1. Допустить, что нагрузка к балке приложена симметрично, т.е. центр тяжести нагрузки приходится на середину пролета. Это частный случай приложения равномерно распределенной нагрузки не по всей длине балки, впрочем и равномерно распределенная нагрузка тоже далеко не общий случай из возможных видов распределенных нагрузок.
2. В этом случае максимальный прогиб (как и "нулевой" угол поворота будет посредине пролета. Определение опорных реакций, максимального изгибающего момента, требуемого момента сопротивления и прочих параметров займет несколько минут.
В итоге будут получены несколько завышенные значения указанных параметров. Т.е. будет некоторый дополнительный запас по прочности. Причем, чем ближе будет центр тяжести рассматриваемой нагрузки к середине пролета, тем менее завышенными будут указанные параметры.
Но мы легких путей не ищем и попробуем рассчитать балку на действие несимметричной равномерно распределенной нагрузки, а для наглядности будут приводиться формулы для расчета на действие симметричной нагрузки. Итак:
Дано:
1. Однопролетная балка постоянного по длине сечения на двух шарнирных опорах А и В, без консолей, длиной l = 4.6 м. Балка расположена горизонтально.
2. Равномерно распределенная нагрузка q = 3.2 кН приложена перпендикулярно к нейтральной оси балки.
3. Расстояние от начала пролета до начала действия нагрузки а = 0.8 м.
4. Длина приложения нагрузки b = 3.6 м.
Если теоретические основы расчета вас не интересуют, а вы просто хотите рассчитать свою балку, то можете воспользоваться калькулятором для данной расчетной схемы (впрочем этот калькулятор в той части, которая относится к подбору сечения, только для деревянных балок, со временем будет и для стальных, а может и для железобетонных).
Сначала определим параметр с - расстояние от точки конца приложения нагрузки до конца балки:
с = l - (a+b) = 4.6 - (0.8+3.6) = 0.2 м (681.0)
Ну а теперь самое интересное:
1. Определение опорных реакций
Для определения опорной реакции А воспользуемся третьим уравнением статического равновесия системы (уравнением моментов относительно точки В):
ΣМВ = Al - qb(c+b/2) = 0 (681.1.1)
тогда
Аl = qb(c+b/2); (681.1.2)
A = qb(c+b/2)/l = 3.2·3.6(0.2+3.6/2)/4.6 = 5.009 кН (681.1.3)
Для определения опорной реакции В также воспользуемся третьим уравнением статического равновесия системы (уравнением моментов относительно точки А):
ΣМА = Вl - qb(a+b/2) = 0 (681.1.4)
тогда
Вl = qb(a+b/2); (681.1.5)
В = 3.2·3.6(0.8+3.6/2)/4.6 = 6.511 кН (681.1.6)
Для проверки воспользуемся вторым уравнением статического равновесия системы:
∑у = qb - А - В = 0 (681.1.7)
3.6·3.2 - 5.009 - 6.511 = 0 (681.1.8)
Условие выполняется.
(при симметричной нагрузке А=В=qb/2=5.76 кН (681.1.9))
В точке А поперечные силы условно равны нулю.
Уравнение поперечных сил на участке от начала координат до точки начала приложения нагрузки (0≤х≤а) будет выглядеть так:
"Q"х = А (681.1.10)
где х - расстояние от начала координат (точки А) до рассматриваемого сечения балки.
На участке действия равномерно распределенной нагрузки (а≤х≤a+b) уравнение поперечных сил будет иметь вид:
"Q"х = A - q(x-a) (681.1.11)
Это уравнение позволяет нам определить сечение, в котором поперечные силы будут равны 0:
А - q(x-a)=0 (681.1.12)
qx - qa = A (681.1.13)
x = (A+qa)/q =A/q + a = 5.009/3.2 + 0.8 = 2.365 м (681.1.14)
Эта точка важна нам потому, что в сечении на расстоянии 2.365 м от начала балки будет действовать максимальный изгибающий момент.
На участке от точки конца приложения нагрузки до конца балки (a+b≤x≤l) уравнение поперечных сил будет выглядеть так:
"Q"х = А - qb = -В (681.1.15)
Этих данных достаточно для построения эпюр поперечных сил. Более того, точку "нулевых" поперечных сил можно определить и графически, если достаточно точно строить эпюру, однако точность при этом будет не такая большая.
2. Определение изгибающих моментов:
Для определения изгибающих моментов, действующих в поперечных сечениях балки, используется метод сечений, согласно которому уравнение моментов на участке до точки приложения нагрузки (на участке а) будет иметь следующий вид:
Mх = Ax (681.2.1)
тогда
МА = А·0 = 0 (681.2.2)
Ма = Аа = 5.009·0.8 = 4.007 кНм (681.2.3)
На участке а+b уравнение изгибающих моментов будет выглядеть так:
М = Ах - q(x-a)2/2 (681.2.4)
в точке "нулевых" поперечных сил:
М2.365 = 5.009·2.365 -3.2(2.365-0.8)2/2 = 7.927 кНм (681.2.5)
(при симметричной нагрузке Mmax = Al/2 -q(b/2)2/2 = 8.064 кН (681.2.6))
Как видим, даже при такой ощутимой разнице между а и с погрешность упрощенных вычислений менее 2%. Более того, при смещении центра тяжести нагрузки на 0.3 м от середины пролета, точка "нулевых" поперечных" сил сместилась всего на 0.065 м от середины пролета. Но вернемся к точному расчету, точнее к его формулам.
В точке конца действия нагрузки:
Мс = А(а+b) - qb2/2 = 5.009(0.8+3.6) - 3.2·3.62/2 = 1.302 кНм (681.2.7)
в точке В (в конце балки):
МB = Al - qb(c+b/2) = 0 (681.1.1)
Примечание: эпюра изгибающих моментов на участке от начала до точки приложения нагрузки изменяется линейно, согласно уравнению (681.2.1), по длине действия нагрузки - квадратная парабола. Если нужно определить значение изгибающего момента для любого другого поперечного сечения, на этом участке, то следует воспользоваться формулой (681.2.4). На участке после точки конца приложения нагрузки эпюра опять изменяется линейно.
3. Подбор сечения балки:
3.1 Для деревянной балки с расчетным сопротивлением R = 13 МПа (13000 кПа) требуемый момент сопротивления составит:
Wтр = M/R = 7.927/13000 = 0.0006097 м3 (609.7 см3) (681.3.1)
Как правило поперечные сечения деревянных балок имеют прямоугольную форму. Момент сопротивления прямоугольного сечения определяется по следующей формуле:
W = bh2/6 (681.3.2)
Дальше возможны различные варианты, например при высоте сечения балки h = 20 см требуемая ширина сечения составит не менее:
b = 6W/h2 = 6·609.7/202 = 9.14 см (681.3.3)
По сортаменту таким требованиям удовлетворяет балка с сечением 20х10 см.
Если поперечное сечение деревянной балки имеет форму, отличную от прямоугольной или квадратной, то для определения момента сопротивления можно воспользоваться одной из следующих формул, а при особо сложной форме сечения сначала определить момент инерции, а потом уже момент сопротивления.
3.2 Для стальной балки с расчетным сопротивлением R = 245 Мпа (245000) кПа) требуемый момент сопротивления составляет:
Wтр = M/R = 7.927/245000 = 3.235·10-5 м3 (32.35 см3) (681.3.4)
Далее требуемое сечение подбирается по одному из сортаментов.
Ну а подбор сечения ж/б балки - это отдельная большая тема.
4. Проверка по касательным напряжениям (для деревянной балки):
Расчетное сопротивление скалыванию вдоль волокон (для древесины второго сорта) Rск = 1.6 МПа.
Для прямоугольного сечения максимальные касательные напряжения определяются по следующей формуле:
т = 1.5"Q"/bh = 1.5·6.511/(0.1·0.2) = 488 кПа (0.488 МПа) < 1.6 МПа (681.4)
где - 6.511 - максимальное значение поперечных сил, в данном случае это поперечные силы на опоре В.
Требование по касательным напряжениям соблюдено.
Для сечений другой формы значение касательных напряжений определяется по формуле Журавского.
Стандартные стальные профили в дополнительной проверке по касательным напряжениям как правило не нуждаются.
5. Определение углов поворота и прогибов поперечного сечения.
Уравнение углов поворота - результат интегрирования уравнения моментов. При интегрировании появляется постоянная интегрирования, в данном случае начальный угол поворота ΘА.
Уравнение углов поворота для данного случая загружения на участке от опоры А до точки начала приложения нагрузки (0≤х≤а) будет выглядеть так:
θx = - ΘА + Ax2/2EI (681.5.1)
На участке приложения нагрузки (а≤х≤a+b):
θx = - ΘА + Ax2/2EI - q(x-a)3/6EI (681.5.2)
На участке с (a+b≤x≤l):
θx = - ΘА + Ax2/2EI - q(x-a)3/6EI + q(x-a-b)3/6EI (681.5.3)
Примечание: В данном случае, чтобы упростить уравнение углов поворота, мы допускаем, что равномерно распределенная нагрузка действует до конца длины балки, а на участке с действует такая же по значению равномерно распределенная нагрузка, но направленная вверх. Строительная механика против таких допусков ничего не имеет.
И все было бы хорошо, да вот только мы пока не знаем значение начального угла поворота балки. Для того, чтобы его определить, используется такое важное свойство, как отсутствие прогибов на опорах балки.
Это позволяет составить дополнительное уравнение прогиба для одной из опор, например для точки В уравнение прогиба будет иметь вид (уравнение прогиба - это результат интегрирования уравнения углов поворота на последнем участке):
fВ = - θAl + Al3/6EI - q(l-a)4/24EI + qc4/24EI = 0 (681.5.4)
тогда
θAl = Al3/6EI - q((l-а)4-с4)/24EI (681.5.5)
θA = (4Аl3- q((l-a)4 - c4))/(l·24EI) (681.5.6)
θA = (4·5.009·4.63 - 3.2((4.6-0.8)4 - 0.24))/4.6·24EI = 11.62/EI (681.5.7)
Таким же способом определим конечный угол поворота поперечного сечения (угол поворота на опоре В)
θВ = (4Вl3- q((l-с)4 - а4))/(l·24EI) (681.5.8)
θB = (4·6.511·4.63 - 3.2((4.6-0.2)4 - 0.84))/4.6·24EI = 12.11/EI (681.5.9)
Проверяем правильность вычислений:
θB = - ΘА + Al2/2EI - q((b+c)3- c3)/6EI = 12.11/EI (681.5.10)
Теперь у нас достаточно данных, чтобы определить и угол поворота и прогиб для любого поперечного сечения рассматриваемой балки, решая приведенные выше уравнения. А по полученным значениям построить эпюры углов поворота и прогибов, а уже потом, по эпюрам определить точку, где угол поворота =0 и соответственно прогиб максимальный. Однако это потребует большого количества вычислений да и графический метод определения "нулевого" угла поворота и максимального прогиба - не самый точный.
Для того, чтобы определить точку "нулевого" угла поворота максимально точно, нужно решить одно из уравнений углов поворота (681.5.1-3), приравняв его к 0. Выбор уравнения зависит от того, на каком участке находится эта точка.
Кроме того, что в 2 случаях из 3 придется решать кубические уравнения, что само по себе не всегда просто (например при использовании формул Кардано, иногда придется извлекать квадратный корень из отрицательного числа, что пока малореализуемо), так в добавок к этому мы же не знаем, где находится эта точка и какое из 3 уравнений выбрать.
То ли дело при симметричной нагрузке, когда максимальный прогиб посредине пролета:
fmax = - θА2.3 + А·2.33/6EI - q(b/2)4/24EI = - 17.606/ЕI (681.5.11)
Но то при симметричной нагрузке (определение начального угла поворота при симметричной нагрузке здесь не приводится). Тем не менее мы для начала предположим, что точка "нулевого" угла поворота приходится на участке приложения нагрузки, тогда:
- ΘА + Ax2/2EI - q(x-a)3/6EI = 0 (681.5.12)
после соответствующих преобразований (для того и учили в школе алгебру):
qx3 - 3x2 - 3x2A/q + 3a2x - a3 + 6ΘA/q = 0 (681.5.13)
х3 - 7.095x2 + 1.92x + 21.276 = 0 (681.5.14)
Решая это уравнение по формулам Виета (решение здесь не приводится, но его можно посмотреть в калькуляторе), получим х = 2.3217 м
Как видим точка "нулевого" угла поворота действительно попадает на участок приложения нагрузки т.к. 0.8<2.3217<0.8+3.6. В этой точке прогиб составит:
f2.3217 = - 2.3217θA + 5.009·2.32173/6EI - q(2.3217-0.8)4/24EI = -17.246/EI (681.5.15)
Ну то есть, чтобы получить более точное значение прогиба, которое на 2.1% меньше, чем в случае симметричной нагрузки, приходится проделывать дополнительно большое количество вычислений. Для частного застройщика это даром не нужно, потому что чем больше расчетов, тем больше вероятность ошибки, ну а студентам - флаг в руки.
И как уже говорилось, далеко не факт, что точка "нулевого" угла поворота попадает в область действия нагрузки. Но вообще, перед тем, как выполнять соответствующие расчеты, можно предварительно определить, попадает точка "нулевого" угла поворота в область действия нагрузки или нет. Как правило точка "нулевого" угла поворота находится на расстоянии разницы между серединой пролета и точкой "нулевых" поперечных сил, деленной на 3. В данном случае это расстояние составляет l/2 + (2.365 - l/2)/3 = 2.32167 м.
И да, если точка "нулевого" угла поворота находится за пределами действия нагрузки, то решать кубические уравнения нет необходимости. Более того, даже квадратные уравнения решать не нужно. Преобразовав уравнение (681.5.1) мы легко получим значение х, если это значение справа от области действия нагрузки, ну или преобразовав зеркальное уравнение (здесь не приводится), если значение х находится слева от области действия нагрузки (хотя конечно никто не запрещает в этом случае решать кубическое уравнение (681.5.3).
Чтобы эпюры углов поворота и прогибов были универсальными и подходили и для деревянных и для стальных и для железобетонных и для каких угодно других балок, на эпюрах показываются не абсолютные значения, а относительные. Т.е. обе части уравнения умножаются на ЕI.
6. Определение реального прогиба:
Для деревянной балки сечением 20х10 см момент инерции составит:
I = Wh/2 = 666.66·20/2 = 6666.6 см4 (0.00006666 м4) (681.6.1)
Модуль упругости древесины составляет Е = 1·104 МПа (107 кПа)
f = 17.246/(10^7·0.0000666) = 0.02587 м (2.587 см) (671.5.2)
В данном случае прогиб составляет 1/178 от длины пролета балки.
Для стальных балок момент инерции как правило определяется по сортаменту.
7. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов:
На основании полученных ранее данных строим эпюры:
Рисунок 681.1. Расчетная схема (а), замена опор на реактивные силы (б), эпюра поперечных сил (в), эпюра изгибающих моментов (г), эпюра углов поворота (д), эпюра прогибов (е).
На эпюре поперечных сил в начале координат (в точке А) откладываем вверх значение опорной реакции А, согласно направлению действия реактивной силы (опорной реакции. Такое же значение откладываем в точке начала действия равномерно распределенной нагрузки. Соединяем полученные значения прямой.
В точке В откладываем значение опорной реакции вниз. В точке конца действия нагрузки откладываем такое же значение вниз. Соединяем полученные точки прямой. Затем соединяем прямой линией точки начала и конца действия нагрузки - эпюра поперечных сил готова.
Так как у нас балка на шарнирных опорах, на которую действует только равномерно распределенная нагрузка, то значения моментов на опорах равны нулю. На эпюре моментов откладываем вниз значение момента в точке начала приложения нагрузки (согласно формулы (681.2.3) и значение момента в точке конца приложения нагрузки (согласно формулы (681.2.7)).
Соединяем эти точки с точками начала и конца длины балки прямой линией, так как на этих участках у нас момент изменяется линейно. В точке "нулевого" значения поперечных сил откладываем значение максимального момента. Проводим через точку начала действия нагрузки, точку максимального момента и точку конца действия нагрузки кривую - квадратичную параболу. При необходимости, решая уравнение (681.2.4) можно определить сколь угодно много значений моментов для различных сечений и строить эпюру по полученным данным.
Примечание: откладывать значение момента можно и вверх, как это принято у конструкторов машин и механизмов, принципиального значения это не имеет. Просто у строителей принято строить эпюры моментов на растянутой стороне сечения.
На эпюре углов поворота в точке А откладываем вверх значение начального угла поворота, в точке начала действия нагрузки значение уравнения (681.5.1), соединяем полученные значения кривой - квадратной параболой. Откладываем в точке В вниз - значение конечного угла поворота, в точке конца действия нагрузки значение, полученное в результате решения уравнения (-ΘВ +Вс2/2). Соединяем эти точки квадратной параболой.
Соединяем точки начала и конца действия нагрузки кубической параболой так, чтобы она проходила через "нулевую" точку.
На эпюре углов поворота откладываем значение прогиба в точке начала приложения нагрузки (fa = -θAa + Aa3/6), соединяем точку начала пролета с точкой начала приложения нагрузки кубической параболой. В точке конца действия нагрузки откладываем значение прогиба (fc = -ΘBc + Bc3/6), соединяем эту точку с точкой конца пролета. В точке 2.2317 откладываем значение максимального прогиба. Проводим параболу четвертой степени через точку начала действия нагрузки, точку максимального прогиба и точку конца действия нагрузки. | 
