Подъемная (выталкивающая, Архимедова) сила, действующая на тело, погруженное в газ (в данном случае в атмосферу), равна:
FA = ρgV (767.1)
где ρ - плотность газа, кг/м3, g = 9.81 м/с2 - ускорение свободного падения, V - объем вытесненного телом газа, м3.
Таким образом 1 м3 воздуха, имеющего плотность на уровне моря примерно 1 кг/м3, при атмосферном давлении 1 кг/см2 создает подъемную силу 1·9.81·1 = 0.91 Н или 1 кгс, если считать в килограммсилах.
Плотность вакуума = 0, но чтобы сдерживать давление атмосферы, нужна оболочка, в идеале - сфера. А оболочка - это уже впролне конкретный вес и объем. Таким образом, для того, чтобы суммарная сила, действующая на тело, была = 0, т.е. тело находилось в состоянии покоя, не двигалось ни вверх, ни вниз, масса оболочки должна быть равна 1 кг. Чем меньше масса оболочки, тем больше будет суммарная сила, действующая на тело, которое мы хотим подвесить к нашей сфере, в которой вакуум.
При объеме сферы:
V = 4пR3/3 (767.2)
радиус сферы (без учета толщины оболочки) составит:
R = (3V/4п)1/3 = 0.62 м (767.3)
тогда площадь поверхности сферы при V = 1 м3:
S = 4пR2 = 4.833 м2 (767.4)
Дальше все зависит от плотности материала оболочки. Например, если оболочка стальная и имеет плотность ρ = 7850 кг/м3, то оболочка весом в 1 кг будет иметь объем Voб = 1/7850 = 1.27·10-4 м3.
С учетом того, что толщина оболочки значительно меньше, чем внутренний радиус оболочки, то требуемую толщину оболочки можно определить по следующей упрощенной формуле:
t = Vоб/S = 1.27·10-4/4.83 = 2.63·10-5 м или 26.3 мкм (767.5)
Чтобы было понятно, насколько это мало - толщина пищевой фольги 12-14 мкм. Примерно такую толщину оболочки из стали и следует принять, чтобы сфера с вакуумом могла поднять в воздух хотя бы 500 грамм дополнительного веса.
И тут даже без учета прочностных характеристик стали, да и любого другого материала возникает вопрос: стоит ли игра свеч?
Теперь посмотрим на возможные прочностные характеристики. В идеальном случае, когда на сферу с вакуумом действует только симметричная нагрузка - одинаковое атмосферное давление со всех сторон, то в поперечном сечении материала абсолютно гибкой оболочки будут возникать только сжимающие напряжения. Теоретически такое возможно, если допустить, что формула для определения растягивающих напряжений в оболочке с внутренним давлением р справедлива и при определении сжимающих напряжений:
σх = σу = рR/2t = 1·0.62/(2·2.6·10-5) = 11923 кг/см2 (767.6)
тогда максимальное нормальное напряжение составит:
σmax = σx√2 = 16861 кг/см2 или 16.8 т/см2 (767.7)
Временное сопротивление растяжению стальной холоднотянутой струны диаметром от 0.2 мм может достигать 24.5 т/см2, условный предел упругости - 18 т/см2. Каким будет расчетное сопротивление сжатию гибкой оболочки из стали толщиной около 20 мкм, я не знаю, но теоретически можно предположить, что создание такой сферы из стали возможно. Вот только суммарная подъемная сила будет вообще мизерной.
Если увеличить радиус оболочки в 10 раз, до 6.2 м, а толщину оболочки с учетом возможного предела прочности до 10·16.8·2.63·10-5/18 = 0.245 мм), то объем сферы увеличится до примерно 998 м3, площадь оболочки - до 514 м2, собственный вес оболочки - до 990 кг. Суммарная подъемная сила составит примерно 8 кг. На мой взгляд - не очень много для сферы объемом почти в 1000 м3.
Сейчас виртуальные строители вакуумных дирижаблей все больше обращают внимание на новый уникальный сверхпрочный материал - графен. В сети можно найти данные о том, что расчетная прочность графена 50-60 ГПа (500-600 т/см2), т.е. в 20-30 раз больше, чем у самой прочной стали (вот только прочность эта на растяжение, а не на сжатие), а какова объемная плотность графена, мне вообще не удалось найти. Так как графен - двухмерный материал, то речь как правило идет о поверхностной плотности - 0.763 мг/м2. С учетом того, что графен - далеко не единственный материал из углерода, то можно допустить, что объемная плотность его около 1.2-1.5 г/см3.
Как я уже сказал, графен - это плоский, двухмерный материал и потому может хорошо работать только на растяжение, но допустим, что и на сжатие он работает также хорошо. Тогда, если принять толщину оболочки 20 мкм, а радиус увеличить в 10 раз, то собственный вес оболочки составит примерно - 13.4 кг. А суммарная подъемная сила составит примерно 984 кг.
Выглядит заманчиво, вот только есть одна проблема. Если мы хотим хоть как-то использовать эту подъемную силу, то нам нужно прикрепить тело к сфере так, чтобы нагрузка от веса тела передавалась на оболочку равномерно, т.е. также, как и атмосферное давление. А это технически невозможно.
Максимум, что тут можно сделать - это использовать для передачи нагрузки полусферу из такого же материала. Полусфера будет более-менее равномерно передавать нагрузку на верхнюю часть сферы, при этом общий вес верхних полусфер должен быть равен весу нижней полусферы. Отсюда следуют два вывода:
1. Вес поднимаемого тела должен быть меньше веса оболочки, т.е. суммарная подъемная сила всегда в 2 раза меньше выталкивающей силы. Соответственно если вес оболочки с полусферой будет около 499 кг, то можно увеличить среднюю толщину оболочки в 499/13.4 = 37.2 раза, до 0.744 мм.
2. Толщина оболочки должна компенсировать разницу нагрузок, т.е. в разных сечениях оболочка будет иметь разную толщину. И тут дело даже не в расчете, а в технической возможности изготовления такой оболочки.
И это мы еще не рассматривали влияние несимметричных нагрузок, например при порывах ветра или при столкновении с птицами, техническую возможность откачки воздуха из оболочки, изготовленной на Земле и отсутствия дополнительных опор, воспринимающих собственный вес оболочки в процессе изготовления. По всему выходит, что изготовить такую оболочку возможно только в космосе.
Но самый главный аргумент против возможности создания вакуумного дирижабля в виде сжимаемой сверхтонкой сферической оболочки - это то, что расчетное сопротивление сжатию очень сильно зависит от соотношения длины рассматриваемого элемента и радиуса инерции его поперечного сечения и поэтому практически всегда меньше расчетного сопротивления растяжению.
Именно поэтому в реальных условиях, в отличие от вышерассмотренных идеальных условий, расчетное сопротивление сжатию абсолютно гибких нитей, как и абсолютно гибких оболочек, принимается = 0 (точнее очень сильно к нулю стремится значение коэффициента продольного изгиба, а уже потом коэффициент продольного изгиба умножается на значение расчетного сопротивления). Другими словами и абсолютно гибкие нити и абсолютно гибкие оболочки надежно работают только на растяжение. Если кому-то удастся доказать, что абсолютно гибкая оболочка может вполне надежно работать на сжатие при неравномерной или нессиметричной нагрузке, то он совершит большой научный прорыв.
Примечание: увеличение толщины оболочки в 37.2 раза конечно же увеличивает жесткость оболочки за счет увеличения радиуса инерции, кроме того, приводит к уменьшению сжимающих напряжений в 37.2 раза, но все равно гибкость оболочки остается очень большой. Если принять радиус момента инерции равным 1/4 толщины оболочки, а условную длину стержня, равной длине окружности, то получим гибкость:
λ = 2пR·4/i = 8·3.14·6200/0.744 = 209440 (767.8)
По строительным нормам - это многовато, для сжимаемых элементов конструкций максимально допустимая гибкость в 1000 раз меньше.
В связи с этим даже виртуальные строители вакуумных дирижаблей чаще всего рассматривают вариант с абсолютно гибкой оболочкой, надетой на достаточно жесткий каркас, а потому работающей на растяжение. Рассчитать такой каркас и оболочку и просил меня лет 10 назад один из читателей.
Идея конечно хорошая, на каркас остается 499 - 13.4 = 485.6 кг графена, это около 0.37 м3 материала. Можно пробовать конструировать решетчатый каркас из тонкостенных трубок. Но это уже не ко мне.
Я по-прежнему считаю, что нагретый воздух или более легкий газ - более простые и надежные создатели подъемной силы, чем вакуум, кроме того и нагретый воздух и более легкий газ - это и есть самый надежный пространственный каркас для вакуумного дирижабля, созданный самой природой.
Ведь что такое пространство между двумя молекулами газа? А это и есть вакуум, т.е. пространство, в котором нет материи в виде частиц, но зато действуют силы притяжения-отталкивания между молекулами. | 
