менее очень часто балка бывает загружена несколькими сосредоточенными нагрузками. Если эти нагрузки равны и приложены симметрично, то наиболее простой способ расчета такой балки - перевести сосредоточенные нагрузки в эквивалентную равномерно распределенную.

Однако в общем случае сосредоточенные нагрузки к однопролетной балке на шарнирных опорах могут быть приложены не симметрично, да и значения сосредоточенных нагрузок могут быть разными. И в этом общем случае для получения точных результатов отделаться малой кровью не получится, необходимо выполнять полный расчет по общему протоколу.

Рассмотрим следующий пример: имеется балка перекрытия на двух шарнирных опорах с расчетной длиной l = 230.5 см. На балку опираются 4 лаги, первая на расстоянии l1 = 18 см от шарнирной опоры, расстояние между 1 и 2, между 2 и 3 и между 3 и 4 лагами l2 = l3 = l4 = 60 см, расстояние от 4 лаги до второй шарнирной опоры l5 = 32.5 см.

Как видим, сосредоточенные нагрузки к балке приложены несимметрично, да и значения сосредоточенных нагрузок вряд ли могут быть равными. Как минимум потому, что на лаги передается нагрузка от перекрытия, а значит нагрузка на первую лагу будет меньше, чем на все остальные даже при равномерно распределенной нагрузке на напольное покрытие. А во-вторых, равномерно распределенная нагрузка на напольное покрытие принимается исключительно в целях упрощения расчета, в действительности возле стен обычно стоит всякая разная мебель и потому нагрузка на крайние лаги как правило больше, чем на лаги, расположенные ближе к середине пролета.

Итак у нас есть два варианта проведения расчетов: упрощенный и полный. Сначала рассмотрим

Упрощенный вариант первого этапа расчета балки

Если мы для дальнейшего упрощения расчетов примем значения сосредоточенных нагрузок от лаг равными между собой Q1 = Q2 = Q3 = Q4 = Q = 200 кг, а приложение этих нагрузок будем рассматривать как симметричное, т.е. l1 = l5 = l2/2, то сможем относительно легко перевести эти сосредоточенные нагрузки в эквивалентную равномерно распределенную.

qэкв = γmQ/l = 1·4Q/l = 4·200/230.5 = 3.47 кг/см (305.1.4)

где m - количество сосредоточенных нагрузок, γ = 1 - коэффициент перехода от сосредоточенных нагрузок к эквивалентной равномерно распределенной.

Таким образом максимальный момент составит

M = qэквl2/8 = 3.47·230.52/8 = 23050 кгс·см

и теперь подобрать необходимое сечение будь то деревянной, металлической или железобетонной балки - не проблема (варианты подбора необходимого сечения рассматриваются в соответствующих статьях). Да и определить значения поперечных сил на опорах не сложно. А после того, как будет подобрано необходимое сечение и станут известны его параметры, можно будет проверить допустимость максимального прогиба для такой балки по формуле

f = 5qэквl4/384EI

Вот в сущности и весь упрощенный расчет, в результате которого мы получили несколько завышенные значения момента. Насколько завышенные, нам поможет узнать

Полный вариант первого этапа расчета балки

 

1. Определение опорных реакций

Так как первая лага опирается максимально близко к первой шарнирной опоре рассматриваемой балки, то сосредоточенная нагрузка от этой лаги скорее всего будет меньше, чем от остальных лаг. Предположим, что от остальных лаг сосредоточенная нагрузка как и прежде составляет Q2 = Q3 = Q4 = 200 кг, а от первой лаги

Q1 = Q2(l1 + l2/2)/l2 = 200(18 + 60/2)/60 = 0.8Q2 = 160 кг

Тогда опорные реакции составят

А = (Q1(l - l1) + Q2(l - l1 - l2) + Q3(l4 + l5) + Q4l5)/l = (160(230.5 - 18) + 200((230.5 - 18 - 60) + (60 + 32.5) + 32.5)/230.5 = 388.286 кг

В = (Q1 l1 + Q2( l1 + l2) + Q3(l - l4 - l5) + Q4(l - l5)/l = (160·18 + 200((18 + 60) + (230.5 - 60 - 32.5) + (230.5 - 32.5))/230.5 = 371.713 кг

Проверим наш расчет, сумма опорных реакций должна быть равна сумме сосредоточенных нагрузок

388.286 + 371.71 = 759.999 ≈ 760 кг = 160 + 3·200 

Это значит, что одно из условий равновесия системы выполняется, так как опорные реакции направлены в сторону, противоположную нагрузкам, а значит и сумма всех сил, действующих относительно оси у, будет = 0. Кроме того опорные реакции соответствуют значениям поперечных сил, действующих на опорах балки.

Теперь мы можем продолжать расчет, но сразу отметим, что разница опорных реакций для нашего случая загружения балки не так уж и велика, около

100%(388.286 - 371.713)/371.713 = 4.4%

2. Определение максимального изгибающего момента

Для того, чтобы определить максимальный изгибающий момент при несимметричной нагрузке, мы сначала должны построить эпюру моментов. Впрочем, схема загружения нашей балки не такая уж и сложная и очевидно, что максимальный момент будет в сечении под второй или третьей лагой, поэтому ограничимся тем, что определим значения моментов в сечениях под 2 и 3 сосредоточенной нагрузкой.

М2 = А(l1 + l2) - Q1l2 = 388.286(18 + 60) - 160·60 = 20686.308 кгс·см

М3 = А(l1 + l2 + l3) - Q1(l2 + l3) - Q2l3= 388.286(18 + 60 + 60) - 160(60 + 60) - 200·60 = 22383.468 кгс·см

Как видим, максимальный момент будет в сечении под 3 лагой, при этом разница с максимальным моментом, полученным при упрощенном расчете, составит около

100%(23050 - 22383.468)/22383.468 = 3%

что можно рассматривать, как дополнительный запас прочности. С учетом того, что при расчетах частно принимаются коэффициенты надежности по нагрузке от 1.1 до 1.4, дополнительный коэффициент 1.03 на мой взгляд не кардинально влияет на расчеты. К тому же доступные сечения деревянного бруса и металлопроката, точнее разница размеров поперечных сечений, иногда требуют принять больший запас по прочности или пересматривать расчетную схему.

Тем не менее продолжим расчет. Для определения максимального прогиба нам сначала нужно определить значение угла поворота поперечного сечения хотя бы на одной из опор, например, на опоре А.

3. Определение угла поворота на опоре А и максимального прогиба поперечного сечения

Так как нагрузки, приложенные к балке, несимметричны и не равны, то максимальный прогиб будет не посредине пролета балки, а в точке, где угол поворота поперечного сечения = 0, где-то между 2 и 3 лагами (на расстоянии х от первой опоры и судя по всему достаточно близко к середине пролета балки). На основании этого мы можем составить следующее уравнение:

θ(х) = - θA + Ax2/2EI - Q1(x - l1)2/2EI - Q2(x - l1 - l2)2/2EI = 0

В этом уравнении 2 неизвестных: угол поворота на опоре А и собственно расстояние х. Для того, чтобы определить угол поворота на опоре А, необходимо решить дополнительное уравнение, исходя из условия, что прогиб на опорах А и В равен нулю.

fВ = - θAl + Al3/6EI - Q1(l - l1)3/6EI - Q2(l - l1 - l2)3/6EI - Q3(l4 + l5)3/6EI - Q4l53/6EI = 0

После определения этих неизвестных мы, наконец можем определить максимальный прогиб по формуле

f(x) = - θAx + Ax3/6EI - Q1(х - l1)3/6EI - Q2(x - l1 - l2)3/6EI

Лично у меня нет большого желания решать все эти уравнения, тем более, что итоговые результаты будут отличаться от полученных при упрощенном расчете на несколько процентов. А есть ли у вас необходимость в столь точном расчете - решать вам.

На главную домой

Категории:
Оценка пользователей: Нет
Переходов на сайт:4978
Комментарии:
18-02-2015: Антон

Большое спасибо.


06-07-2015: Жывотное

5+
главное, шеф, ты меня последним предложением успокоил.
Так что спасибо.


Добавить свой комментарий:

Имя:

E-Mail адрес:

Комментарий:

Ваша оценка:

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье "Записаться на прием к доктору" (ссылка в шапке сайта).




советы по строительству и ремонту



После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью и адресом электронной почты. Если вы хотите задать вопрос, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Спасибо. Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий к соответствующей статье.

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

На всякий случай кошелек webmoney: R158114101090

Или: Z166164591614


Доктор Лом. Первая помощь при ремонте, Copyright © 2010-2016