На главную домой советы по ремонту квартиры
Список кабинетов             Что это за доктор?             Записаться на прием

Радиус кривизны плоской кривой

Любая линия является кривой, даже прямая. Поэтому к любой линии применимы такие характеристики как кривизна или радиус кривизны. Как правило кривизна обозначается латинской литерой k, а радиус кривизны греческой литерой ρ.

Между собой эти характеристики кривой связаны следующим образом:

k = 1/ρ (542.1)

Т.е. чем больше радиус кривой, тем меньше ее кривизна.

А теперь рассмотрим несколько частных случаев  кривых.

Радиус кривизны окружности

Окружность - это плоская кривая с постоянным радиусом кривизны. Т.е. радиус окружности это и есть радиус кривизны окружности:

Rокр = ρ (542.2)

Как определить радиус окружности, мы рассмотрим ниже.

Кривизна дуги

Любая дуга - это часть окружности. Соответственно радиус дуги равен радиусу окружности:

дуга как часть окружности

Рисунок 542.1. Дуга - часть окружности

На рисунке 542.1 мы видим дугу АВ, показанную оранжевым цветом, являющуюся частью окружности с радиусом R. Кроме того, мы видим, что угол α, образованный радиусами в точках А и В, равен углу между касательными (показаны фиолетовым цветом) к окружности в этих точках.

Эти закономерности позволяют определить радиус дуги и найти центр окружности даже тогда, когда изначально мы окружность не видим, а только имеем дугу. 

Понятие кривизны дуги формулируется так:

Кривизна дуги - это отношение угла между касательными, проведенными в начале и конце дуги, к длине дуги

Т.е. зная длину дуги m и угол α между касательными, мы можем определить кривизну дуги:

kд. = α/m (542.3)

А так как длина дуги зависит от угла между радиусами или между касательными в концах дуги:

m = Rα (542.4)

то, подставив значение длины дуги в уравнение (542.3), получим:

kд. = α/mα/Rα = 1/R (542.1.2)

Примечание: При измерении угла между касательными не в радианах, а в градусах уравнение длины дуги имеет другой вид:

m = ПRα/180 (542.4.1)

но сути дела это не меняет. Такая запись по-прежнему означает, что мы рассматриваем часть длины окружности. Так при α = 360° дуга становится окружностью

m = ПR360/180 = 2ПR = lокр. (542.4.2)

Более того, сама идея радианов на этой формуле и основана, так прямой угол 90° = П/2, развернутый 180° = П и т.д.

И еще одно интересное свойство дуги: Если соединить точки А и В прямой линией, то угол между этой линией и касательными будет равен α/2, а сама прямая линия - это и есть расстояние между точками А и В. Если дуга расположена в плоскости соответствующим образом, например так, как показано на рисунке 542.2:

проекция дуги на ось х

Рисунок 542.2. Дуга из точки начала координат.

то расстояние между точками - это проекция l дуги на ось х. А максимальное расстояние между дугой и осью х - это стрела дуги h.

Радиус кривизны прямой линии

Любая прямая линия, даже бесконечно длинная, может рассматриваться как бесконечно малая часть окружности, т.е. как дуга. Соответственно в каких единицах измерять радиус такой окружности даже трудно представить.

Поэтому обычно прямой линией называют кривую с бесконечно большим радиусом:

ρп.л. = ∞ (542.5)

kп.л = 1/∞ = 0 (542.6)

Про до сих пор неразрешенный парадокс, возникающий при подобных подходах к прямой линии и к окружности, я уже упоминал в статье "Основы геометрии. Определения основных элементов, пятый элемент". Здесь лишь добавлю, что через прямую линию можно провести бесконечное множество плоскостей и в любой из этих плоскостей радиус кривизны прямой линии будет равен бесконечности. При этом через окружность можно провести две взаимно перпендикулярные плоскости, в одной из которых окружность будет окружностью, а в другой - прямой линией конечной длины. Поэтому

все линии, которые в одной из плоскостей имеют бесконечно большой радиус кривизны, считаются плоскими

Ну и на закуску еще несколько парадоксов, на этот раз связанных с определениями кривизны и радиуса:

1. Из уравнения (542.1) можно сделать вывод, что:

kp = 1 (542.7)

Соответственно для прямой линии:

0·∞ = 1 (542.7.2)

Т.е. если бесконечно много раз взять ноль, то на единичку мы наскребем. Впрочем дальше будет еще веселее.

2. Если прямая - это дуга с бесконечно большим радиусом, соответственно касательные, проведенные в концах такой дуги, совпадают с прямой, а угол, образованный касательными, равен нулю.

Это означает, что радиусы проведенные в концах дуги - прямой линии, являются параллельными прямыми и не могут пересекаться. А между тем по определению это радиусы, которые обязательно должны сходиться в некоторой точке - центре окружности.

Получается, что параллельные прямые пересекаться не должны, но где-то в бесконечности все-таки пересекаются.

Разрешить этот парадокс пытались многие математики, однако в пределах евклидовой геометрии  при принятом толковании определений данный парадокс не разрешим.

Такие дела.

Радиус кривизны точки

Точка - это самый простой и самый сложный элемент геометрии. Одни считают, что точка не имеет размеров, а значит и определить кривизну или радиус кривизны точки не возможно. Другие, в частности Евклид, считают, что точка не имеет частей, а каковы при этом размеры точки - не совсем понятно. Я же считаю, что точка - это начальный, далее не делимый элемент геометрии, размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с остальными рассматриваемыми элементами. В этом случае для точки будут справедливыми следующие уравнения кривизны и радиуса кривизны:

ρт. = 0 (542.8)

kт. = 1/0 = ∞ (542.9)

И хотя нас с первых лет обучения в школе учат, что делить на 0 нельзя и даже встроенный в операционную систему калькулятор пишет, что "деление на ноль невозможно", тем не менее делить на ноль можно, а результатом деления всегда будет бесконечность.

Как и в случае с прямой мы имеем парадоксальный результат, выражаемый формулой (542.5.2). Тем не менее точку также можно отнести к плоской кривой, имеющей постоянный радиус кривизны.

Примечание: На мой взгляд большинство из описанных выше парадоксов возникают из-за неправильного толкования понятия "бесконечность". Бесконечность как некая абсолютная величина не имеет пределов, а значит и никакому измерению не поддается. Кроме того бесконечность - это даже не постоянная, а переменная величина. Например луч - это прямая линия с началом в некоторой точке. Длина луча может быть бесконечно большой.  При этом прямая линия тоже может быть бесконечно длинной при этом не иметь ни начала ни конца. Получается, что с одной стороны бесконечно длинный луч вроде бы в 2 раза короче, чем бесконечно длинная прямая. А с другой стороны длины их бесконечны и поэтому равны.

Возможным выходом из этой ситуации является принятие понятия "бесконечность", как относительного. Например, кривизна прямой линии является пренебрежимо малой величиной по отношению к радиусу кривизны. Или радиус кривизны прямой линии несопоставимо больше кривизны. Подобные толкования допускают и наличие кривизны прямой и некое конечное значение радиуса кривизны прямой и многое другое. Я бы назвал такой относительный подход к рассмотрению проблемы реалистичным, а подходы, использующие абсолютные понятия - идеализированными. Впрочем прямого отношения к теме данной статьи это не имеет. Продолжим рассмотрение плоских кривых.

И окружность и прямая линия являются плоскими кривыми с постоянным радиусом кривизны. При этом радиус кривизны прямой линии всегда известен, так как равен бесконечности, а для окружности всегда можно определить радиус, воспользовавшись теоремой Пифагора. Так в частном случае, если центр окружности совпадает с началом координат  рассматриваемой плоскости (u = 0; v = 0 - координаты центра окружности), то:

радиус окружности как гипотенуза прямоугольного треугольника

Рисунок 541.4. Радиус окружности, как гипотенуза прямоугольного треугольника.

R2 = x2 + y2 (541.1.2)

А в общем случае, когда координаты центра окружности не совпадают с началом координат:

определение радиуса окружности, если центр окружности не совпадает с началом координат

Рисунок 542.3. Окружность, центр которой не совпадает с началом координат.

R2 = (x - u)2 + (y - v)2 (542.10)

Но в жизни достаточно часто приходится сталкиваться с кривыми, радиус кривизны которых - не постоянная величина. Более того, этот радиус может изменяться в двух плоскостях измерения. Тем не менее так далеко углубляться в геометрию и алгебру мы не будем и далее рассмотрим, как можно определить радиус плоской кривой в некоторой точке.

Плоские кривые с изменяющимся радиусом кривизны

Примеров плоских кривых с изменяющимся радиусом кривизны очень много, это и гиперболы, и параболы, и синусоиды и т.п. Определение радиуса кривизны таких кривых основано на следующих теоретических предпосылках:

1. Любую окружность можно рассматривать как некоторое множество дуг.

2. Если количество дуг, составляющих окружность, стремится к бесконечности, то соответственно длина таких дуг стремится к нулю (m → 0).

3. Если мы обозначим длину такой очень короткой дуги как приращение функции длины окружности (m = Δl), то уравнение кривизны (542.3) примет следующий вид:

предел кривизны дуги (542.3.1)

4. Тогда любую плоскую кривую с изменяющимся радиусом можно рассматривать как стремящееся к бесконечности множество дуг с постоянным радиусом. Другими словами в пределах любой кривой, описываемой параметрическими уравнениями, всегда можно выделить дугу, пусть даже и очень малой длины, стремящейся к точке и определить для нее кривизну и радиус кривизны в рассматриваемой точке.

Это означает, что самый точный способ определения радиуса кривизны в таком случае - это использование дифференциальных исчислений. В общем случае для этого нужно два раза продифференцировать уравнение радиуса окружности (542.10) по аргументу функции х, а затем извлечь квадратный корень из полученного результата. В итоге (полный вывод уравнения здесь не привожу из-за повышенной сложности записи, а для особо заинтересованных есть справочники и другие сайты) мы получим следующую формулу для определения радиуса кривизны:

формула для определения радиуса кривизны (542.11)

Соответственно кривизна плоской кривой в рассматриваемой точке будет равна:

формула для определения кривизны кривой (542.12)

В частном случае, когда тангенс угла между касательными - первая производная от функции - является относительно малой величиной, например, tg2° = 0.035 соответственно (tg2°)2 = 0.0012, то влиянием куба суммы первой производной и единицы на кривизну можно пренебречь (значение знаменателя дроби сводится к единице) и тогда:

k = y" = d2y/dx2 (542.12.2)

Т.е. формально в таких случаях кривизной считается не отношение угла наклона между касательными к длине дуги, а некоторая величина, примерно соответствующая высоте h на рисунке 542.2.

Эта особенность второй производной очень активно используется в частности для упрощения определения прогиба элементов строительных конструкций.

На главную домой

Категории:
Оценка пользователей: Нет
Переходов на сайт:1
Комментарии:

Комментариев нет

Добавить свой комментарий:

Имя:

E-Mail адрес:

Комментарий:

Ваша оценка:

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье "Записаться на прием к доктору" (ссылка в шапке сайта).




советы по строительству и ремонту



Яндекс.Метрика

После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью и адресом электронной почты. Если вы хотите задать вопрос, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Спасибо. Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий к соответствующей статье.

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

Или на карту 5106 2110 0462 8702 Получатель SERGEI GUTOV

Для Украины - номер гривневой карты (Приватбанк) 5168 7423 0569 0962 Получатель Гутов Сергей Михайлович

На всякий случай кошелек webmoney: R158114101090

Или: Z166164591614


Доктор Лом. Первая помощь при ремонте, Copyright © 2010-2017