На главную домой советы по ремонту квартиры
Список кабинетов             Что это за доктор?             Записаться на прием

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора формулируется так: "Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов". В математическом выражении эта формулировка выглядит еще короче:

с2 = а2 + b2 (541.1)

Вообще-то эту теорему проще запомнить как аксиому, принимаемую без доказательств, чем понять. Что я и сделал лет 40 тому назад и вполне успешно этой теоремой пользовался. Но сейчас стало просто интересно, а почему квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов? Точнее захотелось найти простое и внятное объяснение этого.

Оказалось, что на сегодняшний день подобных объяснений, точнее говоря, доказательств теоремы Пифагора существует великое множество и вроде бы первым эту теорему доказал не Пифагор, но так как теперь, спустя несколько тысяч лет авторские права никто не оспаривает, то и теорема носит имя Пифагора. А чтобы ее доказать, нужно иметь хотя бы начальные представления о геометрии.

Если такие представления имеются, то на мой взгляд самым простым и изящным доказательством теоремы Пифагора является метод замещения, который я бы назвал методом пазлов. Более того, доказать теорему таким способом могут даже дети лет 3-5, еще и говорить толком не умеющие. Как? Давайте рассмотрим.

простейшая мозаика головоломка

Рисунок 541.1. Простая мозаика-головоломка или мозаика-пазл.

Нас с самого раннего детства приучают к решению различных геометрических задач. Например, у многих из нас в детстве была такая или подобная мозаика из простейших геометрических фигур, как показано на рисунке 541.1. А для доказательства теоремы Пифагора потребуется еще более простая мозаика, состоящая всего из 4 одинаковых прямоугольных треугольников и контейнера.

мозаика из 4 треугольников для решения теоремы Пифагора

Рисунок 541.2. Простейшая мозаика-пазл и ее использование для решения теоремы Пифагора.

Например у нас есть контейнер и в нем располагаются 4 одинаковых прямоугольных треугольника таким образом, как это показано на рисунке 541.2.а). Т.е. два угла контейнера свободны, а два заняты.

Если перед ребенком поставить задачу: разместить треугольники так, чтобы все углы контейнера были заняты, то смышленому мальцу для этого потребуется 3 движения: сначала переместить красный треугольник, потом желтый, а затем синий в направлениях, показанных на рисунке 541.2.б). Для этого даже не потребуется вынимать треугольники из контейнера. Впрочем сначала можно переместить желтый треугольник, а потом красный, но сути дела это не меняет, результат все равно будет таким, как показано на рисунке 541.2.в).

Собственно это и есть доказательство теоремы Пифагора, а чтобы понять, почему эти три простейших действия являются доказательством, рассмотрим эту ситуацию, исходя из геометрических и математических понятий.

1. Контейнер, содержащий треугольники, является квадратом.

2. Площадь квадрата - постоянная величина.

3. Чтобы определить площадь S любого прямоугольника, нужно длину умножить на высоту. А так как у квадрата длина l равна высоте h (l = h), то в общем случае площадь квадрата равна:

S = l · l = l2 (541.2)

4. Четыре прямоугольных треугольника также имеют некоторую площадь. В данном случае значение площади треугольников нас не интересует, главное, что площадь треугольников является также постоянной величиной. Т.е. как бы мы не размещали треугольники в пределах контейнера, ни на площадь контейнера, ни на площадь треугольников это никак не влияет.

5. Треугольники занимают не всю площадь контейнера, т.е. имеется свободное пространство и площадь этого пространства также можно определить, но пока для нас важнее то, что эта площадь также является постоянной величиной:

Sс.п. = const (541.3)

5. Все прямоугольные треугольники одинаковые, поэтому катеты всех треугольников равны некоторым значениям а и b. а гипотенуза всех треугольников равна с, см. рисунок 541.3.а).

Примечание: Стороны треугольника, образующие прямой угол, называются катетами. Третья сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой. Именно поэтому при формулировке теоремы Пифагора можно не уточнять, что эта теорема относится к прямоугольным треугольникам.

6. Сначала треугольники расположены так, что внутри контейнера мы видим 2 квадрата - свободные пространства - со сторонами а и b, см. рисунок 541.3.б).

теорема Пифагора метод замещения

Рисунок 541.3. Решение теоремы Пифагора методом замещения

7. Мы можем определить площадь этих квадратов. Она составит:

S1 = a2 (541.4)

S2 = b2 (541.5)

Сумма этих площадей будет равна общей площади свободного пространства в контейнере:

Sс.п. = S1 + S2 = a2 + b2 (541.6)

8. После перемещения треугольников мы получаем новую фигуру со сторонами с, рисунок 541.3.г). Эта фигура - также свободное пространство в контейнере, тогда на основании уравнений (541.3) и (541.6) мы можем сделать следующий вывод:

S3 = Sс.п. = S1 + S2 (541.7)

9. Т.е. даже если бы новая фигура со сторонами с не была бы квадратом, то все равно ее площадь равна суммарной площади квадратов со сторонами а и b.

10. Тем не менее новая фигура - это все таки квадрат и площадь его равна:

S3 = c2 (541.8)

11. Тогда, подставив полученные значения в формулу (541.7), мы и получим математическое выражение теоремы Пифаргора:

с2 = a2 + b2 (541.1)

Вообще многие из описанных выше тезисов понятны на интуитивном уровне, тем не менее я привел на мой взгляд наиболее полную запись рассуждений, необходимых при доказательстве теоремы Пифагора методом замещения.

Также несложным вариантом доказательства является метод рассмотрения подобных треугольников, но это уже следующий уровень знаний геометрии, так как для понимания доказательства нужно знать, что такое подобные треугольники, каковы их свойства, что такое высота треугольника и т.п.

Впрочем ни метод подобия треугольников, ни методы, изложенные в древнекитайских и древнеиндийских манускриптах, ни методы, основанные на дифференциальных уравнениях, ни другие методы числом более 300 мы здесь рассматривать не будем. Просто отметим, что такое количество возможных доказательств возникло из-за чрезвычайной важности решаемой задачи.

Без преувеличения можно сказать, что теорема Пифагора - основа современной Евклидовой геометрии и тригонометрии. Например, если рассматривать окружность с центром в начале координат, то квадрат радиуса такой окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности:

R2 = x2 + y2 (541.1.2)

Т.е. если рассматривать координаты х и у любой точки окружности (например обозначенной на рисунке 541.4 фиолетовым цветом), как катеты прямоугольного треугольника, то в этом случае радиус окружности - это гипотенуза прямоугольного треугольника:

радиус окружности как гипотенуза прямоугольного треугольника

Рисунок 541.4. Радиус окружности, как гипотенуза прямоугольного треугольника.

Но и это еще не все. Если известен угол наклона радиуса а, то координаты точки можно рассматривать как синус и косинус этого угла. Тогда получается, что для окружности радиусом, равным единице, справедливо следующее утверждение:

1 = sin2a + cos2a (541.1.3)

Вот такая она - теорема Пифагора и всего лишь некоторые из возможных способов ее применения.

А кто сочинил стишок: "пифагоровы штаны на все стороны равны", я не знаю. Наверное какой-то ученик, пытавшийся в литературной форме изложить метод доказательства теоремы, приписываемый Пифагору. При этом методе квадраты рисуются по всем сторонам прямоугольного треугольника. А в частном случае, когда прямоугольный треугольник еще и равнобедренный, то в итоге картинка чем-то напоминает штаны.

На главную домой

Категории:
Оценка пользователей: Нет
Переходов на сайт:1
Комментарии:

Комментариев нет

Добавить свой комментарий:

Имя:

E-Mail адрес:

Комментарий:

Ваша оценка:

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье "Записаться на прием к доктору" (ссылка в шапке сайта).




советы по строительству и ремонту



После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью и адресом электронной почты. Если вы хотите задать вопрос, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Спасибо. Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий к соответствующей статье.

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

Или на карту 5106 2110 0462 8702 Получатель SERGEI GUTOV

Для Украины - номер гривневой карты (Приватбанк) 5168 7423 0569 0962 Получатель Гутов Сергей Михайлович

На всякий случай кошелек webmoney: R158114101090

Или: Z166164591614


Доктор Лом. Первая помощь при ремонте, Copyright © 2010-2017