Расчетые схемы наклонных балок

09-03-2016: Антон

Позвольте это перенести на такой пример: два человека несут за концы балку под наклоном. Вес ведь поровну делится? Но начиная с некоторого угла наклона нижнему тяжелее становится?

09-03-2016: Доктор Лом

Ваш пример не совсем корректен, но для наглядности подходит. Действительно, чем больше угол наклона, тем больше горизонтальная составляющая нагрузки и тем меньше вертикальная составляющая. И отдуваться за это приходится тому, кто ниже.
Кроме того балка как правило имеет вполне конкретные размеры сечения, а это значит, что центр тяжести наклонной балки будет все равно ближе к нижней опоре, чем к верхней.
А нагрузка на опоры делится поровну только при горизонтальной балке. Любой угол наклона уже приводит к изменению опорных реакций. Другое дело, что почувствовать это можно далеко не сразу.

25-03-2016: Александр

Наличие горизонтальных реакций на опорах зависит от опирания балки. Если опирание через наклонную плоскость то необходимо учитывать горизонтальную составляющую, действующую на опоры. Если опирание балки на опоры выполняется через горизонтальные площадки, то горизонтальной составляющей на опорах не буде, но сам узел перехода наклона у балки к горизонтальному участку должен быть рассчитан на срезающие наклонные усилия. Тут главное правильно законструировать узел согласно принятой расчетной схеме балки.

25-03-2016: Антон

Поясните, пожалуйста, по каким законам и формулам происходит распределение веса на две опоры при наклонном опирании балки? Вроде, ещё Леонардо говорил, что, мол, наклон не изменяет распределения веса, подвешенный под наклоном на две верёвки стержень равномерно растягивает их. Произвожу эксперимент: беру брусок, один конец кладу на весы, другой себе на палец. Начинаю постепенно поднимать пальцем конец бруска - цифры на весах не меняются! Лишь после некоторого угла (где после 60 град) цифры меняются, но здесь уже теряется чистота эксперимента, т.к. нужно на шарнирах делать…

25-03-2016: Доктор Лом

Если у наклонной балки будут две горизонтальные связи на опорах (или ни одной как в опыте с веревками), то суммарные опорные реакции действительно могут быть одинаковыми, хотя и это далеко не факт. В статье же рассматривается вариант, когда у наклонной балки только одна горизонтальная связь. И еще раз повторю, реальная работа конструкции и принимаемая расчетная схема - две большие разницы. Например если рассматривать частный случай, когда угол наклона балки составляет 90 градусов, то без верхней вертикальной опоры, вообще можно обойтись. Если вы поставите ваш брусок вертикально, то при определенных условиях его вообще не нужно поддерживать. А если вы будете поднимать его с силой, равной половине веса бруска, то в этом случае вертикальные опорные реакции будут одинаковыми.

По поводу вашего эксперимента с весами. Не знаю какие именно у вас весы и какова точность их измерений, но сразу скажу, весы измеряют только вертикальную составляющую опорной реакции, а вертикальные составляющие по умолчанию не изменяются при изменении угла наклона. Кроме того, горизонтальная составляющая опорной реакции может приводить к горизонтальному смещению платформы весов и соответственно к нарушению нормальной работы весов. Как я уже говорил, даже незначительное смещение центра тяжести в сторону нижней опоры уже будет приводить к изменению опорных реакций.

15-06-2016: Сергей

Спасибо за статью, недавно столкнулся с данным вопросом. Расчет на выдергивание верхней опоры стропилы навеса от стены, один шарнир подвижный, второй нет. Мой расчет аналогичен, вот только значение распора HA = qlsinacosa/2, так как при проекции векторов на горизонтальную ось, значение вертикальной(в оси координат стержня) идет в минус. Уточните пожалуйста этот момент

16-06-2016: Доктор Лом

Позвольте с вами не согласиться. Дело в том, что опорная реакция НА направлена в сторону, противоположную действию нагрузки, поэтому имеет положительный знак. А если у вас горизонтальное закрепление только на верхней опоре, то HA = qlsinacosa и положительное значение опорной реакции в данном случае по отношению к стене, находящейся справа от балки, действительно означает выдергивание или растяжение в соединительных элементах.

16-06-2016: Сергей

Всё верно, проекция на общую систему координат от горизонтальной реакции неподвижного шарнира равна qlsinacosa и направлена перпендикулярно стене, но при равномерном загружении (как на вашей расчетной схеме)в системе координат стержня будет еще и вертикальная реакция (перпендикулярная стержню и равна q*l*cosa/2)(графически она получается направленна вверх и от стены) и вот проекция этой вертикальной составляющей опорной реакции неподвижного шарнира на горизонтальную ось общей системы координат направлена от стены и равна q*l*cosa/2*sina, при сложении двух векторов получаем суммарную горизонтальную (в общей системе координат, перпендикулярную стене) реакцию, равную q*l*cosa*sina/2.

Более того, если мы сделаем два неподвижных шарнира, то при данном виде загружения, горизонтальной реакции не будет, она обнулится. Это доказал ещё в лохматом году профессор Залесский В. Г., вот ссылка на источник: http://ostroykevse.com/Krisha/10-1.html

Вот только практическое применение такой конструкции настораживает, для меня непонятно, как поведет себя такая крыша при неравномерном загружении снегом, когда вертикальные составляющие не будут равны, а это значит, что на менее загруженной опоре вертикальная составляющая уже не сможет уравновесить горизонтальную сдвигающую силу (как в доказательстве приведенном Залесским) или горизонтальная составляющая нагрузки будет распределяться уже не поровну? Может у кого-то здесь есть опыт эксплуатации подобных конструкций?

17-06-2016: Доктор Лом

Возможно я недостаточно ясно описал эту ситуацию в статье, попробую дополнить здесь.

Формально вы совершенно правы, при наличии горизонтальной связи только на опоре А горизонтальная опорная реакция составит НА = qlsinacosa - qlsinacosa/2 = qlsinacosa/2 , но только в том случае, если стержень, обозначающий опору В (рис. 447.3.б)), остается наклонным. Когда мы приводим наклонный стержень опоры В к обычной системе координат, то у нас также появляется горизонтальная составляющая опорной реакции НВ = - qlsinacosa/2. А так как горизонтальной связи на опоре В нет, то при двух вертикальных и одной горизонтальной опоре горизонтальная опорная реакция на опоре А составит НА = qlsinacosa - qlsinacosa/2 + qlsinacosa/2 = qlsinacosa.

Конечно же, при проверке условий равновесия системы мы должны к суммарной горизонтальной опорной реакции НА = qlsinacosa/2 добавить НВ = - qlsinacosa/2 и в итоге получить ноль. И это вроде бы логично, так как горизонтальной нагрузки у нас нет, то и сумма проекций всех сил должна быть равна нулю, но если так формально подходить к решению задачи, то как тогда объяснить движение, например, велосипеда по наклонной плоскости? Ведь формально на велосипед действует только сила тяжести, направленная строго вертикально (для простоты примем нагрузку на оба колеса одинаковой, а педали велосипедист не крутит), а наклонную плоскость асфальта под колесами можно разложить на две вертикальные и две горизонтальные составляющие. В итоге при формальном подходе при рассмотрении велосипеда в обычной системе координат теоретически суммарные опорные реакции направлены строго вверх, горизонтальных составляющих нет, но на практике велосипед едет. Конечно же при рассмотрении велосипеда нет смысла переходить к обычной системе координат, но это я просто привел, как пример формального подхода.

А теперь пару слов о том, почему при определении опорных реакций в обычной системе координат мы в первом случае отнимаем, а во втором прибавляем горизонтальную составляющую наклонных вертикальных опорных реакций. Дело в том, что при переходе в обычную систему координат горизонтальная проекция наклонной горизонтальной опорной реакции А создает в балке сжатие, горизонтальная проекция наклонной вертикальной реакции А создает в балке растяжение, а горизонтальная проекция наклонной вертикальной реакции В создает в балке сжатие. При сжатии принят положительный знак, а при растяжении отрицательный.

Эти данные нам нужны не просто так, а для построения эпюр, в частности эпюры нормальных напряжений N. И тогда все сходится. Если бы мы рассматривали не наклонную балку, а ее горизонтальную проекцию, то при наличии только одной наклонной горизонтальной связи на опоре А в балке будут возникать дополнительные сжимающие нормальные напряжения с максимумом на опоре А, равным НА = qlsinacosa и нулем на опоре В, эпюра имеет вид треугольника и расположена выше оси х. При наличии только одной наклонной горизонтальной связи на опоре В в балке будут возникать дополнительные растягивающие нормальные напряжения с максимумом на опоре В, равным НВ = -qlsinacosa и нулем на опоре А, эпюра имеет вид треугольника и расположена ниже оси х. При двух наклонных горизонтальных связях максимумы будут на обеих опорах и будут составлять НА = -НВ = qlsinа/2, а посредине балки дополнительные нормальные напряжения будут равны нулю, эпюра имеет вид двух треугольников.

Я это все к тому, что последний абзац в статье я выделил жирным шрифтом и цветом не случайно. Если у нас изначально опорные связи расположены так, как показано на рисунке 447.1, то это означает, что при переходе к наклонной системе координат вертикальные стержни опор можно разложить на наклонные горизонтальную и вертикальную составляющие. Т.е. такое закрепление изначально тождественно случаю, с горизонтальными наклонными связями на обеих опорах и в итоге горизонтальная опорная связь вроде бы и не нужна, во всяком случае это следует из классического метода. А между тем велосипед едет и стропильная нога, сделанная без врубки под мауэрлат, на кровле с уклоном более 20-30 градусов (в зависимости от значения сил трения), непременно съедет вниз с опор под действием собственного веса. Хотя, казалось бы, собственный вес балки - это и есть равномерно распределенная нагрузка, направленная вертикально вниз. И формально вроде бы должна находиться в состоянии равновесия.

И еще, при рассмотрении классического метода, использованного в частности профессором Залесским В. Г., возникает логическое несоответствие. Т.е. изначально горизонтальные связи на опорах вроде бы есть, на этом и строится весь расчет, но в итоге эти горизонтальные связи как бы и не нужны, вертикальные стержни опор с нагрузкой отлично справляются. А между тем дополнительные нормальные сжимающие напряжения в начале наклонной балки (на опоре А) и растягивающие нормальные напряжения в конце наклонной балки (на опоре В) продолжают действовать. В связи с этим я предлагаю своим читателям использовать возможно и неправильный с точки зрения теоретической механики, но более надежный с точки зрения житейской мудрости метод расчета, а именно:

Если у наклонной балки есть только одна горизонтальная связь (например, анкер крепления наклонной балки к стене, в описанном вами выше примере расчета), то выдергивающая сила действующая на анкер и соответственно вызывающая растяжение в наклонной балке, равна НВ = - qlsinacosa. Если есть две наклонные балки с общей опорой посредине - стропильные ноги двускатной кровли, связанные между собой нагелями на верхней опоре В - коньковой балке, и имеющие соответствующие горизонтальные связи на нижних опорах А и С, то даже при одинаковой нагрузке на обе балки в нагелях, соединяющих стропильные ноги над коньковой балкой, будут возникать касательные напряжения, в сумме равные НВлев + НВправ = qlsinacosa/2 + qlsinacosa/2 = qlsinacosa. А если на опорах А и С горизонтальных связей не будет, то суммарные касательные напряжения в нагелях будут в 2 раза больше.

Примерно так.