Лекция 4. Расчет гибких нитей с малой стрелой. Упрощенная теория

Провода линий электропередач, тросы, гитарные струны, бельевые веревки можно условно отнести к гибким нитям и(или) абсолютно гибким нитям с малой стрелой провисания. Существующие теории расчета гибких нитей на данном этапе не рассматриваются.

Упрощенная теория расчета гибких нитей с малой (f<0.1L) и очень малой стрелой провисания (f<0.01L) основывается на следующих предположениях:

1. При отсутствии нагрузки провисание гибкой нити (прогиб) равно 0.

2. Под действием нагрузки гибкая нить растягивается - линейно деформируется. Угловые деформации принимаются пренебрежимо малыми по сравнению с линейной деформацией.

3. В пределах упругих деформаций удлинение нити прямо пропорционально действующей нагрузке согласно закону Гука.

4. При опорах, расположенных на одной высоте и при действии равномерно распределенной нагрузки нейтральная ось гибкой нити представляет собой дугу.

5. При действии только сосредоточенной нагрузки нейтральная ось гибкой нити представляет собой ломаную линию.

6. Для гибких нитей обычные уравнения статического равновесия системы не применимы. В частности уравнение моментов, используемое для определения горизонтальной составляющей опорной реакции арок с затяжкой при действии равномерно распределенной нагрузки (или сосредоточенной нагрузки, приложенной посредине пролета):

Н = ql²/8f (726.1) или (Ql/4f) (726.2)

7. Тяжение в гибкой нити равно приложенной к нити нагрузке вне зависимости от того, под каким углом к нейтральной оси нити приложена нагрузка:

T = ql или T = Q (726.3)

8. Так как угол наклона поперечного сечения на опорах гибкой нити очень мал, то для упрощения расчетов принимается:

Т = Н = Q (ql) (726.4)

9. После того, как гибкая нить растянута (деформирована) под действием нагрузки, она может передавать касательные напряжения на опоры также, как это происходит в относительно жестких стержнях. Именно поэтому уравнения моментов для определения горизонтальных опорных реакций в данном случае не работают.

Для проверки данной теории было поставлено несколько экспериментов с гибкой нитью - гитарной струной. Предварительное натяжение (само по себе не малое, но я не настройщик) гитарной струны в расчетах не учитывалось. Итак:

Есть гитарная струна - стальной сердечник, обвитый медной проволокой. Общий диаметр струны около 0.75 мм (более точно определить пока не могу). Диаметр медной намотки визуально примерно такой же (даже кажется чуть больше), как и у стального сердечника. Согласно справочникам диаметр стального сердечника принят d = 0.25 мм.

Площадь сечения стального сердечника:

F = пd²/4 = 3.14·0.25²/4 = 0.0491 мм² или 0.000491 см²

Модуль упругости (согласно тех же справочников):

Е = 1.8·10⁶ кг/см²

Длина струны между опорами:

l = 64 см

Нагрузка на струну измерялась бытовым электронным кантером с точностью до 5 грамм.

1. При сосредоточенной нагрузке Q = 0.11 кг, приложенной посредине струны прогиб составил f = 0.25 см. Проверяем:

Δl = Ql/(F·Е) = 0.11·64/(0.000491·1.8·10⁶) = 0.11·0.0724 = 0.00796 см

Тогда по правилу прямоугольных треугольников (разобьем струну на два тождественных треугольника) гипотенуза каждого их треугольников составит:

с = (64 + 0.00796)/2 = 32.004 см

а катет

b = 32 см

соответственно катет а, равный прогибу f:

а = f = (32.004² - 32²)^1/2 = 0.5 см

При расчетах по классической формуле (726.1):

Т = 0.11·64/(4·0.25) = 7.04 кг

но при таком тяжении:

Δl = 7.04·0.0724 = 0.51 см

с = (64 + 0.51)/2 = 32.255 см

f = (32.255² - 32²)^1/2 = 4.04 см

2. При сосредоточенной нагрузке Q = 0.3 кг, приложенной посредине струны прогиб составил f = 0.5 см. Проверяем:

Δl = 0.3·0.0724 = 0.02172 см

с = (64 + 0.02172)/2 = 32.0109 см

f = (32.0109² - 32²)^1/2 = 0.83 см

При расчетах по классической формуле (726.1):

Т = 0.3·64/(4·0.5) = 9.6 кг

но при таком тяжении:

Δl = 9.6·0.0724 = 0.695 см

с = (64 + 0.695)/2 = 32.3475 см

f = (32.3475² - 32²)^1/2 = 4.723 см

3. При сосредоточенной нагрузке Q = 0.475 кг, приложенной посредине струны прогиб составил f = 0.8 см. Проверяем:

Δl = 0.475·0.0724 = 0.0344 см

с = (64 + 0.0344)/2 = 32.0172 см

f = (32.0172² - 32²)^1/2 = 1.05 см

При расчетах по классической формуле (726.1):

Т = 0.475·64/(4·0.8) = 9.5 кг

но при таком тяжении:

Δl = 9.5·0.0724 = 0.6878 см

с = (64 + 0.6878)/2 = 32.3475 см

f = (32.3475² - 32²)^1/2 = 4.704 см

4. При сосредоточенной нагрузке Q = 0.67 кг, приложенной посредине струны прогиб составил f = 1 см. Проверяем:

Δl = 0.67·0.0724 = 0.0485 см

с = (64 + 0.0485)/2 = 32.024 см

f = (32.024² - 32²)^1/2 = 1.246 см

При расчетах по классической формуле (726.1):

Т = 0.67·64/(4·1) = 10.72 кг

но при таком тяжении:

Δl = 10.72·0.0724 = 0.776 см

с = (64 + 0.776)/2 = 32.3475 см

f = (32.3475² - 32²)^1/2 = 5 см

5. При сосредоточенной нагрузке Q = 1.32 кг, приложенной посредине струны прогиб составил f = 1.6 см. Проверяем:

Δl = 1.2·0.0724 = 0.08688 см

с = (64 + 0.08688)/2 = 32.0434 см

f = (32.024² - 32²)^1/2 = 1.67 см

При расчетах по классической формуле (726.1):

Т = 1.32·64/(4·1.6) = 13.2 кг

но при таком тяжении:

Δl = 13.2·0.0724 = 0.955 см

с = (64 + 0.955)/2 = 32.478 см

f = (32.478² - 32²)^1/2 = 5.55 см

6. При сосредоточенной нагрузке Q = 1.8 кг, приложенной посредине струны прогиб составил f = 2 см. Проверяем:

Δl = 1.8·0.0724 = 0.1303 см

с = (64 + 0.1303)/2 = 32.0615 см

f = (32.0615² - 32²)^1/2 = 2.04 см

При расчетах по классической формуле (726.1):

Т = 1.8·64/(4·2) = 14.4 кг

но при таком тяжении:

Δl = 14.4·0.0724 = 1.042 см

с = (64 + 1.042)/2 = 32.521 см

f = (32.521² - 32²)^1/2 = 5.8 см

Как видим, результаты определения прогиба по упрощенной теории достаточно близки к измеренным фактически значениям, несмотря на все погрешности измерений. Погрешности не превышают 0.33 см. Более того, чем больше прикладываемая нагрузка тем меньше погрешность, хотя тут дело может быть в том, что при увеличении деформации следует учитывать упругие свойства медной обмотки. Для наглядности я свел все результаты в одну картинку:

Рисунок 726.1. Зависимость прогиба от нагрузки для гибкой нити.

А чтобы не быть голословным, приведу следующее видео с гитарой, на которой ставились эксперименты:

В конце видео данные в формулах не точные, главная задача была подчеркнуть разницу между значениями тяжений при расчетах по классической теории и по моей упрощенной теории.

Если вы знаете, как объяснить разницу в результатах расчетов по классической и упрощенной теории, то добро пожаловать в комментарии.

О том, как появилась эта теория, рассказывается отдельно. 

На этом пока все.

Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье "Записаться на прием к доктору"

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV

На главную

• Расчет конструкций ::: Основы строймеха и сопромата ::: Лекции по сопротивлению материалов

Комментариев нет

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье "Записаться на прием к доктору" (ссылка в шапке сайта).