На главную домой советы по ремонту квартиры
Список кабинетов             Что это за доктор?             Записаться на прием

Расчет прямоугольной фермы

А теперь представим себе следующую вполне вероятную ситуацию: жене не понравилась идея сделать колонны посредине (показаны на рисунке 293.1 темнозеленым цветом). Ей хочется пространства и воздушности.

Ничего не попишешь, женщинам виднее, ну а нам, чтобы эту самую воздушность соблюсти, придется дополнительно рассчитать ферму прямоугольной формы (на рисунке 293.1 общие контуры прямоугольных ферм показаны фиолетовым цветом).

расчетная схема для арочной галереи

Рисунок 293.1. Общая предварительная схема арочной галереи.

В целом, если изготовление ферм планируется из одного-двух типоразмеров профиля, то расчет такой прямоугольной фермы много времени не займет.

Сосредоточенными нагрузками для данных прямоугольных ферм будут опорные реакции для рассчитывавшихся ранее арочных ферм. Эти нагрузки Q будут приложены в узлах фермы, как показано на рисунке 554.1.б). Общая геометрия фермы показана на рисунке 554.1.а):

расчетная схема для прямоугольной фермы

Рисунок 554.1. Общая геометрия и расчетные схемы для прямоугольной фермы.

Для упрощения расчетов длины всех пролетов между узлами в верхнем поясе приняты одинаковыми.

Определение усилий в стержнях фермы

Расчет ферм будет производиться методом сечений, основные положения которого изложены отдельно.

Когда мы рассчитывали арочные фермы, то выяснили, что опорные реакции у этих ферм могут быть разными в зависимости от рассматриваемого варианта снеговой нагрузки. Для дальнейших расчетов примем максимально возможное значение опорных реакций, тогда нагрузки на ферму от арочных ферм будут Q = 796.1 кг.

Кроме того на ферму будет действовать равномерно распределенная нагрузка от собственного веса фермы, к тому же изначально нам не известная, а это означает, что ферму следует дополнительно рассчитать на эту нагрузку. Однако с учетом того, что собственный вес фермы будет относительно небольшой, то для упрощения расчетов эту распределенную нагрузку от собственного веса можно условно привести к сосредоточенным в узлах фермы. Например, если ферма будет весить около 28 кг, то дополнительные сосредоточенные нагрузки составят 28/7 = 4 кг, тогда расчетные нагрузки составят:

Q = 796.1 + 4 ≈ 800 кг

Так как у нас симметричная ферма, к которой одинаковые нагрузки также приложены симметрично, то опорные реакции будут равны между собой и составят:

VA = VB = 7Q/2 = 7·800/2 = 2800  кгс

Значение горизонтальной составляющей опорной реакции на опоре А будет равно нулю, так как горизонтальных нагрузок в нашей расчетной схеме нет, поэтому горизонтальная составляющая реакции на опоре А показана на рисунке 554.1.в) бледно фиолетовым цветом. 

Также на рисунке 554.1.в) показаны сечения, по которым можно рассчитать усилия во всех стержнях фермы с учетом симметричности фермы и нагрузок. Далее будет рассматриваться расчет только по 4 сечениям.

Маркировка, показанная на рисунке 554.1.г) означает, что у фермы есть:

Стержни нижнего пояса: 1-а, 1-в, 1-д, 1-ж;

Стержни верхнего пояса: 3-б, 3-г, 3-е;

Стойка: 2-а;

Раскосы: а-б, б-в, в-г, г-д, д-е, е-ж.

При необходимости для маркировки стержней, симметричных указанным, можно использовать апостроф '.

Если стоит задача рассчитать все стержни фермы, то лучше составить таблицу, в которую вносятся все стержни фермы. Затем в эту таблицу будут внесены результаты расчетов, в частности значения сжимающих или растягивающих напряжений.

Во всех сечениях, показанных на рисунке 554.1, силы N направлены так, что вызывают растяжения в рассматриваемых стержнях. Если по результатам расчетов усилие в рассматриваемом стержне будет отрицательным, то это означает, что в этом стержне будут действовать сжимающие нормальные напряжения.

Приступим к рассмотрению сечений.

сечение II-II (рис. 554.1.е)

Составим уравнение моментов относительно узла 3, это позволит определить усилие в стержне 3-б:

М3 = VAl - Ql + N3-бh = 0;

N3-бh =Ql - VAl;

где l - плечо действия силы Q и опорной реакции VA, равное расстоянию от узла 1 до узла 3 по горизонтали, согласно принятой нами расчетной схемы l = 0.525 м; - плечо действия силы N3-a, равное высоте фермы, в данном случае h = 0.4м. Это означает, что в действительности общая высота фермы с учетом сечений верхнего и нижнего пояса будет немного больше, так как в данном случае высота - это расстояние между нейтральными осями верхнего и нижнего поясов.

Тогда:

N3-б =(Ql - VAl)/h = ((800 - 2800)0.525)/0.4 = - 2625 кг

Чтобы определить напряжения в стержне а-б составим уравнение моментов относительно узла 1:

М1 = Nа-бh' + N3-бh = 0;

Na-б = 2625·0.4/0.318 = 3300.4 кг

В данном случае h' - плечо приложения силы Nа-б - это высота прямоугольного треугольника. Плечо было определено следующим образом, сначала вычисляется значение угла а между стержнями 1-а и а-б.

tga = 0.4/0.525 = 0.762

где 0.4 и 0.525 - длины стержней - катетов прямоугольного треугольника.

a = 37.3°

тогда

h' = 0.525sina = 0.525·0.606 = 0.318 м

Усилия в стержне 1-а будут равны нулю, в чем легко убедиться,составив уравнение моментов относительно узла 2:

М2 =- N1-а·0.4 = 0;

Проверим правильность вычислений, составив уравнения проекций сил на основные оси:

ΣQy = - Q1 +VA - Na-бsin37.3о = -800 +2800 - 3300.4·0.606 = 0.004 кг

ΣQx = N3-б + N1-a-бсos37.3o = -2625 + 3300.4·0.795 = 0.38 кг

Небольшая погрешность в вычислениях набежала из-за того, что вычисления ведутся с точностью до одного знака после запятой, а в значениях тригонометрических функций указываются только 3-4 знака после запятой. Но в данном случае большая точность и не нужна. В целом при таких нагрузках, на погрешность до 1 кг можно не обращать внимания.

сечение VII-VII (рис. 554.1.д)

Для определения усилий в стержне 1-ж составим уравнение моментов относительно узла 8:

М8 = -Q(1.05 + 2.1 + 3.15) + 3.15VA - 0.4N1-ж = 0;

N1-ж = (-6.3·800 + 3.15·2800)/0.4 = 9450 кг

Для определения усилий в стержне 3-е составим уравнение моментов относительно узла 7:

М7 = -Q(0.525 + 1.575 + 2.625) + 2.625VA + 0.4N3-е = 0;

N3-е = (800·4.725 - 2800·2.625)/0.4 = - 8925 кг (работает на сжатие)

Для определения усилий в стержне е-ж составим уравнение моментов относительно узла 9:

М9 = -Q(1.575 + 2.625 + 3.675) + 3.675VA + 0.4N3-е + 0.636Nе-ж = 0;

Nе-ж = (800·7.875 - 2800·3.675 + 0.4·8925)/0.6363 = - 660 кг 

Проверим правильность расчетов

ΣQх = N3-е + N1-ж + Nе-жcos37.3° =- 8925 + 9450 - 660·0.7955 = 0.012 кг

Для лучшего представления общей картины проверим еще пару сечений

сечение VI-VI (рис. 554.1.ж)

Для определения усилий в стержне 1-д составим уравнение моментов относительно узла 6:

М6 = -Q(1.05 + 2.1)+ 2.1VA - 0.4N1-д = 0;

N1-д = (- 3.15·800 + 2.1·2800)/0.4 = 8400 кг

Для определения усилий в стержне д-е составим уравнение моментов относительно узла 5:

М5 = 1.575(-Q + VA)+ 0.4N3-е + 0.6363Nд-е = 0;

Nд-е = (1.575(800 - 2800) + 0.4·8925)/0.6363 = 660 кг

Проверим правильность расчетов, определив проекции сил на ось х:

ΣQx = N3-е + N1-ж + Nд-еcos37.3° = -8925 + 8400 + 660·0.7955  = 0.06 кг;

сечение III-III 

Усилия в стержне 3-б нам уже известны, поэтому для определения усилий в стержне б-в составим уравнение моментов относительно узла 5:

М5 = -1.575Q + 1.575VA - 0.4N3-б + 0.6363Nб-в = 0;

Nб-в = (1.575(800 - 2800) + 0.4·2625)/0.6363 = -3300.4 кг

Усилие в стержне 1-в будет явно значительно меньше, чем в стержне 1-ж и потому в данном случае оно нас не интересует, так как мы планируем делать нижний пояс из трубы одного сечения. А чтобы определить правильность расчетов в данном случае определим проекции сил на ось у:

ΣQy = - Q1 +VA + Nб-вsin37.3о = -800 +2800 - 3300.4·0.606 = 0.04 кг

Теперь у нас есть все основные данные для дальнейшего расчета

Подбор сечения

На первый взгляд самым загруженным является стержень нижнего пояса 1-ж, на который действует продольная растягивающая сила N1-ж = 9450 кг. Однако напряжения в сжатом стержне 3-е в результате продольного изгиба могут быть даже больше, поэтому в первую очередь проверим прочность именно этого стержня по следующей формуле:

σ = N/φF ≤ R

где φ - коэффициент продольного изгиба, F - площадь сечения профиля, см, R - расчетное сопротивление материала профиля. Если расчетное сопротивление стали зараннее не известно, то для надежности рекомендуется принимать одно из минимальных R = 2300 кг/см2.

Расчет сжатых стержней ничем не отличается от расчета колонн, поэтому далее приводятся только основные этапы расчета без подробных пояснений.

по таблице 1 (см. ссылку выше) определяем значение μ = 1, это значение будет наиболее оптимальным с учетом рекомендаций нормативных документов, в частности СНиП II-23-81*(1990) "Стальные конструкции", а также того, что основные нагрузки к ферме приложены именно в узлах.

Предварительно определим площадь сечения профиля. Для растянутого стержня 1-ж эта площадь составит:

F = N/R = 9450/2300 = 4.11 см2

По сортаменту для прямоугольных профильных труб этому требованию удовлетворяет труба сечением 50х30х3 мм, площадь сечения такой трубы составит F = 4.21 см2, минимальный радиус инерции i = 1.16 см. Проверим, подходит ли эта труба для сжатого верхнего пояса фермы, так как делать пояса из труб разного сечения - дополнительное усложнение технологии, мало оправданное при таких малых объемах работ, всего-то нужно сделать 2 фермы.

При радиусе инерции i = 1.14 см, значение коэффициента гибкости составит

λ = μl/i = 1·105/1.16 = 90.5 ≈ 90

тогда по таблице 2 коэффициент изгиба φ = 0.629 (определяется интерполяцией значений 2050 и 2450)

8925/(0.629·4.21) = 3368 кгс/см2 >> R = 2300 кгс/см2;

Как видим, такое значение напряжений значительно больше допустимого. Если для изготовления поясов использовать трубу 50х40х3 мм, имеющую площадь сечения 4.81 см и минимальный радиус инерции i = 1.54 см, то результат расчетов будет следующим:

λ = 1·105/1.54 = 68.2 ≈ 68

φ = 0.77

8925/(0.77·4.81) = 2409 кгс/см2 > R = 2300 кгс/см2;

Как видим и такой трубы для обеспечения прочности не достаточно. Ну а дальше возможны разные варианты, можно для изготовления поясов использовать трубу 50х40х3.5 мм с площадью сечения 5.49 см2, которая явно обеспечит требуемый запас прочности, можно рассматривать и другие варианты, но мы остановимся на этом.

Теперь нужно проверить максимально допустимую гибкость для растянутого пояса из плоскости фермы. Согласно СНиП II-23-81* "Стальные конструкции" эта гибкость для растянутых элементов ферм не должна превышать 400. Соответственно трубы при изготовлении нужно располагать так, чтобы 50 - это была ширина трубы, а не высота, тогда при радиусе i = 1.81 см гибкость нижнего пояса составит:

λ = 1·630/1.81 = 348

Это требование нами соблюдено, можно переходить к расчету раскосов и стоек. Наиболее нагруженным раскосом будет сжатый стержень б-в. Его расчетная длина составит:

l = 0.525/cos37.3° = 0,525/0.7954 = 0.66 м или 66 см

Для соседнего растянутого раскоса, при заданном расчетном сопротивлении для обеспечения прочности потребуется труба сечением не менее

F = N/R = 3300.4/2300 = 1.43 см2

Для сжатого раскоса с учетом возможного продольного изгиба сечение должно быть больше, насколько именно - неизвестно, но мы теперь ученые и потому сразу примем трубу с хорошим запасом по площади сечения.

Для начала проверим квадратную трубу 25х25х2.5 мм, имеющую сечение 2.14 см2, радиус инерции i = (1.77/2.14)1/2 = 0.91 см. Тогда:

λ = 1·66/0.91 = 72.6

φ = 0.74

3300.4/(0.74·2.14) = 2084 кгс/см2 < R = 2300 кгс/см2;

Данная труба удовлетворяет требованиям и даже с некоторым запасом. Осталось выяснить какова будет примерно общая масса фермы:

m = 1.41(0.66·12 + 0.4·2) + 4.31·6.3·2 = 66.6 кг

Это в 2 раза больше, чем мы предположили вначале, но в целом общее увеличение нагрузки с учетом собственного веса фермы будет очень незначительным, около 0.6%.

Тем не менее поиск оптимального варианта можно продолжать, в данной статье остановимся на том, что есть.

Все необходимые условия по прочности и устойчивости нами соблюдены, но при этом никто не запрещает использовать для изготовления ферм профили большего сечения.

Осталось рассчитать длины и катеты сварных швов, но это уже отдельная тема.

На главную домой

Категории:
Оценка пользователей: Нет
Переходов на сайт:1
Комментарии:

Комментариев нет

Добавить свой комментарий:

Имя:

E-Mail адрес:

Комментарий:

Ваша оценка:

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье "Записаться на прием к доктору" (ссылка в шапке сайта).




советы по строительству и ремонту



После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью и адресом электронной почты. Если вы хотите задать вопрос, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Спасибо. Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий к соответствующей статье.

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

Или на карту 5106 2110 0462 8702 Получатель SERGEI GUTOV

Для Украины - номер гривневой карты (Приватбанк) 5168 7423 0569 0962 Получатель Гутов Сергей Михайлович

На всякий случай кошелек webmoney: R158114101090

Или: Z166164591614


Доктор Лом. Первая помощь при ремонте, Copyright © 2010-2017