Затем определяются корни:
х1 = (-b + √D)/2a (684.0.2)
х2 = (-b - √D)/2a (684.0.3)
Если дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет решений, так как невозможно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Все запомнили? Ну до экзаменов запомните.
Как-то так было. Откуда взялся этот дискриминант и почему у уравнения возможны 2 корня, никто толком не объяснял, да и мне тогда было не интересно. Я запомнил только, что есть дискриминант и 2 корня, а значения этих параметров всегда можно посмотреть в учебнике или справочнике.
Не, ну для экзамена я конечно выучил и дискриминант и значения корней (хотя можно было просто написать "шпору"), вот только тупо заучить (списать из справочника или шпаргалки) и понять принцип расчета - это разные вещи.
Сейчас при расчете строительных конструкций иногда приходится решать квадратные уравнения, например нужно найти точку нулевых поперечных сил во втором пролете трехпролетной балки. Но сейчас даже знать про существование дискриминанта или справочников, где его значение указывается, вовсе необязательно. В сети полно онлайн-калькуляторов, в миг решающих квадратные уравнения, только подставляй значения коэффициентов.
Я так обычно и делал, но в последний раз чего-то захотел решить квадратное уравнение классическим способом. Полез в сеть посмотреть значение дискриминанта и корней и наткнулся на очень хороший ресурс, где решение квадратных уравнений разложено не просто по полочкам, но и вплоть до молекул, атомов, протонов и нейтронов. Ну то есть, я, когда хочу разжевать какую-то мысль, иногда перебарщиваю, но там все разжевано до состояния муки. Ниже я просто попробую слепить из той муки пирожки, ну а жарить пирожки вы будете уже сами. Итак:
1. Уравнение вида ax2 + bx + c = 0 - это полное квадратное уравнение. Но если быть совсем уж точным, то более правильно писать такое уравнение так: ax2 + bx1 + cx0 = 0. чтобы не возникало сомнений, с - это свободный член или все-таки коэффициент?
2. Литеры а, b и с - это коэффициенты членов уравнения (Во как! И кстати при правильном написании полного квадратного уравнения с- совсем не свободный член, как опрометчиво думают некоторые несознательные математики). Значения коэффициентов могут быть любыми: положительными, отрицательными; они могут быть = 1 или = 0.
3. Если b или(и) с = 0, то квадратное уравнение является неполным. Если а = 0, то это вообще не квадратное уравнение.
4. Неполные квадратные уравнения решаются в несколько простых приемов (что я раньше и делал, не особо задумываясь над глубоко математической сутью проделываемых операций).
4.1. При с = 0
Уравнение вида ax2 + bx = 0 решается следующим образом:
ax2 + bx = 0 (684.1.1)
ax2/х + bx/х = 0/х (684.1.2)
ax + b = 0 (684.1.3)
ax + b - b = 0 - b (684.1.4)
ax = -b (684.1.5)
ax/a = - b/a (681.6)
х = -b/a (684.1.7)
Тут смысл в том, что ноль на сколько ни дели, все равно будет 0 и это очень помогает при решении неполных квадратных уравнений указанного вида. Впрочем, тут можно использовать и другой подход:
ax2 + bx = 0 (684.1.1)
ax2 + bx - bx = 0 - bх (684.1.7)
ax2 = - bx (684.1.8)
ax2/x = - bx/x (684.1.9)
aх = -b (684.1.5)
ax/a = -b/a (681.1.6)
x = -b/a (684.1.7)
Но как ни крути, количество действий не уменьшается. Впрочем в классической записи уравнений будет немного меньше, так как в классической версии один член уравнения сразу переносится в другую часть уравнения с обратным знаком, а тут я просто расписал, почему это именно так. Тем не менее воспользуемся далее классической записью, чтобы сократить количество уравнений.
4.2. При b = 0
Уравнение вида ax2 + c = 0 решается следующим образом:
ax2 + с = 0 (684.2.1)
ax2 = -с (684.2.2)
x2 = -с/а (684.2.3)
х = √-с/a (684.2.4)
И тут мы впервые получаем корень из отрицательного числа, который невозможно извлечь, если в квадратном уравнении (684.2.1) коэффициенты с и а - положительные. Тут в принципе ничего странного. Просто как ни крути, но как умножить число само на себя (а это и есть квадрат числа), чтобы в итоге получилось отрицательное число, люди пока не придумали. А такие числа раньше называли мнимыми, теперь - комплексными (видать, дедушка Фрейд повлиял).
И тут же мы получаем и второй корень уравнения:
х2 = -√-с/a (684.2.5)
Все по той же вышеуказанной причине. Когда мы возводим отрицательное число в квадрат, т.е. умножаем само на себя, то получаем положительное число, ну а уж при умножении положительного числа самого на себя получить отрицательное число вообще не удается. Ну то есть 2·2 = 4 и (-2)·(-2)=4, соответственно, когда мы извлекаем квадратный корень из 4, то и 2 и -2 - правильный ответ.
Вот и получается, что квадратное уравнение вида ax2 + c = 0 имеет два корня, а вещественные эти корни или нет, то для математики дело уже десятое.
4.3. Совсем неполное квадратное уравнение вида ax2 = 0 имеет два вещественных корня, но при этом всегда х1 = х2 = 0.
То есть решать это уравнение в принципе не нужно, ответ уже известен, но можно и расписать, мало ли чего:
ax2 = 0 (684.3.1)
ax2/а = 0/а (684.3.2)
x2 = 0 (684.3.3)
х1 = √0 = 0 (684.3.4)
х2 = - √0 = -0 = 0 (684.3.5)
Тут конечно может возникнуть вопрос: а почему это -0 = 0, на каком основании? К сожалению я не настолько хорошо знаю математику, чтобы ответить на этот вопрос.
Ну а теперь самое интересное:
5. Есть еще один вид квадратных уравнений:
(ax + b)2 + c = 0 (684.5.1)
С одной стороны уравнение такого вида полное, так как все коэффициенты членов не = 0. А с другой стороны в нем пока нет явного х2 и ничто не мешает нам решить это уравнение по принципу решений уравнений вида (682.2.1):
(ax + b)2 + c = 0 (684.5.1)
(ax + b)2 = -c (684.5.2)
ax1 + b = √-c (684.5.3)
ax2 + b = -√-c (684.5.3.1)
ax1 = - b + √-c (684.5.4)
ax2 = -b - √-c (684.5.4.1)
x1 = (- b + √-c)/a (684.5.5)
x2 = (-b - √-c)/a (684.5.5.1)
6. Все остальные квадратные уравнения являются полными, а чтобы их решить нужно помнить главное:
Решение полного квадратного уравнения сводится к выделению полного квадрата! Вот и все!!!
Тут конечно нужно пояснить, что такое полный квадрат. Полный квадрат - это выражение типа (ax + b)2. Да-да, то самое, которое мы рассматривали в предыдущем пункте. А полный квадрат тут потому, что:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 (684.6.1)
Соответственно если мы добавим еще один множитель (и тут даже не важно для a или для b), то в принципе ничего не изменится:
(ax + b)2 = (ax + b)(ax + b) = a2x2 + 2abx + b2 (684.6.2)
Т.е. члены исходного уравнения вида ax2 + bx + c = 0 нужно так умножить-поделить на какое-то число или добавить-отнять какое-то число к(из) каждой части уравнения, чтобы привести его к нужному виду. Итак, пробуем:
ax2·a + bx· + c·a = 0 (684.6.3)
a2x2 + аbx = - aс (684.6.4)
Пока все хорошо, вот только в таком виде у нас второй член уравнения abx в 2 раза меньше требуемого до полного квадрата, а если мы умножим все члены уравнения на 2, то у нас первый член уравнения a2x2 станет в 2 раза больше, чем нам нужно. Что же делать?
А просто еще раз внимательно проанализировать формулу (684.6.2). Ведь что получается? Любой из членов мы можем умножать на любое количество коэффициентов. Т.е. для начала мы умножили а на х, но никто не запрещает умножить а еще и на такое число n, чтобы n2 = 2n, в математическом виде это выглядит так:
(nax + b)2 = n2a2x2 + 2nabx + b2 (684.6.2.1)
Почему n = 2, я подробно расписывать не буду (для этого есть формулы первого пункта). А в итоге получается, что мы должны все члены уравнения умножить на такое число у, которое равно у = n2 = 2n = 22 = 2·2 = 4. Тогда
4a2x2 + 4аbx = - 4aс (684.6.5)
Ну и теперь добавим к каждой части уравнения b2, чтобы получить полный квадрат:
4a2x2 + 4аbx + b2 = b2 - 4aс (684.6.5)
Тогда
(2ax + b)2 = b2 - 4ac (684.6.6)
И используя формулы п.5 мы получим:
2ax1 + b = √b2 - 4ac (684.6.7.1)
2ax2 + b = - √b2 - 4ac (684.6.7.2)
2ax1 = -b + √b2 - 4ac (684.6.8.1)
2ax2 = -b - √b2 - 4ac (684.6..8.2)
x1 = (-b + √b2 - 4ac)/2a (684.6.9.1)
x2 = (-b - √b2 - 4ac)/2a (684.6.9.2)
Ну а если мы еще на стадии уравнения (684.6.6) заменим постоянное выражение b2 - 4ac неким дискриминантом D, то запись уравнений (684.6.6 - 684.6.9) значительно сократится.
Сейчас, при большом объеме свободной памяти на жестком диске, наличии в компьютере функций "Ctrl+C", "Сtrl+V" и прочих весьма полезных функций, такая замена вовсе не обязательна. Но раньше, в эпоху гусиных перьев, перебоев с поставками чернил из-за очередной столетней войны в Европе и очередным повышением цен на бумагу это помогало экономить много времени, денег и нервов.
А самое главное - система образования была такая, что проще было заставить школяров заставить заучить некие, не вполне понятные формулы, чем долго и подробно объяснять, что, да как, да почему.
К XVII веку у меня вопросов нет, но обидно, что и сейчас принцип решения квадратных уравнений в школе излагают также, как и тогда. |