На главную домой советы по ремонту квартиры
Список кабинетов             Что это за доктор?             Записаться на прием

Касательная к окружности, почему прямой угол?

Окружность - это множество точек, расположенных на одинаковом расстоянии от центра окружности. Центр окружности как правило обозначается литерой "О". Расстояние от центра "О" до любой из точек окружности называется радиусом. Радиус обозначается литерой "R" или "r".

Касательная - это прямая линия, которая касается окружности только в одной точке. Потому и касательная. Другими словами, окружность и касательная имеют только одну общую точку, назовем ее точкой касания.

Если прямая линия имеет две общих точки с окружностью, то такая линия пересекает окружность, а значит, касательной не является. Угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания, равен 90°.

- А почему 90°? Не понимаю. - Сказала дочь и погрустнела. - Я вообще ничего в этой геометрии не понимаю.

Упс!!! Теперь пришла моя очередь выпасть в осадок.

- Ну как же! - бодро начал я, - Это же элементарно!..

Когда я проходил эту тему в школе лет 40 назад, у меня вообще в этом месте вопросов не возникало. Все вроде по умолчанию понятно, на инстинктивном уровне.  А тут, вишь ты, почему угол между касательной и радиусом именно прямой? Не 30, не 60, не 89,9, а именно 90°? Попробуй тут объясни.

- Вам что, на уроке не объясняли?

- Мы эту тему в прошлом году проходили. Я еще тогда ничего не поняла.

- Чего ж тогда не сказала?! Ладно, щас объясню.

Дочка у меня звезд с неба не хватает, но учится в целом неплохо. На геометрию давно жалуется, но за помощью не подходит. Ей проще за 5 минут найти и списать ГДЗ, чем полчаса, а то и час слушать мои объяснения вперемешку с язвительными замечаниями по поводу знаний.

В этот вечер, а точнее ночь, началось все с того, что в начале одиннадцатого жена погнала детей спать, на что дочка ответила, что у нее еще геометрия не сделана. Дальше состоялся эмоциональный диалог, который меня и разбудил. Я вышел из спальни помочь ребенку решить задачу.

Задача такая: Наибольшая диагональ ромба равна 24 см, наименьший угол между сторонами - 60°. Определить радиус окружности, вписанной в ромб.

- Мда... Так сразу не решу. - Я зевнул, прощаясь с остатками сна. - Давай эти словесные формулировки трансформируем в зрительные образы, так оно понятнее будет.

Я потянулся за тетрадью, но был остановлен.

- Это у меня чистовик!

- Оба-на! А черновик где?

- У меня нет черновика, я сразу в чистовик делаю.

Блллллин!.. Получается ребенок настолько ничего не понимает в геометрии, что даже черновик себе не завел. Тупо копирует ГДЗ в чистовик, даже не пытаясь разобраться. Плохи дела!

- Ну, - говорю, - то, что ты циркуль не любишь, потому что он колется, это я еще могу понять, планшетное поколение все-таки. Но вот как можно разобраться в задачах по геометрии без черновика? Ведь восьмой класс уже.

В общем, нашли листок в клетку. Я нарисовал ромб, диагонали, окружность, вписанную в ромб, радиусы окружности, проведенные в точки касания. Все это без циркуля, транспортира (тоже давно в руках у дочери не видел) и линейки. Только простой карандаш. Получилось примерно так:

окружность, вписанная в ромб

Рисунок 652,1.

- Во! Совсем другое дело! Ну, смотри. Так как АС = 24 см, то ОА = АС/2 = 24/2 = 12 см. При этом угол ОАВ= углу DАВ/2 = 60/2 = 30. Пока понятно?

- Не совсем.

- Хорошо, попробуем поподробнее. Одна из особенностей ромбов в том, что между диагоналями ромба всегда образуются прямые углы, Т.е. угол АОВ - прямой. - Я добавил соответствующий значок на рисунок.

- Все потому, что любой ромб с одной диагональю можно рассматривать как два одинаковых равнобедренных треугольника с одной общей стороной. Например АDВ и DВС. Их общая сторона DВ - это и есть одна из диагоналей ромба. Далее, мы знаем, что у любого треугольника есть высота. Знаем, нет?

- Знаем.

- Уже хорошо. Высота - это прямая линия соединяющая вершину с основанием. Угол между высотой и основанием - 90°. У любого треугольника. Есть еще такое понятие, как биссектриса. Знаешь, что это?

- Да, такая крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам.

- Правильно. Так вот у равнобедренного треугольника высота и биссектриса совпадают. Таким образом АО – это высота треугольника АDВ и одновременно его биссектриса. Ну то есть так как треугольник АDВ равнобедренный, то у него равные по значению  2 стороны и два угла, а когда мы опускаем высоту из вершины, то получаем два прямоугольных треугольника АDО и АОВ. Два угла АDО и АОВ изначально были одинаковыми, прямые углы у треугольников тоже одинаковые. Соответственно и неизвестные углы тоже одинаковые и составляют половину от угла, из которого проведена высота. Если мы проведем биссектрису или высоту, что в данном случае одно и тоже, для угла DСВ, то высоты треугольников АDВ и DВС соединятся в одной точке, точке О и таким образом станут второй диагональю ромба. Вот поэтому угол между диагоналями ромба всегда прямой. Понятно?

- Пока да.

- А значит мы имеем прямоугольный треугольник АОВ, у которого одна сторона равна половине диагонали ОА = АС/2 = 24/2 = 12 см, а угол ОАВ= углу DАВ/2 = 60/2 = 30. Соответственно сторона ОВ чему равна?

Дело в том, что не смотря на восьмой класс, ученикам еще не рассказывали про синусы-косинусы (похоже берегут психику современных детей). Их просто заставили выучить следующую аксиому: У прямоугольного треугольника сторона, противоположная углу 30 равна 1/2 гипотенузы. Поэтому и в условии задачи угол DАВ = 60°.

- АО/2?

- Правильно, 6 см. – Тут я спросонья тупанул, перепутал катет с гипотенузой. – Осталось найти радиус… Так, значит, вот радиусы, вот стороны ромба, они касательные к окружности. Значит угол между радиусом ОМ и касательной АВ прямой. Так… Тут через подобие треугольников АМО и МОВ решать надо. Сейчас-сейчас… Ясно, что меньше 6 см, где то 5,1-5.2, но придется повозиться. А что там в твоем ГДЗ пишут?

- 6 см.

- Как 6 см?! Они гонят, ведь тут же!.. А нет, это я гоню, катет с гипотенузой перепутал. Не тот прямоугольный треугольник рассматривал. - Я добавил знак прямого угла в углу АМО. - Ну да, задача совсем простая, так как треугольник АОМ прямоугольный, то при угле ОАВ = 30° и длине гипотенузы АО = 12 см ОМ = АО/2 = 12/2 = 6 см. Стоило меня из-за такой мелочи будить?

- Па, а почему угол между радиусом и касательной - прямой?

Тут я понял, что начинать нужно действительно издалека и рассказал то, что изложено в начале статьи. Дочь слушала, но понимания в ее глазах я не видел.

- Хорошо, давай от противного. Предположим, что угол между радиусом и касательной не прямой. Что это означает? Это означает, что если мы проведем окружность через эту точку, а для этого как раз и нужен циркуль, то увидим, что линия пересекает окружность еще в одной точке. При этом угол ОАВ = углу АВС. А как мы уже говорили, если прямая имеет с окружностью две общих точки, то такая прямая не является касательной, а пересекает окружность, понятно?

- Пока не очень.

- Хорошо, копнем еще глубже. Вот смотри, есть некая прямая DN и есть несколько точек, например А, О, С. Как определить расстояние от DN до любой из этих точек?

- Провести прямую! - подсказала из спальни жена.

- Правильно. Но не просто прямую, а прямую, перпендикулярную DN и проходящую через рассматриваемую точку, например О. - Я нарисовал перпендикуляр и обозначения прямого угла. - Таким образом мы можем сказать, что линия ОN делит развернутый угол DMN (любую прямую мы можем рассматривать как развернутый угол) на два одинаковых угла и эти углы - прямые. Ну то есть линию DN мы можем соединить с точкой О любым количеством отрезков, но при этом все отрезки будут длиннее, чем отрезок ОМ. Вот смотри.

Я пририсовал отрезок NO.

- Таким образом мы получили прямоугольный треугольник MNO. Если мы представим, что ON - это радиус, то отрезок такой же длины будет у треугольника DMO. Тут мы как бы опять возвращаемся к особенностям равнобедренного треугольника, в данном случае треугольника DNO. То есть DM = DN, DO = ON, угол MDO = углу MNO, угол MOD = углу MON. И если мы теперь нарисуем окружность с радиусом ON, то увидим, что радиусы ON и DO - это не самые короткие расстояния до прямой DN. А самое короткое расстояние - это отрезок ОМ, который одновременно является высотой треугольника ODN и биссектрисой угла NOD. Так понятно?

- Вроде да. А почему любой треугольник, вписанный в окружность так, что его гипотенуза совпадает с диаметром окружности, является прямоугольным. Мы это недавно проходили, но я не поняла.

Было уже начало первого и я был не готов опять погружаться в глубины геометрии.

- Я тебе потом объясню. На синусах-косинусах, а сейчас уже время позднее, спи давай.

Тем не менее сам я заснуть не смог и начал крутить в полусонном уме эту задачку. Тут все не так наглядно, как с касательной, но тем не менее, должно же быть какое-то достаточно простое объяснение, понятное даже ученику восьмого класса?!

К 3 часам я нашел пару возможных объяснений.

1. Проведем радиус в точку В. Таким образом имеем 2 треугольника АВО и ВОС - оба равнобедренные, их бедра - радиусы окружности. Мы не знаем значения углов в этих треугольниках, но это не проблема! Например угол ВОА = х, то есть тупо нам неизвестен. Тогда угол ОВА = углу ОАВ = (180 -х)/2. По вышеизложенным причинам и потому, что сумма углов треугольника всегда равна 180°.

АОС - это у нас развернутый угол, равный 180°. Соответственно угол ВОС = 180 - х. Тогда угол ОВС = углу ОСВ = (180 - угол ВОС)/2 = (180 - 180 + х)/2 = х/2.

Так как угол АВС = угол ОВА + угол ОВС = (180 -х)/2 + х/2 = 180/2 = 90°. Вне зависимости от того, какое значение имеет неизвестная величина х.

Вроде бы красивое решение, но спать еще не хотелось (проклятый мозг перевозбудился). Поэтому второй возможный вариант выглядел так:

2. Вернемся к рисунку . Если мы продлим сторону ОN так, чтобы она стала диаметром, т.е. АN = D = 2R = 2ON, а точку А соединим с точкой D, то получим треугольник ADN.

У треугольника MNO и DNA есть общий угол MNO, ON = NA/2, MN = DN/2. Т.е. эти треугольники - подобные. Отсюда следует, что угол DAN = углу МОА, а угол ADN = углу OMN и является прямоугольным.

Но тут опять же, я рассуждал, то ли сидя, то ли лежа на вершине своего жизненного опыта. Я ж не знаю, какую тему дети уже проходили в школе, а какую - нет. Возможно и подобные треугольники будут для моей дочери великим откровением. Как знать?..

А какой вариант можете предложить вы? Мне-то по-любому еще придется искать решение под синусы-косинусы. В общем ни хрена я не выспался. Заснул только под утро, часов в 5 или в 6. Будь она неладна эта геометрия, не дает нормальным людям спать! А особенно касательная с окружности, да еще и под прямым углом.

P.S. Дочка на следующий день принесла из школы отличную оценку по геометрии, а из предложенных мной двух вариантов объяснения, почему любой треугольник вписанный в окружность так, что его гипотенуза совпадает с диаметром, является прямоугольным, выбрала второй. И вроде бы можно порадоваться, но меня смутил ответ на вопрос:

- Ну так что, теперь все понятно?

- Кое-что начинает проясняться.

Такие дела.

А еще у Вас есть уникальная возможность помочь автору материально. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью и адресом электронной почты. Если вы хотите задать вопрос, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Спасибо. Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье "Записаться на прием к доктору"

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

Для Украины - номер гривневой карты (Приватбанк) 5168 7422 0121 5641

Кошелек webmoney: R158114101090

Или: Z166164591614

На главную домой

Категории:
Оценка пользователей: Нет
Переходов на сайт:2
Комментарии:

Комментариев нет

Добавить свой комментарий:

Имя:

E-Mail адрес:

Комментарий:

Ваша оценка:

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье "Записаться на прием к доктору" (ссылка в шапке сайта).







советы по строительству и ремонту




Доктор Лом. Первая помощь при ремонте, Copyright © 2010-2019