1 этап. Определение максимальных напряжений
Внешние силы, действующие на балку, называются нагрузками. Внутренние силы - напряжениями. Тем не менее с точки зрения физики никакой разницы между этими силами нет, поэтому согласно третьему закону Ньютона (сила действия равна силе противодействия и направлена в противоположную сторону) внешние силы можно рассматривать как внутренние и наоборот. На этом основан метод сечений, используемый при расчете балок.
Согласно этому методу, если отсечь часть балки, то для того, чтобы отсеченная часть находилась в состоянии статического равновесия, к полученному сечению балки, как правило поперечному (перпендикулярному нейтральной оси балки), нужно приложить внешние силы. При этом в рассматриваемом сечении будут возникать силы противодействия - напряжения, равные по значению внешним силам и направленные в противоположную сторону.
1.1. Определение видов и количества опор
Опоры у балки могут быть разные: шарнирные и(или) жесткие.
Рисунок 219.2.
Например, у балки, показанной на рисунке 219.2 имеется две вертикальных шарнирных опоры, показанные фиолетовым цветом и одна горизонтальная шарнирная опора, показанная синим цветом.
Как правило опоры обозначаются латинскими литерами А, В, С, D и т.д.
1.2. Определение количества и длины пролетов
Балки могут иметь не только один пролет, но два, три и сколь угодно много. Количество пролетов nп определить не сложно:
nп = nо - 1 (517.1)
где no - количество вертикальных шарнирных опор или жестких заделок.
Балка, показанная на рисунке 219.2, имеет один пролет. Длина пролета l равна расстоянию между вертикальными опорами. Так как действительные опоры балки имеют некоторую ширину, то пролет балки - это расстояние в свету между краями опор. Пролет измеряется в метрах (м).
Если у балки только одна опора - жесткое защемление на конце, то такая балка пролетов не имеет и называется консольной.
1.3. Система координат
При расчете балок используется стандартная система координат с осями х, у и z. Для упрощения расчетов балка рассматривается как стержень, нейтральная ось которого совпадает с осью координат х. При этом начало координат как правило совпадает с началом балки. Соответственно длина балки измеряется по оси х.
Геометрические размеры поперечных сечений балки, т.е. размеры относительно осей y и z, на первом этапе расчетов никакого значения не имеют. Более того именно эти параметры и нужно определить на втором этапе расчета балки на действующие нагрузки.
Таким образом на первом этапе балка рассматривается как некий стержень, размеры сечения которого пренебрежимо малы по сравнению с длиной.
1.4. Определение действующих нагрузок
Все нагрузки, действующие на балку, можно представить в виде:
1.4.1. Сосредоточенных сил
Могут обозначаться как Q, P, N и др. Измеряются в Ньютонах (Н) или килограмм-силах (кгс).
1.4.2. Нагрузок, распределенных по некоторой части длины или по всей длине балки
Как правило такие нагрузки обозначаются литерой q. Измеряются в Н/м или кгс/м.
В свою очередь распределенные нагрузки могут быть равномерно и неравномерно распределенными.
График, показывающий изменение значения распределенной нагрузки по длине балки, называется эпюрой нагрузки. Изменение значения распределенной нагрузки может описываться различными уравнениями. Например, для балки, на которую действует равномерно распределенная нагрузка, эпюра нагрузки имеет вид прямоугольника, а уравнение, описывающее изменение значений нагрузки, имеет следующий вид:
q = const (517.2)
Если одна или несколько нагрузок направлены не перпендикулярно оси х, а под некоторым углом а, то для дальнейших расчетов такие нагрузки разбиваются на вертикальную и горизонтальную составляющие.
Вертикальные составляющие используются для расчета балки на поперечный изгиб. Горизонтальные составляющие используются для определения горизонтальных опорных реакций, а также при необходимости для расчетов на устойчивость сжатого стержня.
Определить значение вертикальных и горизонтальных составляющих нагрузки можно по следующим формулам:
Qв = Qsina (517.3)
Qг = Qcosa (517.4)
где а - угол между осью х и вектором приложения нагрузки. Для распределенных нагрузок используется тот же принцип определения вертикальной и горизонтальной составляющих.
1.4.3. Моментов
Внешний момент, действующий в любой точке по оси х, рассматривается как пара сил, равных по значению и направленных в противоположные стороны. Таким образом значение внешнего момента не зависит от расстояния до какой либо точки по оси х, а только от расстояния между векторами двух противоположно направленных сил.
Примечание: иногда при расчете балок бывает известен угол поворота или перемещение поперечного сечения. По большому счету ни угол поворота, ни перемещение не являются нагрузками, а есть результат воздействия нагрузок. Поэтому в таких случаях перемещения или углы поворота поперечных сечений заменяются силами или моментами, которые вызывают эквивалентное рассматриваемому перемещение или угол поворота.
1.5. Степень статической неопределимости
Все балки с количеством пролетов более одного, являются статически неопределимыми. Но даже и однопролетные балки могут быть статически неопределимыми. Степень статической неопределимости s для балок с шарнирными опорами определяется следующим образом:
sш = nп - 1 (517.5)
Например, для балки, показанной на рисунке 219.2, степень статической неопределимости равна sш = 1 - 1 = 0. Это означает, что такая балка является статически определимой и для ее расчета на первом этапе достаточно трех уравнений статического равновесия системы.
Каждая жесткая заделка добавляет одну степень статической неопределимости. При наличии жестких заделок статическая определимость s определяется следующим образом:
sж = nп + nж - 1 (517.6)
где nж - количество жестких заделок.
Рисунок 145.3.1
Например, для балки, показанной на рисунке 145.3.1, степень статической неопределимости составит sж = 1 + 2 - 1 = 2. Это означает, что для расчета балки на первом этапе потребуется составить два дополнительных уравнения.
1.6. Замена опор опорными реакциями
На этом этапе расчета опоры, имеющиеся у балки, заменяются реактивными силами, получившими название "опорные реакции". Эти опорные реакции также являются внешними силами для балки. Главное отличие опорных реакций от нагрузок в том, что изначально опорные реакции в отличие от нагрузок не известны и их нужно вычислить.
1.7. Статическое равновесие системы
Таким образом, после замены опор на реактивные силы, балка рассматривается как некий стержень, на который действуют внешние силы - нагрузки и опорные реакции. А так как стержень остается в состоянии статического равновесия, то сумма нагрузок равна сумме опорных реакций.
Из этого следуют первые два уравнения статического равновесия системы:
∑Fу = 0 (249.5.1) - для внешних сил, действующих параллельно оси у.
∑Fх = 0 (249.5.2) - для внешних сил, действующих параллельно оси х.
В данном случае F - это общее обозначение для внешних сил: и нагрузок и опорных реакций.
Третье уравнение статического равновесия применимо только для статически определимых балок с шарнирными опорами. Смысл его сводится к тому, что шарнирные опоры не препятствуют повороту стержня на опоре, а значит момент на такой опоре будет равен нулю, если балка бесконсольная. Если на консоль действует нагрузка, то момент на опоре определяется, как для обычной консольной балки.
Для бесконсольной балки третье уравнение статического равновесия будет иметь вид:
∑МА = ΣМВ = 0 (517.7).
Примечание: В данном случае моменты - это произведение рассматриваемых сил на плечо действия.
Если нагрузка распределена по длине балки, то сначала определяется суммарная нагрузка (площадь грузовой эпюры), при этом плечо действия равно расстоянию от центра тяжести эпюры нагрузки. Другими словами, сначала распределенная нагрузка приводится к сосредоточенной силе и эта условно сосредоточенная сила действует в центре тяжести эпюры нагрузки.
1.8. Определение опорных реакций
Используя уравнения статического равновесия системы, можно сразу определить опорные реакции для статически определимой балки. Сначала с помощью уравнения (517.7) определяется одна вертикальная опорная реакция, а потом с помощью уравнения (249.5.1) - вторая вертикальная опорная реакция. При наличии горизонтальных составляющих нагрузки при помощи уравнения (249.5.2) определяется горизонтальная опорная реакция.
При расчете статически неопределимых балок сначала определяются значения опорных реакций на промежуточных шарнирных опорах, если используется метод нулевых перемещений на опорах (метод сил) или моменты на промежуточных шарнирных или крайних жестких опорах, если используется метод определения углов поворота на опорах (уравнения трех моментов).
При использовании уравнений трех моментов значение реакции на крайней опоре А определяется, исходя из условия:
А = (МВ + Мн)/l (517.8)
где МВ - значение момента на опоре В, определенное с помощью уравнений трех моментов. Мн - значение момента на опоре В от действующей нагрузки. Для остальных опор уравнения составляются по такому же принципу и только для крайней опоры используется одно из уравнений статического равновесия.
1.9. Построение эпюр
После того, как определены значения опорных реакций, можно переходить непосредственно к определению напряжений в поперечных сечениях балки. Для этого строятся эпюры поперечных и продольных сил, эпюра моментов, углов поворота поперечных сечений и эпюра перемещений (прогибов).
Физический смысл эпюр в том, что они показывают изменение указанных параметров в поперечных сечениях по длине балки. Таким образом эпюры являются графиками, описывающими решение соответствующих уравнений. Примеры эпюр поперечных сил и изгибающих моментов при действии различных видов нагрузки для статически определимых балок можно посмотреть здесь, а для некоторых видов статически неопределимых балок - тут.
Затем по эпюре моментов определяется самое нагруженное поперечное сечение балки, в этой точке на эпюре моментов максимальное значение, отрицательное или положительное, в данном случае не имеет значения. Затем для этого сечения определяются значения поперечных и нормальных сил по соответствующим эпюрам.
2 этап. Подбор сечения
Так как разные материалы имеют разные значения расчетных сопротивлений, то соответственно и требуемые параметры сечения для балок из различных материалов будут разными.
2.1. Определение материала балки и расчетного сопротивления материала
После того, как выбран материал для балки, определяются расчетные сопротивления материала изгибу Rи, сжатию Rc, растяжению Rр и т.п. по действующим нормативным документам или по данным производителя, если балка будет из стали.
Для балок из разнородных материалов сначала определяются параметры приведенного сечения. Суть приведенного сечения состоит в том, что рассматривается некое условное сечение материала обладающего равным сопротивлением, при этом ширина сечения для материала, обладающего большим расчетным сопротивлением увеличивается во столько раз, во сколько расчетное сопротивление одного материала больше расчетного сопротивления другого материала. Поэтому такое сечение и называется приведенным. Другими словами, если бы балка изготавливалась из одного материала, то именно так и должно было бы выглядеть поперечное сечение.
Для железобетонных балок, являющихся также балками из разнородных материалов, как правило в процессе расчета требуется дополнительно определить сечение арматуры. Возможные варианты расчета железобетонных балок рассмотрены отдельно.
2.2. Определение требуемого момента сопротивления
Требуемый момент сопротивления определяется, исходя из следующего условия:
Wтр ≥ М/Rиγs (149.4.8)
где М - максимальное значение изгибающего момента, определенного по эпюре моментов, построенной относительно оси х. γs - коэффициент условий работы.
Момент сопротивления измеряется в см3.
2.3. Определение геометрических параметров сечения
2.3 Определение геометрических параметров сечения
Поперечное сечение балки может быть каким угодно: круглым, квадратным, прямоугольным, в виде швеллера, двутавра, круглой или прямоугольной трубы и т.д.
Как известно наиболее оптимальными являются сечения в виде двутавра, швеллера или квадратной трубы, именно такие сечения и принимаются для стальных балок.
Для деревянных балок чаще используются прямоугольные и круглые сечения. И хотя круглое сечение саме неэффективное с точки зрения использования материала, однако бревна - самый дешевый строительный материал, так как требуют минимум предварительной обработки при изготовлении балок. Тем не менее, при достаточно больших пролетах и нагрузках деревянные клеенные балки двутаврового сечения также имеют место.
Для железобетонных балок наиболее характерны прямоугольное и тавровое сечения. Впрочем, как уже говорилось, расчет железобетонных балок отличается от расчета обычных балок.
Для балок прямоугольного сечения требуемая высота сечения определяется по формуле:
 (147.4)
Для стальных балок все значительно проще - момент сопротивления принимаемого профиля, определяемой по соответствующему сортаменту, должен быть не меньше требуемого момента сопротивления, определенного по формуле (149.4.8)
2.4. Определение прогиба
Так как для однопролетных балках на шарнирных опорах значение прогиба часто является определяющим, то я рекомендую определять прогиб сразу после определения параметров сечения.
Формулы для определения прогиба и углов поворота сечения на опорах зависят от вида приложенной к балке нагрузки. Значение модуля упругости E для выбранного материала балки определяется по нормативным документам, здесь можно посмотреть примерные значения модулей упругости для некоторых строительных материалов. Значение момента инерции I определяется в зависимости от геометрической формы сечения или по сортаменту для стальных балок из прокатного профиля.
Если прогиб f, определенный по одной из вышеуказанных формул, меньше допустимого нормативными документами, в частности СП 20.13330.2011 "Нагрузки и воздействия", то можно продолжать расчеты. Если прогиб больше допустимого, то сначала следует подобрать сечение, обеспечивающее требования по прогибу. Например для балки, на которую действует равномерно распределенная нагрузка, значение момента инерции можно определить по следующей формуле:
I = 5ql4/(384Ef) (517.9)
2.5. Проверка на прочность опорных участков балки
Любая балка в отличие от показанной на рисунке 219.2 модели имеет опорные участки. На этих опорных участках действуют нормальные напряжения в сечениях, параллельных нейтральной оси балки. В общем случае (если балка прямоугольная и напряжения на опорном участке равномерно изменяются от максимума до нуля) эти напряжения определяются по следующей формуле:
σу = 2Q/(blоп) ≤ Rcγs (517.10)
где Q - значение поперечной силы согласно эпюры "Q", b - ширина балки, lоп - длина опорного участка, 2 - коэффициент учитывающий неравномерность распределения напряжений на опорном участке. Rc - расчетное сопротивление сжатию.
2.5.1. Проверка на прочность в местах действия сосредоточенной нагрузки
Так как на балку может действовать не только распределенная нагрузка, но и одна или несколько сосредоточенных нагрузок, то места действия сосредоточенных нагрузок также следует проверить на прочность.
В данном случае формула для определения нормальных напряжений будет будет почти такой же как (517.10), вот только значение коэффициента, учитывающего неравномерность распределения нагрузки, будет зависеть от того, как именно сосредоточенная нагрузка передается рассчитываемой балке.
Например, если рассчитываемая балка будет находиться посредине помещения и на нее сверху будет опираться второстепенная балка, то значение коэффициента будет равно 1.
2.6. Проверка по касательным напряжениям
В поперечных сечениях, соответствующих опорным точкам балки, а также в сечениях, параллельных нейтральной оси балки, будут действовать касательные напряжения, которые не должны превышать расчетного сопротивления Rs сдвигу или сколу:
т = QySzотс/bIz ≤ Rsγs (270.2)
Подобная проверка особенно важна для стальных тонкостенных балок.
2.7. Определение максимальных напряжений
Если в рассматриваемой точке (точнее на грани параллелепипеда с рассматриваемой точкой на одной из граней) действуют и нормальные и касательные напряжения, то возникает плоское напряженное состояние.
В этом случае необходимо определить максимальное нормальное напряжение, действующее в этой точке, другими словами определить главные площадки напряжений. Для этого используется одна из теорий прочности. Так, согласно третьей теории прочности:
σпр =(σ2 +4т2)0.5 ≤ R (517.11)
Если на 4 из 6 главных площадок напряжений в области рассматриваемой точки действуют нормальные и касательные напряжения (например в местах приложения сосредоточенных нагрузок или на промежуточных опорах многопролетных балок), то значение максимальных нормальных напряжений составит:
σпр = ((σх - σу)2 + 4тху2)0.5 ≤ R (517.12)
Эта формула следует из общих положений теории сопротивления материалов, однако для стальных балок нормативные документы требуют проводить расчет по несколько другой формуле.
Кроме того в некоторых случаях, если отсутствуют опорные связи из плоскости балки (что в малоэтажном строительстве встречается крайне редко) тонкостенные стальные балки открытого профиля, а также деревянные балки любого сечения следует проверить на устойчивость в сжатой зоне сечения, но это уже совсем другая история.
Вот собственно и все, что имеет отношение к расчету балок. | 
