Дано:
1. Однопролетная балка постоянного по длине сечения на двух шарнирных опорах А и В, без консолей, длиной l = 4.6 м. Балка расположена горизонтально.
2. Сосредоточенная нагрузка Q = 3.2 кН приложена перпендикулярно к нейтральной оси балки на расстоянии а = 1.8 м от опоры А (на расстоянии b = 2.8 м от опоры В).
Вот собственно и все, что следует знать на первом этапе расчета - определении максимальных напряжений в поперечном сечении балки. И да, длина балки может измеряться кроме метров в сантиметрах, миллиметрах, дюймах, футах и т.д. Нагрузка может также обозначаться заглавными литерами Р, F, измеряться в килограммах, грамах, тоннах пудах, фунтах и т.д. - принципиального значения это не имеет и на методику расчета никак не влияет.
Если теоретические основы расчета вас не интересуют, а вы просто хотите рассчитать свою балку, то можете воспользоваться калкулятором для данной расчетной схемы (впрочем этот калькулятор только для деревянных балок, со временем будет и для стальных).
Далее возможны 2 варианта расчета:
1. Упрощенный, по готовым формулам, которые приводятся буквально в каждом справочнике по сопромату. Для человека, занимающегося частным строительством и желающего просчитать ту или иную балку, такой расчет, самое то.
2. Классический, основанный на уравнениях равновесия системы и методе начальных параметров. Такой расчет чаще всего требуется от студентов. Но и людям, желающим узнать, откуда взялись те или иные формулы, пример такого расчета также будет полезен.
Рассмотрим эти варианты более подробно.
1. Упрощенный расчет (по готовым формулам)
Расчет производится по формулам расчетной схемы 1.2 для шарнирной балки.
1.1 Определение опорных реакций:
А = bQ/l = 2.8·3.2/4.6 = 1.9478 кН (658.1.1)
В = aQ/l = 1.8·3.2/4.6 = 1.2522 кН (658.1.2)
Соответственно максимальная поперечная сила, действующая в поперечных сечениях балки будет "Q" = 1.9478 кН
1.2. Определение максимального изгибающего момента:
Максимальный изгибающий момент будет действовать в поперечном сечении в точке приложения сосредоточенной нагрузки и он составит:
М = Аа = 1.9478·1.8 = 3.5061 кНм (658.2.1)
Проверяем:
М = Вb = 1.2522·2.8 = 3.5062 кНм (658.2.2)
Примечание: разница значений в четвертом знаке после запятой возникла из-за округления значений опорных реакций, так что все нормально.
1.3. Подбор сечения балки:
3.1 Для деревянной балки с расчетным сопротивлением R = 13 МПа (13000 кПа) требуемый момент сопротивления составит:
Wтр = M/R = 3.5061/13000 = 0.0002697 м3 (269.7 см3) (658.3.1)
Как правило поперечные сечения деревянных балок имеют прямоугольную форму. Момент сопротивления прямоугольного сечения определяется по следующей формуле:
W = bh2/6 (658.3.2)
Дальше возможны различные варианты, например при высоте сечения балки h = 15 см требуемая ширина сечения составит не менее:
b = 6W/h2 = 6·269.7/152 = 7.2 см (658.3.3)
при высоте сечения балки h = 20 см:
b = 6W/h2 = 6·269.7/202 = 4.05 см (658.3.4)
И так далее. Если изначально задается ширина, например b = 5 см, то для определения требуемой высоты сечения используется следующая формула:
h = √6W/b = √6·269.7/5 = 18 см (658.3.5)
Впрочем все это не более, чем теория, на практике применяются деревянные брусья сечением 20х5 см или 15х10 см и дальнейшую проверку следует вести для одного из этих сечений. Далее будет рассматриваться сечение 20х5 см, как наиболее экономное по расходу материала. Момент сопротивления такого сечения составит:
W = 5·202/6 = 333.3 см3 (658.3.6)
Если поперечное сечение деревянной балки имеет форму, отличную от прямоугольной или квадратной, то для определения момента сопротивления можно воспользоваться одной из следующих формул, а при особо сложной форме сечения сначала определить момент инерции, а потом уже момент сопротивления.
3.2 Для стальной балки с расчетным сопротивлением R = 210 Мпа (210000) кПа) требуемый момент сопротивления составляет:
Wтр = M/R = 3.5061/210000 = 1.67·10-5 м3 (16.7 см3) (658.3.7)
Далее требуемое сечение подбирается по одному из сортаментов.
Ну а подбор сечения ж/б балки - это отдельная большая тема.
1.4. Проверка по касательным напряжениям (для сечения 5х20 см или 0.05х0.2 м):
Расчетное сопротивление скалыванию вдоль волокон (для древесины второго сорта) Rск = 1.6 МПа.
Для прямоугольного сечения максимальные касательные напряжения определяются по следующей формуле:
т = 1.5"Q"/bh = 1.5·1.9478/(0.05·0.2) = 291.6 кПа (0.2916 МПа) < 1.6 МПа (658.4.1)
Требование по касательным напряжениям соблюдено.
Для сечений другой формы значение касательных напряжений определяется по формуле Журавского.
Стандартные стальные профили в дополнительной проверке по касательным напряжениям как правило не нуждаются.
1.5. Определение прогиба:
Для деревянной балки сечением 20х5 см момент инерции составит:
I = Wh/2 = 333.33·20/2 = 3333.3 см4 (0.00003333 м4) (658.5.1)
Модуль упругости древесины составляет Е = 1·104 МПа (107 кПа)
Так как сосредоточенная нагрузка к балке приложена не посредине пролета, то готовой формулы для определения прогиба в этом случае нет. Поэтому оценим прогиб приблизительно. Сначала определим прогиб в точке приложения сосредоточенной нагрузки:
f = Qb2a2/(3lEI) = 0.0177 м (1.77 см) (658.5.2)
Если бы сосредоточенная нагрузка была приложена посредине балки, то максимальный прогиб составил бы:
f = Ql3/(48EI) = 0.0194 м (1.94 см) (658.5.3)
Как видим, разница относительно небольшая и более точного определения прогиба на мой взгляд при упрощенном расчете не требуется. Ну а дальше все зависит от конструктивных требований по прогибу. В данном случае прогиб составляет 1/237 от длины пролета балки.
Вот собственно и весь упрощенный расчет. "Какой же он упрощенный, ежели тут одного только тексту на цельный лист?" - возразит придирчивый читатель. Все верно. Вот только когда считает специалист старой закваски, то он рисует на бумаге от силы 7-8 формул и занимает это 5-10 минут. Ну а если, как я уже говорил, сосредоточенная нагрузка, например 300 кг приложена посредине пролета длиной 6 метров, то максимальный момент составит М = 400 кгм, а требуемый момент сопротивления примерно W = 300 см2 и чтобы это определить, действительно достаточно нескольких секунд.
2. Классический расчет
Ну а теперь перейдем к классическому расчету. Но сразу скажу, от упрощенного он отличается только первыми двумя пунктами - определением опорных реакции и максимальных напряжений, принципы подбора сечения такие же, как и изложенные выше. Ну и добавится определение начального и конечного углов поворота, эпюры поперечных сил, изгибающих моментов, углов поворота и прогиба, куда ж без этого в классическом-то расчете.
2.1. Определение опорных реакций
Для определения опорной реакции А воспользуемся третьим уравнением статического равновесия системы (уравнением моментов относительно точки В):
ΣМВ = Al - Qb = 0 (658.6.1)
тогда
Аl = Qb; (658.6.2)
A = Qb/l = 2.8·3.2/4.6 = 1.9478 кН (658.1.1)
Для определения опорной реакции В также воспользуемся третьим уравнением статического равновесия системы (уравнением моментов относительно точки А):
ΣМА = Вl - Qа = 0 (658.6.3)
тогда
Вl = Qа; (658.6.4)
В = aQ/l = 1.8·3.2/4.6 = 1.2522 кН (658.1.2)
Для проверки воспользуемся вторым уравнением статического равновесия системы:
∑у = Q - А - В = 0 (658.6.5)
3.2 - 1.9478 - 1.2522 = 0 (658.6.6)
Условие выполняется.
В точке А поперечные силы условно равны нулю.
Уравнение поперечных сил на участке от точки А до точки приложения сосредоточенной нагрузки будет иметь следующий вид:
"Q" = А = 1.9478 кН (658.6.7)
на участке от точки приложения нагрузки до точки В:
"Q" = А - Q = 1.9478 - 3.2 = - 1.2522 кН (658.6.8)
в точке В:
"Q" = А - Q + В = 1.9478 - 3.2 + 1.2522 = 0 (658.6.9)
Этих данных достаточно для построения эпюр поперечных сил.
2.2. Определение изгибающих моментов:
Для определения изгибающих моментов, действующих в поперечных сечениях балки, используется метод сечений, согласно которому на участке от опоры А до точки приложения сосредоточенной нагрузки уравнение моментов будет иметь следующий вид:
М = Ах (658.7.1)
где х - расстояние от опоры А до рассматриваемого сечения балки, соответственно в точке А (в начале балки и в начале оси координат х):
М = А·0 = 0 (658.7.2)
в точке приложения сосредоточенной нагрузки:
М = Аа = 3.5061 кНм (658.2.1)
После точки приложения сосредоточенной нагрузки уравнение моментов для рассматриваемых поперечных сечений принимает вид:
М = Ах - Q(x - a) (658.7.3)
соответственно в точке приложения сосредоточенной нагрузки:
М = Аа - Q(a - a) = Aa (658.7.4)
в точке В (в конце балки):
М = Al - Qb = Qbl/l - Qb = Qb - Qb = 0 (658.7.5)
Примечание: так как значение изгибающего момента изменяется линейно, то в определении дополнительных значений момента для промежуточных точек по оси х нет необходимости.
2.3 Определение углов поворота и прогибов поперечного сечения.
Уравнение углов поворота - результат интегрирования уравнения моментов. А как известно, при интегрировании появляется постоянная интегрирования, в данном случае начальный угол поворота ΘА, который в данном случае не равен нулю. Кроме того на значение углов поворота и прогибов влияет жесткость рассматриваемой балки, выражаемая через ЕI, т.е. чем больше жесткость балки (модуль упругости и момент инерции) тем меньше в итоге углы поворота и прогибы.
Уравнение углов поворота для нашей балки на участке от начала координат (точки А), до точки приложения сосредоточенной нагрузки будет выглядеть так:
θx = ∫Mdx/EI = ∫Axdx/EI = - ΘА + Ax2/2EI (658.8.1)
а на участке от точки приложения сосредоточенной нагрузки до точки В так:
θx = - ΘА + Ax2/2EI - Q(x - a)2/2EI (658.8.2)
Уравнение прогибов - результат интегрирования уравнения углов поворота на рассматриваемом участке:
fх = ∫ΘАdx = - θAx + Ax3/6EI (658.8.3)
Как видим, в данном случае постоянная интегрирования - начальный прогиб - равна нулю и это логично - на опорах прогиба быть не может (во всяком случае в теории). Это позволяет составить дополнительное уравнение прогиба для одной из опор, например для точки В уравнение прогиба будет иметь вид:
fВ = - θAl + Al3/6EI - Qb3/6EI = 0 (658.8.4)
тогда
θAl = Al3/6EI - Qb3/6EI (658.8.5)
θA = Qbl3/l26EI - Qb3/l6EI (658.8.6)
θA = Qb(l2 - b2)/l6EI (658.8.7)
или (более распространенная формула):
θA = Ql2(b/l - b3/l3)/6EI = 4.3242/EI (658.8.8)
Проведя аналогичный расчет с помощью уравнения прогибов на опоре А, получим значение конечного угла поворота:
θВ = Ql2(а/l - а3/l3)/6EI = 3.7398/EI (658.8.9)
Проверяем правильность вычислений:
θB = - ΘА + Ax2/2EI - Q(x - a)2/2EI = (- 4.3242 + 20.6077 - 12.544)/EI = 3.7395/EI (658.8.10)
Для построения эпюры углов поворота необходимо определить еще как минимум одну точку - место, где угол поворота поперечного сечения, относительно нейтральной оси балки будет равен нулю, а прогиб будет максимальным. Так как эта точка будет справа от точки приложения нагрузки, то для упрощения расчетов рассмотрим балку с конца, а не с начала:
θx = - ΘВ + Вx2/2EI = 0 (658.8.11)
тогда
ΘВ = Вx2/2EI (658.8.12)
3.7398 = 1.2522х2/2 (658.8.13)
х = 2.444 м (658.8.14)
или на расстоянии 4.6 - 2.444 = 2.156 от начала балки
Как видим, эта точка расположена относительно недалеко от середины пролета балки, так что при упрощенном расчете мы не сильно ошиблись. Прогиб в этой точке составит:
f2.444 = - θВ2.444 + В·2.4443/6EI = - 6.0934/ЕI (658.8.15)
Таким образом для рассматриваемой деревянной балки максимальный прогиб составит:
fmax = - 6.0934/(107·0.00003333) = 0.0183 м или 1.83 см (658.8.16)
Чтобы эпюры углов поворота и прогибов были универсальными и подходили и для деревянных и для стальных и для железобетонных и для каких угодно других балок, на эпюрах показываются не абсолютные значения, а относительные. Т.е. обе части уравнения умножаются на ЕI.
2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов:
На основании полученных ранее данных строим эпюры:
Рисунок 658.1. Расчетная схема (а), замена опор на реактивные силы (б), эпюра поперечных сил (в), эпюра изгибающих моментов (г), эпюра углов поворота (д), эпюра прогибов (е).
На эпюре поперечных сил в начале координат (в точке А) откладываем вверх значение опорной реакции А, согласно направлению действия реактивной силы. Так как значение поперечных сил согласно уравнению не зависит от значения переменной х, то ведем прямую линию, параллельную оси координат, до точки приложения сосредоточенной нагрузки. В точке приложения сосредоточенной нагрузки откладываем значение нагрузки вниз, в результате чего получаем новое значение эпюры поперечных сил, равное значению опорной реакции В. Соединяем эту точку с точкой приложения опорной реакции В. В этой точке откладывается значение опорной реакции В, в итоге в конечном сечении балки поперечные силы условно равны нулю, как и в начале.
Так как у нас балка на шарнирных опорах, на которую действует только сосредоточенная нагрузка, то значения моментов на опорах равны нулю, как мы и определили ранее. На эпюре моментов в точке приложения сосредоточенной нагрузки откладываем вниз значение максимального момента. Соединяем эти точки прямыми линиями, как показано на рисунке.
Примечание: откладывать значение момента можно и вверх, как это принято у конструкторов машин и механизмов, принципиального значения это не имеет. Просто у строителей принято строить эпюры моментов на растянутой стороне сечения.
На эпюре углов поворота в точке А откладываем значение начального угла поворота, в точке В - значение конечного угла поворота. Соединяем эти точки квадратной параболой так, чтобы она проходила через точку, расположенную на расстоянии 2.156 м от начала координат.
На эпюре углов поворота откладываем значение максимального прогиба на расстоянии 2.156 м от начала координат. Проводим кубическую параболу через точку А, точку максимального прогиба и точку В. Если с этим возникают проблемы, то можно вычислить значения и прогибов и углов поворота для любых других поперечных сечений балки.
Вот собственно и весь расчет. | 
