Что такое степень числа? Степень числа – это показатель того, сколько множителей может быть в уравнении. Ну то есть если 3 в 4-й степени, то это все равно, что 3 умножить на 3, потом еще раз на 3 и еще раз на 3. Если записать это в принятой на данный момент математической форме, то есть в виде уравнения, то это будет выглядеть так:
34 = 3х3х3х3 = 9х3х3 = 27х3 = 81
Таким образом мы выполнили 3 операции умножения, т.е. возможна и другая формулировка степени: степень числа показывает количество операций умножения плюс 1. Мы конечно же можем записать степень так:
34 = 33+1
А еще из этого следует, что
33х31 = 33+1 = 34
То есть мы в данном случае можем заменить операцию умножения на операцию сложения показателей степени. Конечно же возведение в степень, как и многие другие математические операции, например умножение, придумал какой-то очень умный и одновременно очень ленивый человек и таким образом добился ускорения расчетов и снижения оценок учеников. Принцип тут примерно такой же, как и при умножении. Т.е. если все слагаемые одинаковые, например это все те же тройки и их 9 штук, то вовсе необязательно делать 8 операций сложения, а можно просто 3 умножить на 9:
3х9 = 3+3+3+3+3+3+3+3+3=27
Кстати примечательно, что тут 8 операций по сложению троек. Т.е. множитель показывает не сколько раз нужно сложить тройки, а сколько их будет в уравнении. Или 9 = 8 +1.
- Это я понимаю. – Дочь устало вздохнула. – Я не понимаю, что такое - в 1/4 степени или отрицательная степень числа. Ну вот как можно число умножить само на себя минус два раза или минус 5 раз?
И вот тут у меня нет чего, что ответить. Т.е. если исходить из общих посылов, что степень означает количество множителей, то получается, что при степени 1/2 количество множителей равно 0,5. То есть 2 в степени 1/2 - это... это...
- Если честно, то я и сам эту лабуду не очень-то понимаю, я все-таки не математик, но давай попробуем разобраться...
Вы когда умножение учили, тоже начинали с натуральных чисел, вот как про умножение тройки я рассказывал. А потом оказалось, что умножать можно не только целые числа, но и дробные. Хорошо когда одно из чисел целое, например:
2.5х2=2.5+2.5 =5
А вот когда 2,5 нужно умножить на 2.5, как это можно расписать?
Дочь молчала.
2.5х2.5 =2.5(2 + 0.5) или 2.5х2.5 =2.5(2 + 1/2) = 2.5х2 + 2.5/2 = 5 + 1.25 = 6.25
- Правильно?
- Правильно.
И вот мы вроде бы умножали, а у нас, бац!!! и деление участвует. Т.е. операция вроде бы обратная умножению. А если мы рассмотрим умножение 2.5 на 0.5, то
2.5х0.5=2.5/2 = 1.25
Тут вообще операция называется умножение, а мы только делим. Хотя конечно это не совсем так, формально мы сначала умножаем 2.5 на 1, а только потом уже это произведение делим
2.5х0.5 = (2.5х1)/2 = 1,25
Но тем не менее. Вот и со степенью примерно такая же история. Хорошо, когда показатель степени натуральное число, то есть целое и положительное. А вот когда это дробное число, например 1/4? Тогда 81 в степени 1/4 это
811/4 = ((81/3)/3)/3 = (27/3)/3 = 9/3 = 3
то есть делим 81 на 3, потом полученный результат еще раз на 3, а потом полученный результат еще раз на 3 и получаем исходное число 3. Тут у нас опять знаменатель дроби показывает количество операций деления - 3 + 1 (исходное число) = 4. А еще эта операция вообще-то называется не возведением в степень, а извлечением корня, в данном случае корня четвертой степени, то есть по сути операция - обратная возведению в степень. Тем не менее с точки зрения математики это можно рассматривать как умножение.
- А если нужно извлечь корень четвертой степени из числа 63, откуда я возьму исходное число?
- Во-первых, из калькулятора. Сейчас эти калькуляторы во всех гаджетах, даже в часах попадаются, а раньше скорее всего были специальные таблицы для особо нуждающихся. А во-вторых, в данном случае мне важно, чтобы ты понимала сам принцип.
- А если показатель степени 3/4?
- Умеешь ты неудобные вопросы задавать... Ну хорошо, если следовать изложенной выше логике, то получается, что основание степени нужно сначала возвести в третью степень, а затем извлечь корень четвертой степени. Давай посмотрим, что по этому поводу думают математики.
Мы залезли в интернет и точно! 3 в степени 3/4 это 4√33
- А что такое отрицательная степень?
Я по-прежнему не знал, что сказать и взял паузу до следующего дня. Да и время было уже позднее, около 11 часов вечера. Я вообще-то тугодум и для осмысления даже достаточно простых вопросов мне требуется время.
Я смотрел на формулу а-n = 1/(an) и долго не мог понять, как к ней подступиться. Т.е. у меня были объяснения, но недостаточно убедительные, тем более для школьника, который ничего не понимает в степенях.
А потом я увидел замечательную формулу
am/an = am-n
вспомнил формулу
aman = am+n
которую в частном виде приводил дочке, и все понял! Ну конечно же!!!
Когда мы некоторое число а в степени m делим на такое же число а в степени n, то чтобы не делать лишних математических операций, мы просто вычитаем m - n. И это правильно! Например, если а37/а36, то гораздо проще и быстрее вычесть 36 из 37, получив таким образом первую степень и соответственно число а, чем сначала возводить число а в 37 степень, а потом полученное число 35 раз делить на а. Математика!
Ну а переход тут вообще простой. Если у приведенной выше формуле числитель равен единице, то:
1/an = a-n
и все!!!
Впрочем это можно записать и более корректно:
а0/аn = a0-n = a-n
- А почему любое число в нулевой степени равно 1?
- А это, дочка, отдельный вопрос. | 
