Общие положения
Расчет балок (изгибаемых элементов) в зависимости от условий эксплуатации и назначения конструкций выполняется без учета или с учетом пластических деформаций.
При этом классификация элементов конструкций, рассматриваемых в СП 16.13330.2011 в зависимости от напряженно-деформированного состояния (НДС) поперечного сечения выглядит следующим образом:
1-й класс - упругое состояние сечения. Напряженно-деформированные состояния, при которых нормальные напряжения по всей площади поперечного сечения балки не превышают расчетного сопротивления стали:
|σ| ≤ Rу (519.1)
где σ - нормальные напряжения в рассматриваемом сечении. Прямые скобки в данном случае означают, что знак "+" или "-", означающий растяжение или сжатие или направление действия напряжений в данном случае не имеет значения.
Rу - расчетное сопротивление стали балки растяжению, сжатию, изгибу.
2-й класс - упругопластическое состояние сечения. НДС, при которых нормальные напряжения в одной части поперечного сечения балки меньше расчетного сопротивления стали:
|σ| < Rу (519.2)
а в другой части равны:
|σ| = Rу (519.3.)
3-й класс - пластическое состояние сечения (условный пластический шарнир). НДС, при которых нормальные напряжения по всей площади поперечного сечения балки равны расчетному сопротивлению стали:
|σ| = Rу (519.3.)
На мой взгляд данная классификация имеет ряд недостатков. Так описание 2-го класса балок с точки зрения математики можно рассматривать как вариант 1- класса и даже 3-й класс элементов можно рассматривать как вариант 1-го класса. Ведь если "напряжения по всей площади сечения не превышают расчетного сопротивления", то это может означать, что эти напряжения равны расчетному сопротивлению, как на некоторой площади сечения (2-й класс) так и по всей площади сечения (3-й класс).
Тем не менее разница между этими классами все-таки есть и лучше всего она описывается определениями состояний сечения: "упругое", "упругопластическое" и "пластическое". Разница между понятиями "упругость" и "пластичность" объясняется отдельно, здесь же мы попробуем выяснить, что составители СП имели в виду под данными формулировками.
Как мы знаем, одной из главных прочностных характиристик стали, как строительного материала, является предел текучести. Как правило именно этот предел и рассматривается как нормативное сопротивление стали. Физический смысл предела текучести состоит в том, что после достижения этого предела напряжения в материале практически не увеличиваются при значительном увеличении деформаций. Таким образом после достижения этого предела наступает этап пластических деформаций материала.
При расчете балок на изгиб, когда максимальные напряжения возникают в самой верхней и(или) самой нижней точках поперечного сечения, возможны 3 варианта развития событий. Рассмотрим эти варианты на примере прямоугольного поперечного сечения.
1 вариант - при действующей нагрузке возникающие нормальные напряжения равны расчетному сопротивлению стали только в самой верхней и(или) самой нижней точках, по всей остальной площади сечения они меньше. Как это выглядит, показано на рисунке 519.1.а).
Рисунок 519.1. Эпюры нормальных напряжений "σ" по высоте сечения балки при различных упругопластических состояниях:
а) упругое, б) упругопластическое, в) пластическое
2 вариант - нагрузка увеличивается, увеличиваются деформации, но напряжения при этом в поперечном сечении не увеличиваются, так как достигнут предел текучести. При этом эпюра нормальных напряжений может выглядеть примерно так, как показано на рисунке 519.1.б).
3 вариант - нагрузка увеличивается настолько, что эпюры нормальных напряжений представляют собой прямоугольники. Это означает образование пластического шарнира в максимально загруженном поперечном сечении, показанного на рисунке 519.1.в) фиолетовым цветом.
Тут может возникнуть вопрос: почему нельзя ограничиться только упругим состоянием балки и зачем допускать образование пластических деформаций? Ответ на этот вопрос в эпюрах нормальных напряжений.
Как видим (рисунок 519.1), площадь эпюр нормальных напряжений в пластическом состоянии в 2 раза больше площади эпюр в упругом состоянии для одного и того же материала. Это означает, что материал балки прямоугольного сечения используется в пластическом состоянии наиболее эффективно (100% от возможной площади эпюры). При этом материал балки в упругом состоянии используется в 2 раза менее эффективно (50% от возможной площади эпюры). А если при этом учесть, что максимальный изгибающий момент действует далеко не во всех поперечных сечениях балки, то для балки постоянного по длине сечения эффективность использования материала еще более снижается и потому переход к упругопластическим состояниям может быть вполне оправданным.
Примечание: Конечно же напряженные состояния в сечениях элементов возникают не только при изгибе, но и при сжатии, растяжении, кручении и т.п. Например в поперечных сечениях центрально сжатых или растянутых элементов нормальные напряжения по всей площади сечения равны между собой и могут быть равны расчетному сопротивлению стали. Но при этом состояние сечения все равно может рассматриваться как упругое, так как все напряжения имеют один знак и нет никакого пластического шарнира. Возможно именно это обстоятельство и привело к столь неудачным формулировкам при описании классов конструкций.
В принципе указанные три варианта соответствуют предложенной в СП квалификации. Но все равно даже при таком подходе между вполне понятными (во всяком случае с выше изложенной точки зрения) 1-м и 3-м классом находится 2-й класс, который можно рассматривать и как 1-й и как 3-й класс, так как диапазон изменения площади сечения, на которую действуют максимально возможные нормальные напряжения, очень широк.
На мой взгляд более правильно было бы изменить описание 1-го класса. Например:
1-й класс. Элементы, в поперечных сечениях которых нормальные напряжения, действующие по всей площади сечения, меньше расчетного сопротивления стали (519.2).
Формально даже для центрально сжатых или растянутых элементов, если значение напряжений меньше расчетного сопротивления на 1/100000000, то сформулированное в описании условие выполняется. Более того, чтобы это условие действительно выполнялось на мой взгляд и вводится коэффициент условий работы, как правило имеющий значение меньше 1.
Впрочем, это не более чем мое личное мнение. Идем дальше.
Балки 1-го класса применяются для всех видов нагрузок и рассчитываются в стадии упругих деформаций. Балки 2-го и 3-го классов применяются при статических нагрузках и расчитываются с учетом развития пластических деформаций.
Балки под краны групп режимов работы 1К-8К согласно ГОСТ 25546 при расчетах на прочность относят к 1-му классу.
Бистальные балки относят ко 2-му классу и рассчитываются с учетом ограниченных пластических деформаций в стенке. Значения деформаций определяются при достижении в поясах из более прочной стали расчетного сопротивления Ryf.
Данные положения, думаю, следует трактовать так: в малоэтажном частном строительстве, где динамические, а иногда и ударные нагрузки от людей, животных и автомобилей сопоставимы со статическими нагрузками, следует использовать только балки 1-го класса. Исключение могут составлять перемычки самонесущих стен относительно небольшой длины.
Далее будут рассматриваться только балки 1-го класса сплошного сечения с постоянными параметрами сечения по длине из горячекатанных профилей, как наиболее часто используемые в малоэтажном строительстве.
Расчет на прочность изгибаемых элементов сплошного сечения
Расчет балок 1-го класса на прочность выполняется по следующим формулам:
1. При действии изгибающего момента в одной из главных плоскостей (относительно одной из главных осей инерции)
σ = М/Wn,min ≤ Ryγc (519.4)
К сожалению ни в СНиП II-23-81* "Стальные конструкции", ни в СП 20.13330.2011, являющегося актуализированной редакцией данного СНиПа, не даются пояснения по поводу приведенных в формуле буквенных обозначений различных величин. Кроме того, не указывается, что таким образом определяются именно нормальные напряжения σ в рассматриваемом сечении (в связи с этим формула (514.4) отличается от приводимых в СНиП и в СП. А кроме того, все формулы в СП отличаются от приведенных в СНиП тем, что обе части уравнения делятся на значение правой части и поэтому в правой части остается единица).
Впрочем для человека, знакомого с основами теории сопротивления материалов, этот смысл примерно понятен.
Как мы уже говорили данная формула основана на общем требовании к изгибаемым элементам (см. формулу (507.10.8) в начале статьи. Таким образом
М - значение максимального изгибающего момента, определенное по эпюре моментов "М".
Wn,min - значение момента сопротивления, определенное с учетом возможного ослабления сечения балки в месте крепления вышележащих или нижележащих конструкций (например отверстиями при креплении болтами).
γс - коэффициент условий работы. Согласно таблицы 1 в СП (таблица 6* в СНиП) для балок сплошного сечения γс = 0.9.
2. При действии в сечении поперечной силы:
т = QS/Itw ≤ Rsγc (519.5)
В данном случае пояснения к буквенным обозначениям, использованным в формуле (519.5) также не даются, но по-прежнему человеку знакомому с основами теории сопротивления материалов, общий смысл понятен:
т - касательные напряжения, возникающие в месте сопряжения полки со стенкой.
Q - значение поперечной силы в рассматриваемом сечении, определенное по эпюре "Q".
S - статический момент отсеченной части сечения.
I - момент инерции сечения относительно одной из главных осей, относительно которой и определялся изгибающий момент, как правило это ось z.
tw - толщина стенки балки для двутавровых балок, балок из уголков и швеллеров или суммарная толщина стенок для балок из профильных труб.
Rs - расчетное сопротивление стали сдвигу. Согласно таблицы 2 СП Rs = 0.58Rу.
В целом формула (519.5) - это частный случай для общей формулы Журавского.
Значения момента сопротивления, момента инерции, статического момента отсеченной части сечения определяются по сортаментам прокатных профилей.
2.а) Если стенка ослаблена отверстиями (например, при креплении полок к стенке болтами через уголки), то значение tw дополнительно делится на коэффициент α, определяемый по формуле:
α = s/(s - d) (519.6)
где s - шаг отверстий в одном ряду (расстояния между осями отверстий, см), d - диаметр отверстий, см.
Не смотря на то, что в малоэтажном частном строительстве подобная ситуация маловероятна, тем не менее общий смысл данной рекомендации, думаю, понятен: любое ослабление сечения отверстиями приводит к увеличению касательных напряжений в стенке.
3. При действии местного напряжения σloc в опорных сечениях, а также в местах приложения нагрузки к верхнему поясу балки, не укрепленной ребрами жесткости, выполняется расчет на прочность стенки балки
σloc = F/(twlef)≤ Ryγc (519.7)
где F - расчетное значение нагрузки (условно сосредоточенной силы);
tw - то же, что и в формуле (519.5);
lef - условная длина распределения нагрузки. Определяется в зависимости от условий опирания.
В случае, показанном на рисунке 519.2:
Рисунок 519.2. Схема для определения длины распределения нагрузки на а) сварную балку б) прокатную балку.
условная длина распределения нагрузки определяется по формуле:
lef = b + 2h (519.8)
где b - ширина опирающегося на рассчитываемую балку профиля;
h - сумма толщины верхнего пояса балки и катета сварного шва - для сварной балки (рис. 519.2.а)) или расстояние от наружной грани полки до начала внутреннего закругления стенки - для прокатной балки (рис. 519.2.б)
В СНиПе для сварных балок размер h соответствовал толщине верхнего пояса балки, т.е. дополнительное перераспределение напряжений в зоне сварных швов не учитывалось. На мой взгляд это вполне разумное требование, обеспечивающее дополнительный запас прочности. Теперь же требования в этом пункте стали менее жесткими, впрочем сварные балки в малоэтажном строительстве, которому посвящен данный сайт, применяются крайне редко.
И еще, при определении местных напряжений в опорных сечениях однопролетных балок с шарнирными опорами следует учитывать неравномерность распределения этих напряжений из-за имеющегося угла поворота поперечного сечения на опоре. Больше подробностей смотрите в статье "Расчет опорного участка балки на смятие".
3. При действии в стенке балки нормальных и касательных напряжений:
σпр1 = 0.87(σх2 - σхσу + σу2 + 3тху2)1/2 ≤ Ryγc (519.8) и
тху ≤ Rsγc (519.9)
Как мы знаем, плоское напряженное состояние, характеризующееся наличием нормальных и касательных напряжений на рассматриваемых площадках - довольно сложное состояние материала. Потому теорий прочности, описывающих это состояние - великое множество.
Вообще формула (519.8) по своему смыслу ближе всего к четвертой - энергетической - теории прочности, отображающей наступление предела текучести и хорошо подтверждаемой опытами с пластическими материалами, имеющими одинаковый предел текучести при сжатии и растяжении. К таким материалам безусловно можно отнести стали различных марок.
Вот только согласно четвертой теории прочности приведенное напряжение σпр на одной из главных площадок напряжений будет в 1.15 раза больше. Другими словами значение нормального напряжения, полученное согласно четвертой теории прочности, в данном случае умножается на 0.87, т.е. действующие нормативные документы в случае плоского напряженного состояния допускают расчет по завышенному расчетному сопротивлению (в СНиПе формула (519.8) и выглядела соответствующим образом).
А чтобы сомнений в этом не возникало, в нормативных документах даются следующие пояснения:
σх = Mzу/Izn - нормальные напряжения в срединной плоскости стенки, действующие параллельно нейтральной оси балки (оси х).
Изгибающий момент при этом действует относительно оси z, но вдоль оси х, поэтому напряжения имеют соответствующий индекс. Это все тот же изгибающий момент М, определяемый по эпюре моментов.
у - расстояние от нейтральной оси до рассматриваемой точки. Так как это расстояние измеряется по оси у, то и имеет соответствующее обозначение. Если рассматриваемая балка имеет симметричное сечение, то при рассмотрении сечений в районе приложения сосредоточенных нагрузок: у = hб/2 - h (см. рис. 519.2). Где hб - высота стальной балки.
Izn - момент инерции сечения нетто (с учетом возможных ослаблений).
σу - нормальные напряжения, действующие перпендикулярно нейтральной оси балки, в том числе σloc (см. п.3).
Честно сказать, мне трудно представить себе ситуацию, когда на площадку, параллельную нейтральной оси балки будут действовать еще какие-либо нормальные напряжения, кроме σloc. Тем не менее я, как и авторы нормативных документов допускаю такую возможность.
тху - касательные напряжения, определяемые по формуле (519.5) с учетом формулы (519.6).
Таким образом формула (519.9) не что иное, как формула (519.5), только в немного другой записи. На мой взгляд формулу (519.9) можно было и не приводить. Впрочем напомнить, что касательные напряжения должны быть меньше сопротивления сдвигу - никогда не мешает. А еще из указанных требований следует, что определять экстремальные касательные напряжения не нужно.
Ну и последнее по этому пункту, согласно нормативных документов:
Напряжения σх, σу с учетом знаков, а также тху определяются для одной рассматриваемой точки балки.
Что вроде бы тоже должно быть понятным по умолчанию при рассмотрении плоского напряженного состояния, но еще раз напомнить об этом не помешает.
Приводимое ниже требование содержится только в СП, в СНиПе такого требования не было.
4. При действии изгибающих моментов в двух главных плоскостях (и наличии бимомента):
Σσ = Мzy/Iz ± Myz/Iy ± Bω/Iω ≤ Ryγc (519.10)
где у и z - расстояния от рассматриваемой точки сечения до главных осей (см. рис.519.1).
Смысл данного уравнения сводится к тому, что рассматривается косой изгиб и потому при действии моментов в двух главных плоскостях (относительно осей z и у) необходимо не только суммировать нормальные напряжения, возникающие при действии моментов относительно двух главных осей с учетом знака (в данном случае эти напряжения описываются первыми двумя членами уравнения), но также учитывать возможное появление бимомента, приводящего к появлению дополнительных нормальных напряжений из-за депланации рассматриваемых сечений при стесненном кручении. Но при этом все эти напряжения следует рассматривать как σх.
В целом тема возникновения бимомента в рассматриваемых сечениях довольно сложна и обширна, но как правило в малоэтажном частном строительстве ситуация, когда изгибающие моменты действуют относительно двух главных осей инерции, а значит и велика вероятность возникновения бимомента в стержнях открытого профиля возникает очень редко. При этом балки далеко не всегда имеют открытый профиль, чувствительный к бимоменту. Поэтому подробно останавливаться на этом пункте требований в данной статье не будем. Отметим лишь, что
В - значение бимомента, кг·м2, ω - секториальная координата (секториальная площадь) точки, м2, Iω - секториальный момент инерции (бимомент инерции), м6.
И еще
В балках, рассчитываемых по формуле (519.10) т.е. при косом изгибе, значения напряжений в стенке балки следует проверить по формуле (510.8) в двух главных плоскостях изгиба.
Иногда, что в малоэтажном частном строительстве встречается крайне редко, стальные балки - изгибаемые элементы - следует дополнительно проверить на общую устойчивость, но это уже совсем другая история. | 
