Когда я проходил эту тему в школе лет 40 назад, у меня вообще в этом месте вопросов не возникало. Все вроде по умолчанию понятно, на инстинктивном уровне. А тут, вишь ты, почему угол между касательной и радиусом именно прямой? Не 30, не 60, не 89,9, а именно 90°? Попробуй тут объясни.
- Вам что, на уроке не объясняли?
- Мы эту тему в прошлом году проходили. Я еще тогда ничего не поняла.
- Чего ж тогда не сказала?! Ладно, щас объясню.
Дочка у меня звезд с неба не хватает, но учится в целом неплохо. На геометрию давно жалуется, но за помощью не подходит. Ей проще за 5 минут найти и списать ГДЗ, чем полчаса, а то и час слушать мои объяснения вперемешку с язвительными замечаниями по поводу знаний.
В этот вечер, а точнее ночь, началось все с того, что в начале одиннадцатого жена погнала детей спать, на что дочка ответила, что у нее еще геометрия не сделана. Дальше состоялся эмоциональный диалог, который меня и разбудил. Я вышел из спальни помочь ребенку решить задачу.
Задача такая: Наибольшая диагональ ромба равна 24 см, наименьший угол между сторонами - 60°. Определить радиус окружности, вписанной в ромб.
- Мда... Так сразу не решу. - Я зевнул, прощаясь с остатками сна. - Давай эти словесные формулировки трансформируем в зрительные образы, так оно понятнее будет.
Я потянулся за тетрадью, но был остановлен.
- Это у меня чистовик!
- Оба-на! А черновик где?
- У меня нет черновика, я сразу в чистовик делаю.
Блллллин!.. Получается ребенок настолько ничего не понимает в геометрии, что даже черновик себе не завел. Тупо копирует ГДЗ в чистовик, даже не пытаясь разобраться. Плохи дела!
- Ну, - говорю, - то, что ты циркуль не любишь, потому что он колется, это я еще могу понять, планшетное поколение все-таки. Но вот как можно разобраться в задачах по геометрии без черновика? Ведь восьмой класс уже.
В общем, нашли листок в клетку. Я нарисовал ромб, диагонали, окружность, вписанную в ромб, радиусы окружности, проведенные в точки касания. Все это без циркуля, транспортира (тоже давно в руках у дочери не видел) и линейки. Только простой карандаш. Получилось примерно так:
Рисунок 652,1.
- Во! Совсем другое дело! Ну, смотри. Так как АС = 24 см, то ОА = АС/2 = 24/2 = 12 см. При этом угол ОАВ= углу DАВ/2 = 60/2 = 30. Пока понятно?
- Не совсем.
- Хорошо, попробуем поподробнее. Одна из особенностей ромбов в том, что между диагоналями ромба всегда образуются прямые углы, Т.е. угол АОВ - прямой. - Я добавил соответствующий значок на рисунок.
- Все потому, что любой ромб с одной диагональю можно рассматривать как два одинаковых равнобедренных треугольника с одной общей стороной. Например АDВ и DВС. Их общая сторона DВ - это и есть одна из диагоналей ромба. Далее, мы знаем, что у любого треугольника есть высота. Знаем, нет?
- Знаем.
- Уже хорошо. Высота - это прямая линия соединяющая вершину с основанием. Угол между высотой и основанием - 90°. У любого треугольника. Есть еще такое понятие, как биссектриса. Знаешь, что это?
- Да, такая крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам.
- Правильно. Так вот у равнобедренного треугольника высота и биссектриса совпадают. Таким образом АО – это высота треугольника АDВ и одновременно его биссектриса. Ну то есть так как треугольник АDВ равнобедренный, то у него равные по значению 2 стороны и два угла, а когда мы опускаем высоту из вершины, то получаем два прямоугольных треугольника АDО и АОВ. Два угла АDО и АОВ изначально были одинаковыми, прямые углы у треугольников тоже одинаковые. Соответственно и неизвестные углы тоже одинаковые и составляют половину от угла, из которого проведена высота. Если мы проведем биссектрису или высоту, что в данном случае одно и тоже, для угла DСВ, то высоты треугольников АDВ и DВС соединятся в одной точке, точке О и таким образом станут второй диагональю ромба. Вот поэтому угол между диагоналями ромба всегда прямой. Понятно?
- Пока да.
- А значит мы имеем прямоугольный треугольник АОВ, у которого одна сторона равна половине диагонали ОА = АС/2 = 24/2 = 12 см, а угол ОАВ= углу DАВ/2 = 60/2 = 30. Соответственно сторона ОВ чему равна?
Дело в том, что не смотря на восьмой класс, ученикам еще не рассказывали про синусы-косинусы (похоже берегут психику современных детей). Их просто заставили выучить следующую аксиому: У прямоугольного треугольника сторона, противоположная углу 30 равна 1/2 гипотенузы. Поэтому и в условии задачи угол DАВ = 60°.
- АО/2?
- Правильно, 6 см. – Тут я спросонья тупанул, перепутал катет с гипотенузой. – Осталось найти радиус… Так, значит, вот радиусы, вот стороны ромба, они касательные к окружности. Значит угол между радиусом ОМ и касательной АВ прямой. Так… Тут через подобие треугольников АМО и МОВ решать надо. Сейчас-сейчас… Ясно, что меньше 6 см, где то 5,1-5.2, но придется повозиться. А что там в твоем ГДЗ пишут?
- 6 см.
- Как 6 см?! Они гонят, ведь тут же!.. А нет, это я гоню, катет с гипотенузой перепутал. Не тот прямоугольный треугольник рассматривал. - Я добавил знак прямого угла в углу АМО. - Ну да, задача совсем простая, так как треугольник АОМ прямоугольный, то при угле ОАВ = 30° и длине гипотенузы АО = 12 см ОМ = АО/2 = 12/2 = 6 см. Стоило меня из-за такой мелочи будить?
- Па, а почему угол между радиусом и касательной - прямой?
Тут я понял, что начинать нужно действительно издалека и рассказал то, что изложено в начале статьи. Дочь слушала, но понимания в ее глазах я не видел.
- Хорошо, давай от противного. Предположим, что угол между радиусом и касательной не прямой. Что это означает? Это означает, что если мы проведем окружность через эту точку, а для этого как раз и нужен циркуль, то увидим, что линия пересекает окружность еще в одной точке. При этом угол ОАВ = углу АВС. А как мы уже говорили, если прямая имеет с окружностью две общих точки, то такая прямая не является касательной, а пересекает окружность, понятно?
- Пока не очень.
- Хорошо, копнем еще глубже. Вот смотри, есть некая прямая DN и есть несколько точек, например А, О, С. Как определить расстояние от DN до любой из этих точек?
- Провести прямую! - подсказала из спальни жена.
- Правильно. Но не просто прямую, а прямую, перпендикулярную DN и проходящую через рассматриваемую точку, например О. - Я нарисовал перпендикуляр и обозначения прямого угла. - Таким образом мы можем сказать, что линия ОN делит развернутый угол DMN (любую прямую мы можем рассматривать как развернутый угол) на два одинаковых угла и эти углы - прямые. Ну то есть линию DN мы можем соединить с точкой О любым количеством отрезков, но при этом все отрезки будут длиннее, чем отрезок ОМ. Вот смотри.
Я пририсовал отрезок NO.
- Таким образом мы получили прямоугольный треугольник MNO. Если мы представим, что ON - это радиус, то отрезок такой же длины будет у треугольника DMO. Тут мы как бы опять возвращаемся к особенностям равнобедренного треугольника, в данном случае треугольника DNO. То есть DM = DN, DO = ON, угол MDO = углу MNO, угол MOD = углу MON. И если мы теперь нарисуем окружность с радиусом ON, то увидим, что радиусы ON и DO - это не самые короткие расстояния до прямой DN. А самое короткое расстояние - это отрезок ОМ, который одновременно является высотой треугольника ODN и биссектрисой угла NOD. Так понятно?
- Вроде да. А почему любой треугольник, вписанный в окружность так, что его гипотенуза совпадает с диаметром окружности, является прямоугольным. Мы это недавно проходили, но я не поняла.
Было уже начало первого и я был не готов опять погружаться в глубины геометрии.
- Я тебе потом объясню. На синусах-косинусах, а сейчас уже время позднее, спи давай.
Тем не менее сам я заснуть не смог и начал крутить в полусонном уме эту задачку. Тут все не так наглядно, как с касательной, но тем не менее, должно же быть какое-то достаточно простое объяснение, понятное даже ученику восьмого класса?!
К 3 часам я нашел пару возможных объяснений.
1. Проведем радиус в точку В. Таким образом имеем 2 треугольника АВО и ВОС - оба равнобедренные, их бедра - радиусы окружности. Мы не знаем значения углов в этих треугольниках, но это не проблема! Например угол ВОА = х, то есть тупо нам неизвестен. Тогда угол ОВА = углу ОАВ = (180 -х)/2. По вышеизложенным причинам и потому, что сумма углов треугольника всегда равна 180°.
АОС - это у нас развернутый угол, равный 180°. Соответственно угол ВОС = 180 - х. Тогда угол ОВС = углу ОСВ = (180 - угол ВОС)/2 = (180 - 180 + х)/2 = х/2.
Так как угол АВС = угол ОВА + угол ОВС = (180 -х)/2 + х/2 = 180/2 = 90°. Вне зависимости от того, какое значение имеет неизвестная величина х.
Вроде бы красивое решение, но спать еще не хотелось (проклятый мозг перевозбудился). Поэтому второй возможный вариант выглядел так:
2. Вернемся к рисунку . Если мы продлим сторону ОN так, чтобы она стала диаметром, т.е. АN = D = 2R = 2ON, а точку А соединим с точкой D, то получим треугольник ADN.
У треугольника MNO и DNA есть общий угол MNO, ON = NA/2, MN = DN/2. Т.е. эти треугольники - подобные. Отсюда следует, что угол DAN = углу МОА, а угол ADN = углу OMN и является прямоугольным.
Но тут опять же, я рассуждал, то ли сидя, то ли лежа на вершине своего жизненного опыта. Я ж не знаю, какую тему дети уже проходили в школе, а какую - нет. Возможно и подобные треугольники будут для моей дочери великим откровением. Как знать?..
А какой вариант можете предложить вы? Мне-то по-любому еще придется искать решение под синусы-косинусы. В общем ни хрена я не выспался. Заснул только под утро, часов в 5 или в 6. Будь она неладна эта геометрия, не дает нормальным людям спать! А особенно касательная с окружности, да еще и под прямым углом.
P.S. Дочка на следующий день принесла из школы отличную оценку по геометрии, а из предложенных мной двух вариантов объяснения, почему любой треугольник вписанный в окружность так, что его гипотенуза совпадает с диаметром, является прямоугольным, выбрала второй. И вроде бы можно порадоваться, но меня смутил ответ на вопрос:
- Ну так что, теперь все понятно?
- Кое-что начинает проясняться.
Такие дела. | 
