И в первом и во втором случае основной расчет стропил - трехшарнирной треугольной арки с затяжкой большого труда не представляет. Подробности такого расчета изложены отдельно. Здесь же мы рассмотрим одну особенность, которая обычно упускается, когда стропила - наклонные балки - рассчитываются просто как горизонтальные проекции наклонных балок.
Итак, при расчете классической треугольной трехшарнирной арки с затяжкой снизу:
Рисунок 268.1. Расчетная схема треугольной трехшарнирной арки с затяжкой на опорах
Примечание: На рисунке 268.1 показана нагрузка, уже приведенная к наклонной поверхности стропил, т.е. умноженная на cosa.
Горизонтальные опорные реакции составят:
∑МВлев = - qлевb2/8 + VАb/2 - НАf = ∑МВпр = qпрl·b/4 - VСb/2 + НСf = 0 (268.1.6)
НС= (- qпрb2/8 + VСb/2)/f = (-207.3·62/8 + 711·6/2)/1.732 = 692.927 кг
НА= (- qлевb2/8 + VАb/2)/f = (-326.1·62/8 + 889.2·6/2)/1.732 = 692.927 кг
Как легко можно понять из приведенных формул, значение горизонтальных опорных реакций очень сильно зависит от стрелы арки f. Чем больше стрела, тем меньше будет распор. И соответственно, чем меньше расстояние от конька арки до затяжки - тем больше распор.
Так, например, если мы установим затяжку посредине стрелы арки, то есть на расстоянии f/2, то распор в затяжке увеличится в 2 раза, только и всего. Теоретически это правильно, но только при рассмотрении горизонтальных проекций наклонных балок. А вот при рассмотрении конкретно наклонных балок начинаются чудеса.
Дело в том, что когда мы рассматриваем только горизонтальную проекцию наклонной балки, то прогиб получаем строго по вертикали. Такая же история и с моментом.
А при рассмотрении наклоннй балки мы сначала умножаем значение горизонтальной нагрузки на cosa, чтобы узнать значение равномерно распределенной нагрузки, направленной под углом к нейтральной оси балки. А потом это значение еще раз умножаем на cosa, чтобы определить значение нагрузки, перпендикулярной к нейтральной оси балки (вертикальной составляющей наклонной нагрузки).
В итоге значение изгибающего момента получается точно таким же, что для горизонтальной проекции балки, что для наклонной балки. И это достаточно легко проверить
При рассмотрении горизонтальной проекции
Мb/4 = qлевb2/32 = 326.1·62/32 = 366.862 кг·м или 36686.2 кг·см (268.1.7)
При рассмотрении наклонной балки:
Мl/2 = cos2aqлевl2/8 = 0.8662·326.1·3.4642/8 = 366.862 кг·м или 36686.2 кг·см (686.1.2)
где l = b/2cosa = b/2cos300 = 3.464 м
А вот когда мы рассматриваем прогиб, то для горизонтальной проекции:
ф = 5ql4/384EI = 5·3.261·3004/384·105·3333.3 = 1.03 см
А для наклонной балки, длиной 3.464 м (364 см), на которую действует нагрузка 326.1cosa = 0.75·326.1 = 244.575 кг/м (2.446 кг/см) прогиб составит:
ф = 5ql4/384EI = 5·2.446·346.44/384·105·3333.3 = 1.376 см
При этом вертикальная проекция этого прогиба (прогиб вдоль оси у) составит:
фв = 1.376cosa = 1.376·0.866 = 1.191556 см.
Что не очень сильно отличается от значения, полученного для горизонтальной проекции балки, буквально на cosa. Но самое главное - у нас появляется горизонтальная проекция прогиба (прогиб вдоль оси х):
фг = 1.376sina = 1.68·0.5 = 0.688 см.
Примечание: Тут может возникнуть вопрос, а что если просто рассматривать сечение балки в плоскости действия нагрузки, ведь в этом случае высота сечения увеличится как раз на 1/cosa?
Отвечу так: во-первых, когда мы рассматриваем поперечное сечение, то это означает, что напряжения, действующие в рассматриваемом сечении, перпендикулярны плоскости этого сечения. А если мы будем рассматривать некое сечение в плоскости действия нагрузки, то действующие напряжения все равно следует сначала приводить к перпендикулярным и значение этих перпендикулярных напряжений уменьшится как раз на cosa. Во-вторых, при таком подходе мы опять не получим горизонтальной составляющей прогиба.
Отсюда следуют два важных вывода:
1. При неправильном конструктивном решении узла сопряжения низа стропильной ноги с вертикальной опорой (стеной, плитой или балкой перекрытия - не важно), т.е. в случае, если низ стропила не будет иметь возможности относительно свободного перемещения вдоль оси х, то затяжка, расположенная посередине высоты стрелы арки, превратится в распорку, а в месте сопряжения низа стропильной ноги с вертикальной опорой будет действовать распор, который по идее должна была бы воспринимать затяжка.
Чтобы этого избежать, необходимо обеспечить относительно свободное перемещение низа стропильной ноги вдоль оси х на расстояние равное:
х = 0.688·f/(f/2) = 1.376 см.
2. Затяжка, которая превращается в распорку в вышеописанном случае, является дополнительной вертикальной опорой для стропил (как ни парадоксально это звучит), а значит повышает несущую способность стропил за счет уменьшения расчетной длины пролетов. Иногда это полезное качество можно использовать.
Ну а теперь рассмотрим другой вариант:
Расстояние между стенами-вертикальными опорами b = 7 м. Уклон кровли тот же. Необходимо определить высоту расположения затяжки и прогиб стропил в этой точке.
Длина стропил:
l = 7/(2cosa) = 4.04 м
Стрела арки:
f = lsina = 4.04·0.5 = 2.02 м
Тогда:
2.02/7 = у/6
у = 1.732 м
Соответственно затяжку нужно поднять на:
f - y = 2.2 - 1.732 = 0.288 м
Для стропильной ноги расстояние от низа до точки крепления затяжки составит:
0.29/sina = 0.576 м
Прогиб в этой точке:
ф = (57.6cos2aql3/24 - 57.63cos2aql/12 + 57.64cos2aq/24)/EI = 1.17 см
Горизонтальная проекция прогиба:
фг = 1.17sina = 0.56 см
Расстояние, на которое должна свободно перемещаться вдоль оси х нижняя часть стропильной ноги:
х = 0.56·7/6 = 0.652 см
Примечание: Вообще-то сечение 5х20 см не проходит по прочности для стропил. Для обеспечения прочности шаг стропил следует уменьшить как минимум до 0.8 м (подробности расчета здесь не приводятся). Соответственно уменьшится и прогиб и расстояние х до:
х = 0.652·0.8 = 0.52 см.
И еще, согласно нормативных требований прогиб определяется не по расчетному, а по нормативному значению нагрузки. Как я понимаю, в связи с тем, что кратковременные максимумы нагрузок, учтенные при определении значения расчетной нагрузки, далеко не всегда привлекут внимание наблюдателя (особенно там, где прогиб нормируется эстетическими соображениями). Это особенно актуально в данном случае, когда основной нагрузкой является снеговая, для которой коэффициент надежности по нагрузке принимается равным 1.4. Те. значение нагрузки при определении прогиба теоретически можно уменьшить в 1.37 раза (почему так, рассказывается отдельно).
Однако в данном случае нас интересует именно полное значение прогиба, так как именно такой хоть и очень кратковременный прогиб будет приводить к возникновению дополнительных напряжений. |