Рисунок 336.1. Напряженные состояния а) линейное, б) плоское, в) объемное
Общие положения
Когда мы рассматривали линейное напряженное состояние (рисунок 336.1.а)), то обнаружили, что такое определение - линейное напряженное состояние - справедливо лишь для главных площадок напряжений. Т.е. таких площадок, на которые касательные напряжения не действуют, а нормальные напряжения имеют максимальное значение, что и показано на рисунке 336.1.а). Но достаточно повернуть параллелепипед в рассматриваемой плоскости на некоторый угол - и вот уже на рассматриваемых площадках кроме нормальных появляются и касательные напряжения.
То же можно сказать о главных площадках напряжений и при плоском напряженном состоянии. Т.е. на 4 из 6 главных площадок напряжений действуют только нормальные напряжения при плоском напряженном состоянии (рисунок 336.1.б)).
Когда мы рассматривали линейное напряженное состояние, то выяснили, что такое состояние является частным случаем плоского напряженного состояния.
Рисунок 524.1. Действие напряжений на наклонных площадках
Т.е. когда σх = σ, σу = 0, тху = 0 на главных площадках напряжений. Поверхность одной из главных площадок при этом совпадает с поперечным сечением элемента (рисунок 524.1.а)). Соответственно в общем случае, при σу ≠ 0, полная запись уравнения (524.6):
σn + σn' = σcos2α + σsin2α = σ(cos2α + sin2α) = σ (524.6)
с учетом уравнения (524.6.2):
σn + σn' = σх + σу = const (524.6.2)
может иметь следующий вид:
σn + σn' = (σхcos2α + σуsin2α) + (σуcos2α + σхsin2α) (526.1)
Соответственно:
σn = σхcos2α + σуsin2α (526.2)
σn' = σуcos2α + σхsin2α (526.3)
А формула касательных напряжений (524.5) в общем виде будет иметь вид:
тn = ((σх - σу)/2)sin2α (526.4)
Однако эти формулы можно использовать лишь в тех случаях, когда σх = σ1, σу = σ2, тху = 0, т.е. при определении напряжений на площадках, наклоненных к главным площадкам напряжений под углом α. Поэтому формулы (526.2-4) более правильно записывать так:
σn = σ1cos2α + σ2sin2α (526.2.2)
σn' = σ2cos2α + σ1sin2α (526.3.2)
тn = ((σ1 - σ2)/2)sin2α (526.4.2)
Определение главных площадок напряжений
Однако при расчете конструкций как правило приходится решать обратную задачу. Т.е. в процессе расчета определены нормальные σх и σу и касательные напряжения тху на площадках, соответственно такие площадки не являются главными. И для того, чтобы продолжать расчет, необходимо определить главные площадки напряжений, точнее нормальные напряжения на этих площадках.
Сначала запишем формулы (526.2, 4) в общем виде, т.е. с учетом касательных напряжений тxy. Принцип их определения такой же, как и при рассмотрении линейного напряженного состояния.
С учетом того, что эти начальные касательные напряжения действуют на двух взаимно перпендикулярных площадках, при этом тху = тух, то дополнительные напряжения на рассматриваемой наклонной площадке от действия касательных напряжений составят:
тхуcosαsinα + тухsinacosa = 2(тху/2)sin2α = тхуsin2α (526.5)
тогда:
σn = σхcos2α + σуsin2α + тхуsin2α (526.2.3)
тn = ((σх - σу)/2)sin2α - тхуcos2α (526.4.3)
Так как согласно законам геометрии (точнее тригонометрии):
cos2α = (1 + cos2α)/2 (526.6.1)
sin2α = (1 - cos2α)/2 (526.6.2)
то уравнение (526.2.3) мы можем записать в следующем виде:
σn = (σх + σу)/2 + (σx - σy)cos2α/2 + тхуsin2α (526.2.4)
Так как на главных площадках напряжений касательные напряжения равны 0, то на таких площадках согласно формуле (526.4.3):
((σх - σу)/2)sin2α0 = тхуcos2α0 (526.7)
тогда, если мы разделим обе части уравнения на cos2α, а затем на ((σх - σу)/2), то получим следующее уравнение:
tg2α0 = 2тху/(σx - σy) (526.8)
Теперь, наконец, у нас есть все необходимые данные для определения угла наклона главной площадки по отношению к имеющимся и мы можем определить не только угол наклона главной площадки, но и максимальное напряжение на главной площадке, воспользовавшись формулой (526.2.3).
Например, если σх = 30кПа, σу = 10кПа, тху = 20 кПа, то tg2α0 = 2·20/(30 - 10) = 2, соответственно 2α = arctg2α = 63.44°, α = 31.72°. σ1 = 30·0.7235 + 10·0.276 + 20·0.8944 = 42.36 кПа.
Но в целом определение угла поворота главной площадки по отношению к имеющимся представляет чисто академический интерес. Законы тригонометрии таковы, что позволяют определить значение максимальных нормальных напряжений даже без определения угла поворота.
Для этого нужно соответствующим образом преобразовать уравнение (526.2.4), например, для начала можно вынести за скобки cos2α, тогда уравнение (526.2.4) примет следующий вид:
σn = (σх + σу)/2 + ((σx - σy)/2 + тхуtg2α)cos2α (526.2.5)
Далее, если разделить общеизвестную формулу радиуса единичной окружности (R = 1):
sin2α + cos2α = 1 (526.9.1)
на cos2α, то мы получим следующее уравнение:
tg2α + 1 = 1/cos2α (526.9.2)
и тогда косинус угла может быть описан следующим уравнением:
cosα = √1/(1 + tg2α) ((526.9.3)
тогда для угла наклона главных площадок:
cos2α0 = ±√1/(1 + tg22α0 (526.10.1)
В данном случае знак "±" поставлен потому, что косинусы углов 2α0' и 2α0" = 2α0' + 180° имеют противоположные знаки. Но пока будем рассматривать только одну из главных площадок
Подставив значение tg2α0 из формулы (526.8), получим:
cos2α0 = √1/(1 + 4тху2/(σх - σу)2 (526.10.2)
если умножить числитель и знаменатель дроби на (σх - σу)2, то:
cos2α0 = √(σх - σу)2/((σх-σу)2 + 4тху2) (526.10.3)
или
cos2α0 = (σх - σу)/√(σх-σу)2 + 4тху2 (526.10.4)
Теперь, подставив значение cos2α0 и tg2α0 в уравнение (526.2.5), получим уравнение максимальных нормальных напряжений на главной площадке:
σ1 = (σх + σу)/2 + (√(σx - σy)2 + 4тху2)/2 (526.11)
Для перпендикулярной площадки уравнение напряжений согласно формуле (526.10.1) будет иметь вид:
σ2 = (σх + σу)/2 - (√(σx - σy)2 + 4тху2)/2 (526.12)
Определение экстремальных касательных напряжений
Из формулы (526.4.3) следует, что при плоском напряженном состоянии, как и при линейном напряженном состоянии, экстремальные касательные напряжения будут действовать на площадках, наклоненных под углом α = 45° к главным площадкам, так как в этом случае sin2α = 1.
Тогда подставив в формулу (526.4.2) значения нормальных напряжений на главных площадках из формул (526.11, 12), получим следующее значение экстремальных касательных напряжений:
тex = (σх + σу)/2 + (√(σx - σy)2 + 4тху2)/2 - (σх + σу)/2 + (√(σx - σy)2 + 4тху2)/2 = √(σx - σy)2 + 4тху2 (526.13.1)
тex = √(σx - σy)2 + 4тху2 (526.13)
Таким образом, когда мы определяем значения нормальных напряжений на главных площадках, мы к половине суммы имеющихся нормальных напряжений добавляем или вычитаем половину половину экстремальных касательных напряжений.
На всякий случай проверим, не ошиблись мы в процессе вывода формул. Рассмотрим тот же случай, если σх = 30кПа, σу = 10кПа, тху = 20 кПа. σ1 = (30 + 10)/2 + (((30 -10)2 + 4·202)1/2)/2 = 42.36 кПа. Все сходится.
А теперь самое важное. Как уже говорилось в этом мире все сложно, в частности реальные материалы конструкций не имеют ни малейшего представления о физике, геометрии и формулах, которые мы только что вывели. Кроме того, на сегодняшний день нет возможности экспериментально проверить поведение материала при плоском напряженном состоянии (пока только при линейном). А потому использовать данные формулы можно лишь при расчете хрупких материалов по первой теории прочности.
Сколько всего существует теорий прочности и чем они отличаются, будет рассказано отдельно. | 
