Теоретическое определение прогиба пластины с учетом плоских напряженных состояний материала пластины и изменяющимся моментом инерции - задача не из простых. Однако в большинстве случаев в решении подобной задачи нет необходимости, так как эту задачу другие люди уже решили и составили для упрощения расчетов соответствующие таблицы расчетных коэффициентов. Таким образом для определения прогиба пластины достаточно воспользоваться соответствующей таблицей.
Впрочем, такой подход может иметь место только при расчете гибких пластин. При расчете абсолютно гибких пластин - мембран следует учитывать не линейную зависимость между нагрузкой и прогибом.
определение прогиба стальной пластины с шарнирным опиранием
Рассмотрим следующую ситуацию: планируется на даче сварить бак для воды, потому как на даче с водой проблемы. Размеры бака 1х1х1 м (размеры очень условные для упрощения расчетов). В наличии имеется стальной лист толщиной h = 5 мм.
Наиболее нагруженным элементом конструкции будет дно бака, на которое будет действовать нагрузка от воды и собственного веса примерно 1000 кг/м2 (0.1 кг/см2). Если у бака будут опоры по углам, то дно бака можно рассматривать как пластину с шарнирным опиранием по контуру. При этом соотношение h/b = 0.5/100 = 200, а значит такая пластина является тонкой, возможно даже мембраной.
Тем не менее попробуем определить максимальный прогиб дна бака (расчет на прочность в данной статье не рассматривается), используя расчетные коэффициенты.
Согласно данных таблицы 374.1 коэффициент для определения прогиба будет иметь значение k1 = 0.0443 (при соотношении сторон b/l = 1), а максимальный прогиб такой плиты составит:
f = k1ql4/(Eh3) = 0.0443·0.1·1004/(2·106·0.53) = 1.772 см
где длина пластины l = 100 см, модуль упругости стали Е = 2000000 кг/см2.
Соотношение f/h = 1.772/0.5 = 3.544 или f = 3.544h, что меньше прогиба для мембран, составляющего f = 5-6h. В связи с этим мы можем считать нашу пластину гибкой, а результат более менее верным.
К тому же в данном случае боковые стенки бака, не обеспечивают защиту от горизонтальных перемещений дна бака ближе к середине стенок, а значит и нет оснований рассматривать дно бака, как мембрану.
Вот собственно и весь расчет.
Для сравнения определим прогиб шарнирно опертой стальной балки длиной l = 1 м, шириной b = 1 см, высотой h = 0.5 см, на которую действует линейная равномерно распределенная нагрузка 0.015 кг/см2. Такая балка, хотя и очень приблизительно, будет соответствовать полосе шириной 1 см, вырезанной из рассмотренной выше пластины. Почему приблизительно - отдельная большая тема. Так вот прогиб такой балки составит (согласно расчетной схеме 2.1 таблицы 1):
f = 5ql4/(1.3·384EI) = 5·0.05·1004/(1.3·384·2·106·0.01) = 2.404 см
где момент инерции I = bh3/12 = 1·0.53/12 = 0.01042 см4, 1.3 - коэффициент, учитывающий приблизительность определения прогиба при принятом виде нагрузки.
Как видим, разница при определении прогибов различными способами составляет 1.4 раза, возможно из-за того, что в приблизительном методе не учитывается изменение момента инерции пластины.
Примечание: скорее всего со временем стенки и дно бака начнут ржаветь, а потому прогиб будет только увеличиваться. Однако вопрос антикоррозионной защиты к теме данной статьи отношения не имеет. Просто отметим, что чем толще будут стенки и дно бака, тем больше лет он прослужит. | 
