Сейчас люди занимаются строительством даже больше, чем в библейские времена (о создании новой вселенной речь как правило не идет, но построить небольшой домик для себя хотят многие), однако похвалиться помощью господа в этом деле может далеко не всякий. В таких случаях приходится читать совсем другие книги.
Мысли людей, постигших статическую неопределимость, вошли в строительную Библию, но и Книга Сопромата и Книга Строймеха достаточно сложны и абстрактны, особенно изречения, касающиеся статической неопределимости, попробуем добавить этим абстрактным знаниям немного наглядности.
Как известно, основой расчета строительных конструкций и в частности балок, являются уравнения статического равновесия, вытекающие из законов Ньютона. Составляются уравнения статического равновесия на основании следующей логической цепочки:
1. На любое тело в пределах земли действует как минимум одна сила - сила тяжести. Согласно второму закону Ньютона сила эта равна ускорению свободного падения g, умноженному на массу тела, и направлена к центру земли.
В строительной механике такая сила рассматривается как нагрузка
Сосредоточенная нагрузка может обозначаться как Р или Q. Созревшее яблоко, падающее на голову неосторожного наблюдателя, является примером тела, движущегося под действием силы тяжести.
2. Если яблоко не падает, но сила тяжести на него действует, значит на яблоко действует еще как минимум одна сила, препятствующая свободному падению. Согласно третьему закону Ньютона сила действия равна силе противодействия, если векторы действия сил находятся на одной линии, но при этом направлены в противоположные стороны. С точки зрения физики плодоножку, на которой держится яблоко, можно заменить силой противодействия.
В строительной механике такая сила противодействия называется опорной реакцией
Опорная реакция может обозначаться как R, или А, В, С и т.д., если опор несколько.
3. Согласно первому закону Ньютона (закону инерции), если ускорение равно нулю, то тело, на которое не действуют внешние силы или сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю, или находится в состоянии покоя или движется с постоянной скоростью. Т.е. когда нагрузка равна опорной реакции, тело находится в состоянии покоя.
Это состояние рассматривается, как состояние статического равновесия
Таким образом, пока прочности плодоножки или прочности соединения плодоножки с веткой хватает, яблоко остается неподвижным. В большинстве случаев расчет строительных конструкций сводится к тому, чтобы обеспечить относительную неподвижность конструкций.
4. Рассматриваемые в строительной механике тела состоят из атомов, при этом на каждый атом действует сила тяжести. Однако рассматривать каждый атом в отдельности вовсе не обязательно, потому что любое тело имеет центр тяжести - точку в которой приложена равнодействующая сил тяжести, действующих на атомы. Это означает, что если сделать опору в центре тяжести тела, или приложить опорную реакцию в центре тяжести тела то такое тело будет находиться в состоянии статического равновесия. Не очень хороший, но наглядный пример: канатоходец, балансирующий на канате. На основании этого составляются первых два уравнения статического равновесия:
∑у = 0 - для сил, действующих вдоль оси у. (253.1.1)
∑х = 0 - для сил, действующих вдоль оси х. (253.1.2)
а будут ли в данных уравнениях члены, зависит от направления действующей нагрузки. Например, если на тело действует только сила тяжести, то уравнения статического равновесия могут выглядеть так:
∑у = Q - R = 0 (147.1.1) - для сил, действующих вдоль оси у.
∑х = 0 (147.1.2) - для сил (которых в данном случае нет), действующих вдоль оси х.
Таким образом Q = R или Q = A + B + C. Как видим, не смотря на относительно сложный и извилистый логический путь, первых два уравнения статического равновесия особой сложностью не отличаются, но
5. Очень часто строительные конструкции, например, балки, представляют собой тела, которые имеют не одну опору, а несколько. Сколько бы опор не было у тела, сумма опорных реакций всегда будет равна действующей нагрузке, однако этих знаний для определения каждой отдельной опорной реакции недостаточно. И тут нам на помощь приходит Доктор Лом всех времен и народов - Архимед со своим рычагом, а точнее понятие момента, из определения рычага вытекающее
момент равен произведению силы на плечо действия
Если силы (нагрузка и опорные реакции) приложены к телу в разных точках, то такие силы будут создавать изгибающий момент, при этом, если опоры не жесткие, а шарнирные, то исходя из условий статического равновесия значение моментов в точке приложения первой силы и последней силы по оси х будет равно нулю. В чем суть этого самого момента можно понять, воспользовавшись все тем же яблоком и все той же яблоней.
Если посредине длинной тонкой ветки будет висеть большое яблоко, то ветка будет заметно прогибаться. А если то же яблоко будет висеть на той же ветке, но на конце ветки, то ветка будет прогибаться намного сильнее, а все из-за того что момент, действующий на ветку в месте примыкания к основному стволу, во втором случае будет почти в два раза больше. На основании этого можно составить еще одно, третье уравнение статического равновесия. Например, если бесконсольная балка длиной l имеет две шарнирные опоры А и В, и к этой балке приложена только сосредоточенная нагрузка Q на расстоянии х от опоры В, то уравнение моментов в точке В, исходя из условия статического равновесия, будет иметь следующий вид:
МB = Аl - Qx = 0 (253.1.3)
Таким образом, без особых проблем, пользуясь уравнениями статического равновесия, можно определить опорные реакции для однопролетных шарнирно опертых балок.
6. Для консольной балки, имеющей только одну жестко защемленную опору, например в точке А, мы не можем заменить жестко защемленную опору только одной опорной реакцией, действующей параллельно оси у, так как в этом случае будет возникать вращающий момент из-за несовпадения точек приложения нагрузки и опорной реакции. В связи с этим для соблюдения условий статического равновесия мы должны приложить еще силу - опорную реакцию, действующую параллельно оси х, на некотором расстоянии по оси у, или изгибающий момент, равный по значению моменту, возникающему из-за несовпадения точек приложения сил и направленный в противоположную сторону.
Напомню, все эти положения более полно и наглядно изложены в отдельной статье, а здесь приводятся лишь для того, чтобы освежить память.
Если у балки больше двух шарнирных опор или опоры не являются шарнирными, то уравнений статического равновесия для определения опорных реакций становится недостаточно и каждая дополнительная шарнирная опора сверх двух шарнирных или одной жесткой, статически определимых, показывает степень статической неопределимости. Так например, балка с 3 шарнирными опорами - один раз статически неопределимая, балка с 10 шарнирными опорами - 8 раз статически неопределимая.
Казалось бы все, туши свет и сливай воду. Решить уравнение, в котором 2, а тем более 9 или более неизвестных - невозможно. Но оказывается - возможно, если составить дополнительные уравнения. А составить их позволяют знания о тангенсе угла наклона поперечного сечения, относительно оси х - повороте и перемещении центра тяжести поперечного сечения относительно оси х вдоль оси у - прогибе. Эти две дополнительных величины, характеризующие состояние строительной конструкции, позволяют составить необходимое количество дополнительных уравнений, что в итоге усложняет расчет статически неопределимых конструкций, но никто и не говорил, что расчет статически неопределимых конструкций - это легко и просто. Дело в том, что и угол поворота и прогиб зависят не только от модуля упругости и момента инерции поперечного сечения, но и от прилагаемой нагрузки. Связь нагрузки Q, изгибающего момента M, угла поворота Θ и прогиба f выражается в общем виде так:
Θ = δf/δх (253.2.1)
- M(x) = EIδΘ/δх = EIδ2f/δх2 (253.2.2)
Q = δM/δх = - EIδ2Θ/δх2 = - EIδ3f/δх3 (253.2.3)
q = δQ/δх (253.2.4)
Не смотря на столь мудреные и малопонятные формулировки и угол поворота и прогиб - самые наглядные и простые понятия в теории сопротивления материалов. И мы даже использовали понятие прогиба, когда рассматривали пример с яблоком, висящим на ветке. Если описать данную ветку терминами сопромата, то получится консольная балка с изменяющимся по длине моментом инерции, у которой угол поворота поперечного сечения в месте жестко защемленной опоры (крепления к основному стволу) равен нулю и прогиб в месте опоры равен нулю, а максимального значения и прогиб и угол поворота достигают на конце ветки. Если мы сделаем подпорку для ветки с яблоком, висящим посредине ветки, то мы тем самым создадим дополнительную шарнирную опору и таким образом сделаем нашу ветку один раз статически неопределимой балкой, однако и прогиб на дополнительной опоре также будет равен нулю, и даже если подпорок будет несколько, то все равно
прогиб на всех опорах будет равен нулю.
Кроме того, если опора жесткая, например, как в месте примыкания ветки к основному стволу, то и угол поворота на такой опоре также равен нулю. Эти знания и позволяют составить необходимое количество дополнительных уравнений. Существует несколько вариантов решений задач расчета статически неопределимых конструкций, наиболее популярные - метод сил и метод моментов (названия очень условные). При расчете методом сил лишние опорные реакции рассматриваются, как дополнительные силы, действующие на статически определимую конструкцию. при расчет методом моментов любая многопролетная шарнирно опертая, статически неопределимая балка разбивается на однопролетные, статически определимые, а для того, чтобы такие балки изгибались и прогибались, как часть многопролетной балки, на опорах прикладывается изгибающий момент, подобно тому, как мы делали при расчете опорной реакции консольной балки. Метод моментов более простой, его мы и будем использовать для дальнейших расчетов.
Рисунок 253.1. Приведение трехпролетной статически неопределимой балки к трем однопролетным статически определимым.
Как пример, рассмотрим однопролетную балку с равномерно распределенной нагрузкой, постоянными модулем упругости и моментом инерции и жестким защемлением на опорах. Такую балку можно рассматривать как шарнирно опертую (подобно средней балке на рисунке 253.1), при этом на опорах будут действовать такие моменты, что угол поворота поперечного сечения на опорах будет равен нулю. При этом МВ = МС = М, так как нагрузка - равномерно распределенная.
Угол поворота Θ поперечного сечения балки на опоре В и на опоре С для однопролетной балки на шарнирных опорах при данной нагрузке составляет:
tgΘ = - ql3/24ЕI (174.5.6.4), (подробности определения угла поворота изложены в другой статье)
При действии изгибающего момента на опоре С тангенс угла поворота Θ поперечного сечения балки на опоре В для однопролетной балки составляет:
tgΘB = MСl/6EI (174.7.1.2),
а на опоре С:
tgΘC = MСl/3EI (174.7.1.3)
Соответственно при действии изгибающего момента на опоре В тангенс угла поворота Θ поперечного сечения балки на опоре С для однопролетной балки составляет:
tgΘC = MВl/6EI
а на опоре В:
tgΘB = MВl/3EI
Таким образом суммарный тангенс угла поворота на каждой опоре (так как нагрузка равномерно распределенная) составит:
tgΘB = tgΘС = - ql3/24ЕI - Ml/6EI - Ml/3EI = 0 (253.3.1),
тогда
ql3/24ЕI = - Ml/2EI (253.3.2)
M = - ql2/12 = - 0.08333ql2 (253.3.3)
Примечание: Понятия "положительный момент" и "отрицательный момент" очень условные. Можно считать, что момент в пролете отрицательный при действии нагрузки, показанной на рисунке 253.1, и тогда момент на опоре будет иметь положительное значение. Это выглядит достаточно разумно, когда эпюра, расположенная снизу оси х, имеет отрицательный знак, а расположенная сверху - положительный (эпюры моментов приводятся в следующей статье). В последнее время в учебниках и справочниках чаще встречаются противоположные обозначения: когда эпюра расположена ниже оси х - момент считается положительным, а когда выше оси х - отрицательным. В данной статье принято обозначение, соответствующее распространенному в технической литературе.
Теперь, зная значение моментов на опорах, можно без особого труда рассчитать опорные реакции (которые при равномерно распределенной нагрузке равны В = С = ql/2 и сложного расчета не требуют), максимальное значение момента в пролете и любые другие параметры балки.
Как ни странно, но такое значение момента можно использовать только при расчете средних пролетов действительно многопролетных балок (с 5 и более пролетами), да и то при условии, что длины всех пролетов одинаковые и нагрузка является равномерно распределенной. А все потому, что при разных значениях длины пролетов, при других нагрузках и даже для 3-пролетной балки, показанной на рисунке 253.1 углы поворота на опорах не будут равны нулю, а значит и значение момента будет другим. Примеры расчета двухпролетных балок приводятся отдельно, здесь же для начала рассмотрим пример расчета 3-х пролетной балки, показанной на рисунке 253.1:
1. Расчет трехпролетной балки с равными пролетами и равномерно распределенной нагрузкой.
Конечно, можно пойти по пути, не менее сложному и запутанному, чем путь орла в небе, путь корабля в море, путь змеи на скале или путь мужчины к сердцу женщины. Для этого нужно рассчитать два раза статически неопределимую балку, решив несколько уравнений с неизвестными членами. Но мы поступим проще, воспользовавшись следующим предположением: для балки с жестко защемленными опорами момент на опоре составляет M = - ql2/12, для балки с одной жестко защемленной опорой и одной шарнирной опорой момент на опоре составляет M = - ql2/8. Приблизительно такую ситуацию мы и имеем на опорах В и С. Если предположить, что в результате перераспределения напряжений момент на опорах будет иметь некое среднее значение, и так как скачка на эпюре моментов быть не может, то момент на опорах может равняться:
МВ = МС = - (ql2/10) = - 0.1ql2 (253.4.1)
Теперь можно определить опорные реакции. При действии изгибающего момента М опорная реакция на опоре А составит (левая часть рисунка 253.1):
А = - М/l (221.2.1),
а опорная реакция на опоре В:
Влев = M/l (221.2.2).
Тогда общая опорная реакция на опоре А будет составлять:
А = D = ql/2 + M/l = ql/2 - 0.1ql2 = 0.4ql (253.4.2),
а общая опорная реакция на опоре В будет составлять:
Влев = Справ = ql/2 - M/l = ql/2 + 0.1ql = 0.6ql (253.4.3)
Вправ = С лев = ql/2 (253.4.3)
тогда суммарные опорные реакции на опорах В и С, действующие на трехпролетную балку составят:
В = С = 0.6ql + ql/2 = 1.1ql (253.4.4)
Как видим на основе сделанного предположения расчет трехпролетной балки с равномерно распределенной нагрузкой по всей длине балки и равными пролетами не такой уж и сложный, но нужно проверить, насколько наше предположение оказалось верным. Так как наша балка должна оставаться в состоянии статического равновесия, то сумма опорных реакций должна быть равна действующей нагрузке:
3ql = 2·0.4ql + 2·1.1ql = (0.8 +2.2)ql = 3ql (253.5.1)
Это условие соблюдается. Теперь проверим, будет ли момент на опорах В, С равен полученному при такой нагрузке и опорных реакциях и будет ли момент на последней опоре D равен 0:
МВ = 0.4ql·l - 0.5ql2 = -0.1ql2 (253.5.2.1)
МС = 0.4ql·2l + 1.1ql·l - 0.5q(2l)2 = - 0.1ql2 (253.5.2.2)
МD = 0.4ql·3l + 1.1ql(2l +l) - 0.5q(3l)2 = 0 (253.5.2.3)
Это условие также соблюдается. Осталось проверить, будет ли прогиб равен нулю на опорах. Для этого сначала нужно определить угол поворота на опоре А. Если наши предположения верны, то уравнение прогиба на опоре В будет иметь вид:
fB = tgΘAl + Al3/6EI - ql4/24EI = 0 (253.5.3);
тогда
tgΘA = ql3/24EI - 0.4ql3/6EI = (1-1.6)ql3/24EI = - 0.025ql3/EI = - ql3/40EI (253.5.4);
при таком тангенсе угла наклона на опоре А прогиб на опоре С составит:
fС = tgΘA2l + A(2l)3/6EI + Bl3/6EI - q(2l)4/24EI = (-0.05 +0.5333 + 0.18333 - 0.66667)ql4/EI = 0 (253.5.5);
прогиб на опоре D составит:
fD = tgΘA3l + A(3l)3/6EI + B(2l)3/6EI +Cl3/6EI - q(3l)4/24EI = (-0.075 +1.8 + 1.4667 + 0.18333 - 3.375)ql4/EI = 0 (253.5.6);
Примечание: Определить тангенс угла поворота на опорах можно и другим способом. Так как мы знаем, что для балки на двух шарнирных опорах при действии равномерно распределенной нагрузки θA = - ql3/24EI, а также знаем, что при действии отрицательного момента на опоре В шарнирно опертой балки на другой опоре значение тангенса угла поворота составит θА = Ml/6EI. Таким образом при значении момента МВ = - ql2/10 тангенс угла поворота на опоре А составит:
θА = - ql3/24EI + (ql2)l/(6·10EI) = -10ql3/240EI + 4ql3/240EI = - ql3/40EI (253.5.7)
Удобство данного способа в том, что можно сразу определить тангенс угла поворота на опоре В и на опоре С:
θВ = - θС = - ql3/24EI + (ql2)l/(3·10EI) = -10ql3/240EI + 8ql3/240EI = - ql3/120EI (253.5.8)
Впрочем, решение уравнения начальных параметров в итоге дало бы такой же результат, только для этого потребуется больше вычислений:
θВ = θА + Аl2/2EI - ql3/6EI = - ql3/40EI + (0.4ql)l2/2EI - ql3/6EI = - 5ql3/120EI + 24ql3/120EI - 20ql3/120EI = - ql3/120EI (253.5.9)
Однако тут нужно очень внимательно следить за знаками. Положительное значение тангенса угла поворота в начале балки означает, что ось балки в результате деформации находится над осью х в рассматриваемом сечении. Отрицательное значение тангенса угла поворота в конце рассматриваемой балки означает то же самое, то есть ось балки в результате деформации находится выше оси х в рассматриваемом сечении. Соответственно при переходе к рассмотрению следующего участка неразрезной балки (при переходе через опору) знак тангенса угла поворота не меняется, но меняется положение нейтральной оси балки.
2. Расчет трехпролетной балки с равными пролетами и нагрузкой в среднем пролете.
Опять же предположим, что если нагрузка действует только на средний пролет трехпролетной балки, при этом длины пролетов равны, то значение моментов на опорах В и С уменьшится в 2 раза потому, что при отсутствии нагрузок в крайних пролетах моменты действуют не на один пролет, как в первом примере, а на как бы на два пролета. Таким образом значение искомого момента на опорах В и С будет:
MB = MC = - 0.1ql2 · l/(l + l) = - 0.05ql2 (253.6.1)
Используя это значение опорных моментов, рассчитать значения опорных реакций и все другие необходимые параметры не составит большого труда, при этом явно видно, что значения всех параметров при действии нагрузки только посредине будут меньше, чем при действии равномерно распределенной нагрузки по всей длине балки, приблизительно то же можно сказать и при действии нагрузки только в крайних пролетах, во всяком случае момент на опорах при действии нагрузки только в крайних пролетах также будет равен - 0.05ql2. со всеми вытекающими отсюда последствиями. Больше подробностей по расчету такой балки приводится в отдельной статье.
Но продолжим рассмотрение многопролетных балок, впереди нас ждет 4-пролетная балка. | 
