Однако такое предположение будет ошибочным как минимум потому, что устойчивость обычно проверяется в двух плоскостях: в плоскости действия нагрузки (в плоскости арки) и в перпендикулярной плоскости (из плоскости арки). Другими словами, относительно 2 главных осей сечения. Так вот, если в вертикальной плоскости арка - это действительно криволинейный стержень, то в проекции на горизонтальную плоскость арка - это условно прямолинейный стержень.
Кроме того нагрузка, действующая на арку, далеко не всегда бывает симметричной и равномерно распределенной, а значит уравнение прогиба может быть достаточно сложным и при этом максимальный прогиб будет не в ключе арки.
А еще арки могут быть изготовлены не только из металла, но и из древесины, железобетона и любых других строительных материалов. Так вот, в нормативных документах для деревянных и железобетонных конструкций имеются отдельные требования по расчету арок. А отсутствие подобных отдельных требований в СНиП II-23-81* (1990) я могу объяснить только тем, что стальные арки с затяжкой могут рассматриваться, как простейшие плоские фермы или как элементы пространственных или структурных конструкций при соответствующем конструктивном решении узлов сопряжения.
Кроме того есть еще и учебные пособия по металлическим конструкциям, нормативной силы не имеющие, но тем не менее утверждающие, что проверку устойчивости даже и в плоскости арки производить все-таки надо. И начинать нужно с определения расчетной длины арки.
Определение расчетной длины стальной арки
Арки могут быть двухшарнирными, трехшарнирными и бесшарнирными. От количества шарниров зависит значение коэффициента расчетной длины μ.
А дальше возможны следующие варианты
1 вариант.
При расчете на устойчивость в плоскости арки рассматривать арку как обычный прямолинейный стержень, но при этом имеющий длину, равную геометрической длине.
Это позволяет принимать расчетную длину lp
- для двухшарнирной арки - равной геометрической длине арки lg (μ = 1). lp = lg
- для трехшарнирной арки - равной геометрической длине одного из стержней арки (μ = 1). При шарнире в стреле арки lp = 0.5lg
- для бесшарнирной арки - равной половине геометрической длины (µ = 0.5). lp = 0.5lg.
При расчете из плоскости любой арки расчетная длина арки равна длине проекции арки на горизонтальную плоскость. lp = lпр.
Главный недостаток этого варианта в том, что арка - это все-таки не прямолинейный стержень.
2 вариант.
Воспользоваться данными СНиП II-25-80 (1988) "Деревянные конструкции", согласно которому в плоскости кривизны для двух и трехшарнирных арок lp = 0.58lg (т.е. μ = 0.58), и СНиП 2.03.01-84* (1988) "Бетонные и железобетонные конструкции", согласно которому для двухшарнирных арок lp = 0.54lg, для трехшарнирных арок lp = 0.58lg, для бесшарнирных арок lp = 0.365lp, а при расчете из плоскости любой арки lp = lпр.
Как видим, расхождения в данных для деревянных и ж/б арок в принципе не большие, так что и для двух и для трехшарнирных арок в плоскости арки можно принимать μ = 0.58. Это позволяет значительно уменьшить расчетную длину при расчете на устойчивость двухшарнирной арки.
Главный недостаток этого варианта в том, что в указанных нормативных документах рассматриваются не стальные арки.
3 вариант.
Воспользоваться данными различных учебных пособий. Например, согласно учебнику "Металлические конструкции" Файбишенко В.К. значение коэффициента μ зависит не только от способа закрепления на опорах но и от соотношения стрелы f к пролету арки l:
Как видим, приведенные в данной таблице значения µ не сильно отличаются от данных, извлекаемых из нормативных документов по расчету деревянных и ж/б конструкций. А обоснованием того, почему для двухшарнирной арки расчетная длина будет даже меньше, чем для трехшарнирной, служит следующая иллюстрация:
Рисунок 489.1.
В принципе данная картинка достаточно наглядно показывает, почему для двухшарнирной арки расчетная длина не может быть равна геометрической длине арки.
Главный недостаток этого варианта в том, что определенный таким образом коэффициент μ и расчетная длина арки используются не для определения гибкости элемента, а для приближенного определения критической силы для арки через формулу Эйлера-Ясинского. Напомню, определение критической силы никак не связано с расчетным сопротивлением материала, а зависит только от параметров жесткости. Мы же пытаемся определить гибкость элемента, чтобы сравнить ее с максимально допустимой для сжатого элемента.
Вывод:
На основании приведенных выше сведений можно сделать вывод, что при расчете арок на устойчивость в плоскости арки можно пользоваться данными из учебника Файбишенко В.К. Ну а при расчете на устойчивость из плоскости арки расчетная длина во всех вариантах равна проекции арки на горизонтальную плоскость в том случае, если кровельный материал не обеспечивает необходимую жесткость и отсутствуют соответствующие диафрагмы жесткости.
Определение максимально допустимой гибкости стальной арки
Как уже говорилось, для стальных арок нет нормативно закрепленных максимально допустимых значений гибкости. Более того, нет таких значений и для деревянных или железобетонных конструкций. В связи с этим никаких определенных рекомендаций по определению максимально допустимой гибкости я дать не могу. Т.е. при расчетах для себя я бы принимал максимально допустимую гибкость не более λmax = 150, что следует из пункта 1.а) таблицы 19*. Если вам такое значение кажется заниженным, то можно определять максимально допустимую гибкость арки согласно п.2.а) или даже 2.б).
Ну и для того, чтобы все вышесказанное не испарилось, а дало хотя бы какой-то осадок, рассмотрим следующий
Пример расчета на устойчивость арки
Имеется двухшарнирная арка радиусом R = 4.115 м, со стрелой f = 1.3 м и с расстоянием между опорами L = 6 м, изготовленная из квадратной профильной трубы сечением 50х50х2 мм, угол а = 93.71°. Прочность арки даже с учетом коэффициента продольного изгиба φ обеспечена почти с двукратным запасом.
Согласно общих положений геометрическая длина арки составит:
lg = пRa/180 = 3.14·4.115·93.71/180 = 6. 73 м или 673 см (278.1.4)
Расчетная длина арки в плоскости арки (при f/l = 1.3/6 = 0.217) составит примерно:
lp = 0.55·673 = 370.15 см (489.1)
При радиусе инерции квадратной профильной трубы i = 1.95 см гибкость арки составит:
λ = lp/i = 370.15/1.95 = 190 (214.1.3)
Вывод: Если рассматривать гибкость элемента, как определяющий фактор, и брать за основу λmax = 150, то даже без дальнейших расчетов понятно, что данного сечения для обеспечения устойчивости арки в плоскости арки не достаточно. Необходимо принять параметры поперечного сечения арки таким образом, чтобы радиус инерции составлял не менее:
i = lp/λmax = 370.15/150 = 2.47 см (489.2)
Этому требованию удовлетворяет квадратная профильная труба сечением не менее 70х70х2 мм, имеющая радиус инерции i = 2,76 см.
Если же учесть, что при расчете на устойчивость даже трехшарнирной арки прочность обеспечена, да еще и с хорошим запасом, а конкретных указаний по максимально допустимой гибкости стальной арки нет, то можно оставить принятое сечение.
На всякий случай определим приближенное значение критической силы для арки по формуле Эйлера:
Nкр = п2EIx/l2p = 3.142·2·106·14.14/370.152 = 2037 кг (449.11)
Примечание: В указанном учебнике Файбишенко В.К. формула Эйлера-Ясинского имеет несколько иной вид, так в знаменателе присутствует дополнительно коэффициент µ, а вместо расчетной длины арки lp подставляется половина геометрической длины арки, при этом делается ссылка на картинку, показанную на рисунке 489.1. Мне такое обоснование кажется странным и приводящим к необоснованному завышению значения критической силы, поэтому я использовал классическую формулу Эйлера.
Далее
Nкр > (1.2÷1.3)N (489.3)
где N - нормальная сила, действующая в рассматриваемом сечении в точке D, в нашем случае N = 792.9 кг, 1.2÷1.3 - коэффициент, учитывающий наличие момента в рассматриваемом сечении. Тогда
2037 кг > 1.3·792.9 = 1030 кг
Требуемое условие соблюдено.
При определении устойчивости из плоскости арки расчетная длина будет значительно больше, а значит и больше значение гибкости. Например в данном случае
λ = lp/i = 600/1.95 = 308
Поэтому более экономным вариантом будет не увеличение сечения арки, а устройство соответствующих диагональных связей. Подобные связи не только обеспечат геометрическую неизменяемость системы, но и значительно уменьшат значения расчетной длины из плоскости арки. | 
