На главную домой советы по ремонту квартиры
Поиск по сайту       Что это за доктор?       Записаться на прием

Формулы для расчета балки с консолями на действие равномерно распределенной нагрузки

Если однопролетная балка с шарнирными опорами имеет консоли, разные по длине, то рассчитать такую балку по простым общеизвестным формулам из справочника не получится. Даже если на такую балку действует равномерно распределенная нагрузка.

Все из-за того, что формулы для определения опорных реакций, моментов, прогибов получаются достаточно громоздкими. Тем не менее ничего сложного в таких расчетах нет.

Ниже приводятся формулы для расчета такой балки:

расчетная схема балки с консолями

Рисунок 731.1. Расчетная схема однопролетной балки с консолями, разными по длине.

1.1. Определение опорных реакций и опорных моментов:

ΣМВ = RAL - q(L + a)2/2 + qb2/2 = 0

RA = q((L + a)2 - b2)/2L

ΣМA = RBL - q(L + b)2/2 + qa2/2 = 0

RB = q((L + b)2 - a2)/2L

Проверка:

RA + RB - q(l + a + b) = q((L + a)2 - b2 + (L + b)2 - a2)/2L - q(l + a + b) = q(2L2 + 2La +2Lb)/2L - q(L + a + b) = 0

MA = -qa2/2

MB = -qb2/2

1.2. Для определения максимального изгибающего момента в пролете L сначала определяется точка, где касательные напряжения равны 0:

"Q"х = RA - qx = 0

x = RA/q = q((L + a)2 - b2)/2Lq = ((L + a)2 - b2)/2L = L/2 + a + (a2 - b2)/2L

Mпр = RA(x - a)  - qx2/2

Или

Mпр = (q((L + a)2 - b2)/2L) (((L + a)2 - b2)/2L - a) - q(((L + a)2 - b2)/2L)2/2 =

q(((L + a)2 - b2)/2L)2/2 - a((q((L + a)2 - b2)/2L)

Примечание: в данном случае расстояние от начала координат до точки х - это расстояние от начала балки, а не от первой шарнирной опоры.

1.3. Для определения максимального прогиба в пролете L сначала определяется точка, где угол наклона поперечного сечения равен 0. Для этого сначала определяется угол наклона поперечного сечения в начале балки:

fВ = - θн(L + a) + RAL3/6EI - q(L + a)4/24EI + qa4/24EI + θнa = 0

θн(L + a) - θнa = RAL3/6EI - q(L + a)4/24EI + qa4/24EI

θнL = (4RAL3 - q((L + a)4 - a4))/24EI

θн = (4RAL2 - q((L + a)4 - a4))/L)/24EI

тогда:

- Θн + RA(x - a)2/2EI - qx3/6EI = 0

Кубическое уравнение будет иметь вид:

qx3/6EI - RA(x2 - 2xa + a2)/2EI + Θн = 0

1.4. Значение прогиба в пролете:

fпр = qa4/24EI + θн(a - х) + RA(x - a)3/6EI - qx4/24EI

= (qa4 + (4RAL2 - q((L + a)4 - a4)/L)(a - x) + 4RA(x - a)3 - qx4)/24EI

Проверка:

При х = а

fA = (qa4 + (4RAL2 - q((L + a)4 - qa4)/L)(a - x) + 4RA(x - a)3 - qx4)/24EI = (qa4 - qa4)/24EI = 0

При х = (L + а)

fВ = (qa4 + (4RAL2 - q((L + a)4 - qa4)/L)(a - L - a) + 4RA(L + a - a)3 - q(L + a)4)/24EI = (qa4 + (4RAL2 - q((L + a)4 - qa4)/L)(- L) + 4RAL3 - q(L + a)4)/24EI = (qa4 - 4RAL3 + q((L + a)4 - a4) + 4RAL3 - q(L + a)4)/24EI = 0

 

2. Если балка имеет равные по длине консоли (a = b), то итоговые формулы значительно упрощаются:

2.1. Определение опорных реакций и опорных моментов:

ΣМВ = RAL - q(L + a)2/2 + qа2/2 = 0

RA = q((L + a)2 - а2)/2L = q(L2 + 2aL + a2 - a2)/2L = q(L + 2a)/2

ΣМA = RBL - q(L + а)2/2 + qa2/2 = 0

RB = q(L + 2a)/2 = RA

Проверка:

RA + RB - q(L + a + a) = 2q((L + 2a)/2 - q(L + 2a) = 0

MA = -qa2/2

MB = -qa2/2

2.2. Для определения максимального изгибающего момента в пролете L сначала определяется точка, где касательные напряжения равны 0:

"Q"х = RA - qx = 0

x = RA/q q((L + 2a)/2q = L/2 + a 

Mпр = RA(x - a)  - qx2/2

Или

ML/2+a = (q(L + 2a)/2) (L/2 + a - a) - q(L/2 + a)2/2 =

q(L2/4 + aL/2) - q(L2/8 + aL/2 + a2/2) = q(L2 - 4a2)/8

Примечание: в данном случае расстояние от начала координат до точки х - это расстояние от начала балки, а не от первой шарнирной опоры.

2.3. Для определения максимального прогиба в пролете L сначала определяется точка, где угол наклона поперечного сечения равен 0. Для этого сначала определяется угол наклона поперечного сечения в начале балки:

fВ = - θн(L + a) + RAL3/6EI - q(L + a)4/24EI qa4/24EI + θн= 0

θн(L + a) - θнa RAL3/6EI - q(L + a)4/24EI + qa4/24EI

θн(4RAL3 - q((L + a)4 - a4))/24EI

θн (4RAL2 - q((L + a)4 - a4))/L)/24EI = (4L2(q(L + 2a)/2 - q(L4 + 4L3a + 6L2a2 + 4La3 + a4 - a4)/L)/24EI = q(2L3 + 4L2a - L3 - 4L2a - 6La2 - 4a3)/24EI = q(L3 - 6La2 - 4a3)/24EI

тогда:

- Θн + RA(x - a)2/2EI - qx3/6EI = 0

Кубическое уравнение будет иметь вид:

qx3/6EI - RA(x2 - 2xa + a2)/2EI + Θн = 0

Для случая L = 4.5 м a = b = 0.6 м, тогда

RA = 2.85q

θн (4RAL2 - q((L + a)4 - a4))/L)/24EI = 3.355875q/EI

подставляем в кубическое уравнение известный корень 2.85 м и получаем

3.8581875 - 7.2140625 + 3.355875 = 0

1.4. Значение прогиба в пролете:

fпр = qa4/24EI + θн(a - х) + RA(x - a)3/6EI - qx4/24EI

= (qa4 + (4RAL2 - q((L + a)4 - a4)/L)(a - x) 4RA(x - a)3 - qx4)/24EI

Максимальный прогиб будет посредине при х = L/2 + а

fL/2+a = (qa4 + (q(L3 - 6La2 - 4a3)(a - L/2 - a) + 2q(L + 2a)(L/2 + a - a)3 - q(L/2 + a)4)/24EI = q(a4 - L4/2 + 3L2a2 + 2La3 + L4/4 + L3a/2 - L4/16 - L3a/2 - 3L2a2/2 - 2La3 - a4)/24EI = q(-5L4/16 + 3L2a2/2)/24EI = qL2(24a2 - 5L2)/(16·24EI) = qL2(24a2 - 5L2)/384EI

Вот собственно и все основные формулы.

На этом пока все.

Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье "Записаться на прием к доктору"

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV

Для Украины - номер гривневой карты (Приватбанк) 5168 7422 4128 9630

На главную домой

Категории:
Оценка пользователей: Нет
Переходов на сайт:1
Комментарии:

Комментариев нет

Добавить свой комментарий:

Имя:

E-Mail адрес:

Комментарий:

Ваша оценка:

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье "Записаться на прием к доктору" (ссылка в шапке сайта).







советы по строительству и ремонту




Доктор Лом. Первая помощь при ремонте, Copyright © 2010-2022