Ниже приводятся формулы для расчета такой балки:
Рисунок 731.1. Расчетная схема однопролетной балки с консолями, разными по длине.
1.1. Определение опорных реакций и опорных моментов:
ΣМВ = RAL - q(L + a)2/2 + qb2/2 = 0
RA = q((L + a)2 - b2)/2L
ΣМA = RBL - q(L + b)2/2 + qa2/2 = 0
RB = q((L + b)2 - a2)/2L
Проверка:
RA + RB - q(l + a + b) = q((L + a)2 - b2 + (L + b)2 - a2)/2L - q(l + a + b) = q(2L2 + 2La +2Lb)/2L - q(L + a + b) = 0
MA = -qa2/2
MB = -qb2/2
1.2. Для определения максимального изгибающего момента в пролете L сначала определяется точка, где касательные напряжения равны 0:
"Q"х = RA - qx = 0
x = RA/q = q((L + a)2 - b2)/2Lq = ((L + a)2 - b2)/2L = L/2 + a + (a2 - b2)/2L
Mпр = RA(x - a) - qx2/2
Или
Mпр = (q((L + a)2 - b2)/2L) (((L + a)2 - b2)/2L - a) - q(((L + a)2 - b2)/2L)2/2 =
q(((L + a)2 - b2)/2L)2/2 - a((q((L + a)2 - b2)/2L)
Примечание: в данном случае расстояние от начала координат до точки х - это расстояние от начала балки, а не от первой шарнирной опоры.
1.3. Для определения максимального прогиба в пролете L сначала определяется точка, где угол наклона поперечного сечения равен 0. Для этого сначала определяется угол наклона поперечного сечения в начале балки:
fВ = - θн(L + a) + RAL3/6EI - q(L + a)4/24EI + qa4/24EI + θнa = 0
θн(L + a) - θнa = RAL3/6EI - q(L + a)4/24EI + qa4/24EI
θнL = (4RAL3 - q((L + a)4 - a4))/24EI
θн = (4RAL2 - q((L + a)4 - a4))/L)/24EI
тогда:
- Θн + RA(x - a)2/2EI - qx3/6EI = 0
Кубическое уравнение будет иметь вид:
qx3/6EI - RA(x2 - 2xa + a2)/2EI + Θн = 0
1.4. Значение прогиба в пролете:
fпр = qa4/24EI + θн(a - х) + RA(x - a)3/6EI - qx4/24EI
= (qa4 + (4RAL2 - q((L + a)4 - a4)/L)(a - x) + 4RA(x - a)3 - qx4)/24EI
Проверка:
При х = а
fA = (qa4 + (4RAL2 - q((L + a)4 - qa4)/L)(a - x) + 4RA(x - a)3 - qx4)/24EI = (qa4 - qa4)/24EI = 0
При х = (L + а)
fВ = (qa4 + (4RAL2 - q((L + a)4 - qa4)/L)(a - L - a) + 4RA(L + a - a)3 - q(L + a)4)/24EI = (qa4 + (4RAL2 - q((L + a)4 - qa4)/L)(- L) + 4RAL3 - q(L + a)4)/24EI = (qa4 - 4RAL3 + q((L + a)4 - a4) + 4RAL3 - q(L + a)4)/24EI = 0
2. Если балка имеет равные по длине консоли (a = b), то итоговые формулы значительно упрощаются:
2.1. Определение опорных реакций и опорных моментов:
ΣМВ = RAL - q(L + a)2/2 + qа2/2 = 0
RA = q((L + a)2 - а2)/2L = q(L2 + 2aL + a2 - a2)/2L = q(L + 2a)/2
ΣМA = RBL - q(L + а)2/2 + qa2/2 = 0
RB = q(L + 2a)/2 = RA
Проверка:
RA + RB - q(L + a + a) = 2q((L + 2a)/2 - q(L + 2a) = 0
MA = -qa2/2
MB = -qa2/2
2.2. Для определения максимального изгибающего момента в пролете L сначала определяется точка, где касательные напряжения равны 0:
"Q"х = RA - qx = 0
x = RA/q = q((L + 2a)/2q = L/2 + a
Mпр = RA(x - a) - qx2/2
Или
ML/2+a = (q(L + 2a)/2) (L/2 + a - a) - q(L/2 + a)2/2 =
q(L2/4 + aL/2) - q(L2/8 + aL/2 + a2/2) = q(L2 - 4a2)/8
Примечание: в данном случае расстояние от начала координат до точки х - это расстояние от начала балки, а не от первой шарнирной опоры.
2.3. Для определения максимального прогиба в пролете L сначала определяется точка, где угол наклона поперечного сечения равен 0. Для этого сначала определяется угол наклона поперечного сечения в начале балки:
fВ = - θн(L + a) + RAL3/6EI - q(L + a)4/24EI + qa4/24EI + θнa = 0
θн(L + a) - θнa = RAL3/6EI - q(L + a)4/24EI + qa4/24EI
θнL = (4RAL3 - q((L + a)4 - a4))/24EI
θн = (4RAL2 - q((L + a)4 - a4))/L)/24EI = (4L2(q(L + 2a)/2 - q(L4 + 4L3a + 6L2a2 + 4La3 + a4 - a4)/L)/24EI = q(2L3 + 4L2a - L3 - 4L2a - 6La2 - 4a3)/24EI = q(L3 - 6La2 - 4a3)/24EI
тогда:
- Θн + RA(x - a)2/2EI - qx3/6EI = 0
Кубическое уравнение будет иметь вид:
qx3/6EI - RA(x2 - 2xa + a2)/2EI + Θн = 0
Для случая L = 4.5 м a = b = 0.6 м, тогда
RA = 2.85q
θн = (4RAL2 - q((L + a)4 - a4))/L)/24EI = 3.355875q/EI
подставляем в кубическое уравнение известный корень 2.85 м и получаем
3.8581875 - 7.2140625 + 3.355875 = 0
1.4. Значение прогиба в пролете:
fпр = qa4/24EI + θн(a - х) + RA(x - a)3/6EI - qx4/24EI
= (qa4 + (4RAL2 - q((L + a)4 - a4)/L)(a - x) + 4RA(x - a)3 - qx4)/24EI
Максимальный прогиб будет посредине при х = L/2 + а
fL/2+a = (qa4 + (q(L3 - 6La2 - 4a3)(a - L/2 - a) + 2q(L + 2a)(L/2 + a - a)3 - q(L/2 + a)4)/24EI = q(a4 - L4/2 + 3L2a2 + 2La3 + L4/4 + L3a/2 - L4/16 - L3a/2 - 3L2a2/2 - 2La3 - a4)/24EI = q(-5L4/16 + 3L2a2/2)/24EI = qL2(24a2 - 5L2)/(16·24EI) = qL2(24a2 - 5L2)/384EI
Вот собственно и все основные формулы. |