Дано:
1. Однопролетная балка постоянного по длине сечения на двух шарнирных опорах А и В, без консолей, длиной l = 4.6 м. Балка расположена горизонтально.
2. Равномерно распределенная нагрузка q = 3.2 кН приложена перпендикулярно к нейтральной оси балки по всей длине балки.
Вот собственно и все, что следует знать на первом этапе расчета - определении максимальных напряжений в поперечном сечении балки. И да, длина балки может измеряться кроме метров в сантиметрах, миллиметрах, дюймах, футах и т.д. Нагрузка может также обозначаться другими литерами, измеряться в килограммах, грамах, тоннах пудах, фунтах и т.д. - принципиального значения это не имеет и на методику расчета никак не влияет.
Если теоретические основы расчета вас не интересуют, а вы просто хотите рассчитать свою балку, то можете воспользоваться калькулятором для данной расчетной схемы (в части определения требуемых параметров сечения этот калькулятор только для деревянных балок, со временем будет и для стальных, а может и для железобетонных).
Далее возможны 2 варианта расчета:
1. Упрощенный, по готовым формулам, которые приводятся буквально в каждом справочнике по сопромату. Для человека, занимающегося частным строительством и желающего просчитать ту или иную балку, такой расчет, самое то.
2. Классический, основанный на уравнениях равновесия системы и методе начальных параметров. Такой расчет чаще всего требуется от студентов. Но и людям, желающим узнать, откуда взялись те или иные формулы, пример такого расчета также будет полезен.
Рассмотрим эти варианты более подробно.
1. Упрощенный расчет (по готовым формулам)
Расчет производится по формулам расчетной схемы 2.1 для шарнирной балки.
1.1 Определение опорных реакций:
А = B = ql/2 = 3.2·4.6/2 = 7.36 кН (671.1)
Соответственно максимальная поперечная сила, действующая в поперечных сечениях балки будет "Q" = 7.36 кН. Действовать эта поперечная сила будет на опорах балки
1.2. Определение максимального изгибающего момента:
Максимальный изгибающий момент будет действовать посредине пролета балки и он составит:
М = ql2/8 = 3.2·4.62/8 = 8,464 кНм (671.2)
1.3. Подбор сечения балки:
3.1 Для деревянной балки с расчетным сопротивлением R = 13 МПа (13000 кПа) требуемый момент сопротивления составит:
Wтр = M/R = 8.464/13000 = 0.000651077 м3 (651.077 см3) (671.3.1)
Как правило поперечные сечения деревянных балок имеют прямоугольную форму. Момент сопротивления прямоугольного сечения определяется по следующей формуле:
W = bh2/6 (671.3.2)
Дальше возможны различные варианты, например при высоте сечения балки h = 20 см требуемая ширина сечения составит не менее:
b = 6W/h2 = 6·651.77/202 = 9.77 см (671.3.3)
По сортаменту таким требованиям удовлетворяет балка с сечением 20х10 см.
Если поперечное сечение деревянной балки имеет форму, отличную от прямоугольной или квадратной, то для определения момента сопротивления можно воспользоваться одной из следующих формул, а при особо сложной форме сечения сначала определить момент инерции, а потом уже момент сопротивления.
3.2 Для стальной балки с расчетным сопротивлением R = 245 Мпа (245000) кПа) требуемый момент сопротивления составляет:
Wтр = M/R = 8.464/245000 = 3.45·10-5 м3 (34.5 см3) (658.3.7)
Далее требуемое сечение подбирается по одному из сортаментов.
Ну а подбор сечения ж/б балки - это отдельная большая тема.
1.4. Проверка по касательным напряжениям (для деревянной балки):
Расчетное сопротивление скалыванию вдоль волокон (для древесины второго сорта) Rск = 1.6 МПа.
Для прямоугольного сечения максимальные касательные напряжения определяются по следующей формуле:
т = 1.5"Q"/bh = 1.5·7.36/(0.1·0.2) = 552 кПа (0.552 МПа) < 1.6 МПа (671.4)
Требование по касательным напряжениям соблюдено.
Для сечений другой формы значение касательных напряжений определяется по формуле Журавского.
Стандартные стальные профили в дополнительной проверке по касательным напряжениям как правило не нуждаются.
1.5. Определение прогиба:
Для деревянной балки сечением 20х10 см момент инерции составит:
I = Wh/2 = 666.66·20/2 = 6666.6 см4 (0.00006666 м4) (671.5.1)
Модуль упругости древесины составляет Е = 1·104 МПа (107 кПа)
f = 5Ql4/(384EI) = 0.02798 м (2.798 см) (671.5.2)
В данном случае прогиб составляет 1/164 от длины пролета балки.
Вот собственно и весь упрощенный расчет.
2. Классический расчет
Ну а теперь перейдем к классическому расчету. Но сразу скажу, от упрощенного он отличается только первыми двумя пунктами - определением опорных реакций и максимальных напряжений, принципы подбора сечения такие же, как и изложенные выше. Ну и добавится определение начального и конечного углов поворота, эпюры поперечных сил, изгибающих моментов, углов поворота и прогиба, куда ж без этого в классическом-то расчете.
2.1. Определение опорных реакций
Для определения опорной реакции А воспользуемся третьим уравнением статического равновесия системы (уравнением моментов относительно точки В):
ΣМВ = Al - ql2/2 = 0 (671.6.1)
тогда
Аl = ql2/2; (671.6.2)
A = ql2/2l = 4.6·3.2/2 = 7.36 кН (671.1)
Для определения опорной реакции В также воспользуемся третьим уравнением статического равновесия системы (уравнением моментов относительно точки А):
ΣМА = Вl - ql2/2 = 0 (671.6.3)
тогда
Вl = ql2/2; (671.6.4)
В = ql2/2= 4.6·3.2/2 = 7.36 кН (671.1.2)
Для проверки воспользуемся вторым уравнением статического равновесия системы:
∑у = ql - А - В = 0 (671.6.5)
4.6·3.2 - 7.36 - 7.36 = 0 (671.6.6)
Условие выполняется.
В точке А поперечные силы условно равны нулю.
Уравнение поперечных сил будет иметь следующий вид:
"Q" = А - qx (671.6.7)
где х - расстояние от начала координат (точки А) до рассматриваемого сечения балки.
Соответственно на расстоянии 0 м от точки А поперечные силы будут равны:
"Q"А = 7.36 - 3.2·0 = 7.36 кН (671.6.8)
в точке В:
"Q" = А - ql + В = 7.36 - 3.2·4.6 + 7.36 = 0 (671.6.9)
Этих данных достаточно для построения эпюр поперечных сил.
2.2. Определение изгибающих моментов:
Для определения изгибающих моментов, действующих в поперечных сечениях балки, используется метод сечений, согласно которому уравнение моментов будет иметь следующий вид:
М = Ах - qx2/2 (671.7.1)
тогда
МА = А·0 - q02/2 = 0 (671.7.2)
в середине пролета:
М = Аl/2 -q(l/2)2/2 = 8.464 кНм (671.2.1)
в точке В (в конце балки):
М = Al - ql2/2 = ql·l/2 - ql2/2 = 0 (671.7.3)
Примечание: эпюра изгибающих моментов - квадратная парабола. Если есть необходимость определить значение изгибающего момента для любого другого поперечного сечения, то для этого нужно воспользоваться формулой (671.7.1). Но как правило в таких простых случаях загружения в этом нет необходимости. Опять же варианты использования балок переменного сечения, когда требуется знать различные значения моментов, здесь не рассматриваются.
2.3 Определение углов поворота и прогибов поперечного сечения.
Уравнение углов поворота - результат интегрирования уравнения моментов. А как известно, при интегрировании появляется постоянная интегрирования, в данном случае начальный угол поворота ΘА, который в данном случае не равен нулю. Кроме того на значение углов поворота и прогибов влияет жесткость рассматриваемой балки, выражаемая через ЕI, т.е. чем больше жесткость балки (модуль упругости и момент инерции) тем меньше в итоге углы поворота и прогибы.
Уравнение углов поворота для нашей балки будет выглядеть так:
θx = ∫Mdx/EI = - ΘА + Ax2/2EI - qx3/6EI (671.8.1)
Уравнение прогибов - это в свою очередь результат интегрирования уравнения углов поворота на рассматриваемом участке:
fх = ∫ΘАdx = - θAx + Ax3/6EI- qx4/24EI (671.8.2)
Как видим, в данном случае постоянная интегрирования - начальный прогиб - равна нулю и это логично - на опорах прогиба быть не может (во всяком случае в теории). Это позволяет составить дополнительное уравнение прогиба для одной из опор, например для точки В уравнение прогиба будет иметь вид:
fВ = - θAl + Al3/6EI - ql4/24EI = 0 (671.8.3)
тогда
θAl = Al3/6EI - ql4/24EI (671.8.4)
θA = ql3/(2·6EI) - ql4/(l·24EI) (671.8.5)
θA = ql3/24EI = 12.978/EI (671.8.6)
Так как у нас симметричны и балка и нагрузка, что мы уже заметили раньше, то конечный угол поворота поперечного сечения (на опоре В) будет равен начальному углу поворота.
Проверяем правильность вычислений:
θB = - ΘА + Al2/2EI - ql3/6EI = (-12.978 + 77.8688 - 51.9125)/EI = 12.977/EI (671.8.7)
Надеюсь разница в третьем знаке после запятой в значениях начального и конечного угла поворота не будет вас сильно пугать, хотя подобные вопросы иногда возникают. Сразу скажу, тут дело только в калькуляторе - чем более точный результат вы хотите получить, тем больше знаков после запятой следует него забивать.
Так как у нас симметричные и балка и нагрузка, то нет необходимости определять точку, где прогиб максимальный. Это сечение будет посредине балки. Впрочем есть формула (671.8.3) и с помощью ее можно определить прогиб в любом рассматриваемом сечении, но нас в данном случае интересует только максимальный прогиб:
fmax = - θВ2.3 + В·2.33/6EI - q2.34/24EI = - 18.6561/ЕI (671.8.8)
Ну или:
fmax = - θА2.3 + А·2.33/6EI - q2.34/24EI = - 18.6561/ЕI (671.8.9)
Чтобы эпюры углов поворота и прогибов были универсальными и подходили и для деревянных и для стальных и для железобетонных и для каких угодно других балок, на эпюрах показываются не абсолютные значения, а относительные. Т.е. обе части уравнения умножаются на ЕI.
2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов:
На основании полученных ранее данных строим эпюры:
Рисунок 671.1. Расчетная схема (а), замена опор на реактивные силы (б), эпюра поперечных сил (в), эпюра изгибающих моментов (г), эпюра углов поворота (д), эпюра прогибов (е).
На эпюре поперечных сил в начале координат (в точке А) откладываем вверх значение опорной реакции А, согласно направлению действия реактивной силы (опорной реакции. В точке В откладываем значение опорной реакции вниз. Соединяем полученные точки прямой.
Тут может возникнуть вопрос: а почему на опоре В мы откладываем значение вниз, когда значение опорной реакции у нас положительное? Отвечаю: дело в том, что мы не просто рисуем картинку, а вообще то строим график функции, описываемой уравнением (671.6.7) и согласно этому уравнению в сечении максимально близком к опоре В (х→l) значение этого уравнения будет:
"Q"х→l = Аl - ql = - 7.36 кН (671.9)
А в точке В, где приложена реактивная сила (опорная реакция В) на эпюре происходит скачок (как впрочем и в точке А) т.е. формально мы все-таки откладываем опорную реакцию вверх и таким образом все, как положено.
Так как у нас балка на шарнирных опорах, на которую действует только равномерно распределенная нагрузка, то значения моментов на опорах равны нулю, что мы и определили ранее. На эпюре моментов посредине пролета (на расстоянии 2.3 м от начала координат) откладываем вниз значение максимального момента. Соединяем эти точки кривой линией, как показано на рисунке. В общем-то как уже говорилось, эта кривая линия - квадратичная парабола и формально для ее построения можно определить сколь угодно много значений моментов для различных сечений. Но как правило необходимости в этом нет: никакой, даже очень придирчивый преподаватель не сможет отличить квадратичную параболу от кубической, особенно если вы большими способностями в рисовании не отличаетесь.
Примечание: откладывать значение момента можно и вверх, как это принято у конструкторов машин и механизмов, принципиального значения это не имеет. Просто у строителей принято строить эпюры моментов на растянутой стороне сечения.
На эпюре углов поворота в точке А откладываем значение начального угла поворота, в точке В - значение конечного угла поворота. Соединяем эти точки кубической параболой так, чтобы она проходила через середину пролета.
На эпюре углов поворота откладываем значение максимального прогиба на расстоянии 2.3 м от начала координат (середина пролета). Проводим параболу четвертой степени через точку А, точку максимального прогиба и точку В. Если с этим возникают проблемы, то можно вычислить значения и прогибов и углов поворота для любых других поперечных сечений балки.
Вот собственно и весь расчет. | 
