Радиус кривизны окружности
Окружность - это плоская кривая с постоянным радиусом кривизны. Т.е. радиус окружности это и есть радиус кривизны окружности:
Rокр = ρ (542.2)
Как определить радиус окружности, мы рассмотрим ниже.
Кривизна дуги
Любая дуга - это часть окружности. Соответственно радиус дуги равен радиусу окружности:
Рисунок 542.1. Дуга - часть окружности
На рисунке 542.1 мы видим дугу АВ, показанную оранжевым цветом, являющуюся частью окружности с радиусом R. Кроме того, мы видим, что угол α, образованный радиусами в точках А и В, равен углу между касательными (показаны фиолетовым цветом) к окружности в этих точках.
Эти закономерности позволяют определить радиус дуги и найти центр окружности даже тогда, когда изначально мы окружность не видим, а только имеем дугу.
Понятие кривизны дуги формулируется так:
Кривизна дуги - это отношение угла между касательными, проведенными в начале и конце дуги, к длине дуги
Т.е. зная длину дуги m и угол α между касательными, мы можем определить кривизну дуги:
kд. = α/m (542.3)
А так как длина дуги зависит от угла между радиусами или между касательными в концах дуги:
m = Rα (542.4)
то, подставив значение длины дуги в уравнение (542.3), получим:
kд. = α/m = α/Rα = 1/R (542.1.2)
Примечание: При измерении угла между касательными не в радианах, а в градусах уравнение длины дуги имеет другой вид:
m = ПRα/180 (542.4.1)
но сути дела это не меняет. Такая запись по-прежнему означает, что мы рассматриваем часть длины окружности. Так при α = 360° дуга становится окружностью
m = ПR360/180 = 2ПR = lокр. (542.4.2)
Более того, сама идея радианов на этой формуле и основана, так прямой угол 90° = П/2, развернутый 180° = П и т.д.
И еще одно интересное свойство дуги: Если соединить точки А и В прямой линией, то угол между этой линией и касательными будет равен α/2, а сама прямая линия - это и есть расстояние между точками А и В. Если дуга расположена в плоскости соответствующим образом, например так, как показано на рисунке 542.2:
Рисунок 542.2. Дуга из точки начала координат.
то расстояние между точками - это проекция l дуги на ось х. А максимальное расстояние между дугой и осью х - это стрела дуги h.
Радиус кривизны прямой линии
Любая прямая линия, даже бесконечно длинная, может рассматриваться как бесконечно малая часть окружности, т.е. как дуга. Соответственно в каких единицах измерять радиус такой окружности даже трудно представить.
Поэтому обычно прямой линией называют кривую с бесконечно большим радиусом:
ρп.л. = ∞ (542.5)
kп.л = 1/∞ = 0 (542.6)
Про до сих пор неразрешенный парадокс, возникающий при подобных подходах к прямой линии и к окружности, я уже упоминал в статье "Основы геометрии. Определения основных элементов, пятый элемент". Здесь лишь добавлю, что через прямую линию можно провести бесконечное множество плоскостей и в любой из этих плоскостей радиус кривизны прямой линии будет равен бесконечности. При этом через окружность можно провести две взаимно перпендикулярные плоскости, в одной из которых окружность будет окружностью, а в другой - прямой линией конечной длины. Поэтому
все линии, которые в одной из плоскостей имеют бесконечно большой радиус кривизны, считаются плоскими
Ну и на закуску еще несколько парадоксов, на этот раз связанных с определениями кривизны и радиуса:
1. Из уравнения (542.1) можно сделать вывод, что:
kp = 1 (542.7)
Соответственно для прямой линии:
0·∞ = 1 (542.7.2)
Т.е. если бесконечно много раз взять ноль, то на единичку мы наскребем. Впрочем дальше будет еще веселее.
2. Если прямая - это дуга с бесконечно большим радиусом, соответственно касательные, проведенные в концах такой дуги, совпадают с прямой, а угол, образованный касательными, равен нулю.
Это означает, что радиусы проведенные в концах дуги - прямой линии, являются параллельными прямыми и не могут пересекаться. А между тем по определению это радиусы, которые обязательно должны сходиться в некоторой точке - центре окружности.
Получается, что параллельные прямые пересекаться не должны, но где-то в бесконечности все-таки пересекаются.
Разрешить этот парадокс пытались многие математики, однако в пределах евклидовой геометрии при принятом толковании определений данный парадокс не разрешим.
Такие дела.
Радиус кривизны точки
Точка - это самый простой и самый сложный элемент геометрии. Одни считают, что точка не имеет размеров, а значит и определить кривизну или радиус кривизны точки не возможно. Другие, в частности Евклид, считают, что точка не имеет частей, а каковы при этом размеры точки - не совсем понятно. Я же считаю, что точка - это начальный, далее не делимый элемент геометрии, размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с остальными рассматриваемыми элементами. В этом случае для точки будут справедливыми следующие уравнения кривизны и радиуса кривизны:
ρт. = 0 (542.8)
kт. = 1/0 = ∞ (542.9)
И хотя нас с первых лет обучения в школе учат, что делить на 0 нельзя и даже встроенный в операционную систему калькулятор пишет, что "деление на ноль невозможно", тем не менее делить на ноль можно, а результатом деления всегда будет бесконечность.
Как и в случае с прямой мы имеем парадоксальный результат, выражаемый формулой (542.5.2). Тем не менее точку также можно отнести к плоской кривой, имеющей постоянный радиус кривизны.
Примечание: На мой взгляд большинство из описанных выше парадоксов возникают из-за неправильного толкования понятия "бесконечность". Бесконечность как некая абсолютная величина не имеет пределов, а значит и никакому измерению не поддается. Кроме того бесконечность - это даже не постоянная, а переменная величина. Например луч - это прямая линия с началом в некоторой точке. Длина луча может быть бесконечно большой. При этом прямая линия тоже может быть бесконечно длинной при этом не иметь ни начала ни конца. Получается, что с одной стороны бесконечно длинный луч вроде бы в 2 раза короче, чем бесконечно длинная прямая. А с другой стороны длины их бесконечны и поэтому равны.
Возможным выходом из этой ситуации является принятие понятия "бесконечность", как относительного. Например, кривизна прямой линии является пренебрежимо малой величиной по отношению к радиусу кривизны. Или радиус кривизны прямой линии несопоставимо больше кривизны. Подобные толкования допускают и наличие кривизны прямой и некое конечное значение радиуса кривизны прямой и многое другое. Я бы назвал такой относительный подход к рассмотрению проблемы реалистичным, а подходы, использующие абсолютные понятия - идеализированными. Впрочем прямого отношения к теме данной статьи это не имеет. Продолжим рассмотрение плоских кривых.
И окружность и прямая линия являются плоскими кривыми с постоянным радиусом кривизны. При этом радиус кривизны прямой линии всегда известен, так как равен бесконечности, а для окружности всегда можно определить радиус, воспользовавшись теоремой Пифагора. Так в частном случае, если центр окружности совпадает с началом координат рассматриваемой плоскости (u = 0; v = 0 - координаты центра окружности), то:
Рисунок 541.4. Радиус окружности, как гипотенуза прямоугольного треугольника.
R2 = x2 + y2 (541.1.2)
А в общем случае, когда координаты центра окружности не совпадают с началом координат:
Рисунок 542.3. Окружность, центр которой не совпадает с началом координат.
R2 = (x - u)2 + (y - v)2 (542.10)
Но в жизни достаточно часто приходится сталкиваться с кривыми, радиус кривизны которых - не постоянная величина. Более того, этот радиус может изменяться в двух плоскостях измерения. Тем не менее так далеко углубляться в геометрию и алгебру мы не будем и далее рассмотрим, как можно определить радиус плоской кривой в некоторой точке.
Плоские кривые с изменяющимся радиусом кривизны
Примеров плоских кривых с изменяющимся радиусом кривизны очень много, это и гиперболы, и параболы, и синусоиды и т.п. Определение радиуса кривизны таких кривых основано на следующих теоретических предпосылках:
1. Любую окружность можно рассматривать как некоторое множество дуг.
2. Если количество дуг, составляющих окружность, стремится к бесконечности, то соответственно длина таких дуг стремится к нулю (m → 0).
3. Если мы обозначим длину такой очень короткой дуги как приращение функции длины окружности (m = Δl), то уравнение кривизны (542.3) примет следующий вид:
 (542.3.1)
4. Тогда любую плоскую кривую с изменяющимся радиусом можно рассматривать как стремящееся к бесконечности множество дуг с постоянным радиусом. Другими словами в пределах любой кривой, описываемой параметрическими уравнениями, всегда можно выделить дугу, пусть даже и очень малой длины, стремящейся к точке и определить для нее кривизну и радиус кривизны в рассматриваемой точке.
Это означает, что самый точный способ определения радиуса кривизны в таком случае - это использование дифференциальных исчислений. В общем случае для этого нужно два раза продифференцировать уравнение радиуса окружности (542.10) по аргументу функции х, а затем извлечь квадратный корень из полученного результата. В итоге (полный вывод уравнения здесь не привожу из-за повышенной сложности записи, а для особо заинтересованных есть справочники и другие сайты) мы получим следующую формулу для определения радиуса кривизны:
 (542.11)
Соответственно кривизна плоской кривой в рассматриваемой точке будет равна:
 (542.12)
В частном случае, когда тангенс угла между касательными - первая производная от функции - является относительно малой величиной, например, tg2° = 0.035 соответственно (tg2°)2 = 0.0012, то влиянием куба суммы первой производной и единицы на кривизну можно пренебречь (значение знаменателя дроби сводится к единице) и тогда:
k = y" = d2y/dx2 (542.12.2)
Т.е. формально в таких случаях кривизной считается не отношение угла наклона между касательными к длине дуги, а некоторая величина, примерно соответствующая высоте h на рисунке 542.2.
Эта особенность второй производной очень активно используется в частности для упрощения определения прогиба элементов строительных конструкций. | 
