На главную домой советы по ремонту квартиры
Поиск по сайту
Список кабинетов || Что это за доктор? || Записаться на прием

Основное меню


Технологии выполнения работ


Диагностика и лечение


Инженерные сети и коммуникации


Элементы конструкции


Расчет конструкций


Помещения


Встраиваемая техника


Строительные и отделочные материалы


Дизайн




Расчет опорного участка балки на смятие

Что такое - "смятие"?

Когда Вы забиваете гвоздь в доску и наносите последний удар, чтобы утопить шляпку гвоздя, то после слишком сильного удара на поверхности доски вокруг шляпки гвоздя останется вмятина. Если описывать ее терминами сопромата, то эта вмятина и есть "смятие" в результате неупругой деформации древесины. Смятие - термин для обозначения неупругих деформаций, возникающих при локальном приложении нагрузки. И сминаться может не только древесина, но и кирпич, камень, бетон и даже металл. В приведенном примере к смятию привела ударная нагрузка, но далее мы будем рассматривать только статическую нагрузку.

При возведении стен из пустотелого кирпича, шлакоблока, а тем более из полнотелого кирпича, при относительно небольших проемах в таких стенах - до 2 метров - и при количестве этажей не более двух никакого расчета опорных площадок под железобетонные перемычки или балки над такими проемами как правило не требуется. Прочности кладки хватает с многократным запасом, чтобы избежать смятия на опорных площадках и на опорных участках балок или перемычек. А если будут использоваться перемычки или балки перекрытия из металлопроката, то проверить прочность кладки на смятие не помешает, так как металлические балки могут иметь намного меньшую площадь опоры при такой же длине опорного участка как и у железобетонной балки. А для деревянных балок в свою очередь стоит проверить, не будут ли нагрузки на опорных площадках приводить к смятию опорного участка деревянной балки. А вот если стены возводятся из столь популярных в последнее время пенобетонных или газобетонных блоков, да при этом еще и проемы планируются до 3-5 метров, то прочность блоков, выполняющих роль опорных площадок для железобетонных балок, нужно проверять обязательно.

Проверить прочность материала на смятие можно разными методами. Сначала рассмотрим методы проверки прочности опорных участков балки:

Первый метод проверки прочности опорных участков балки на смятие

(самый простой, быстрый, но не всегда точный)

Данный метод основан на следующих расчетных предпосылках:

Нагрузка на опорный участок - это и есть опорная реакция рассчитываемой балки или перемычки. Чтобы определить касательные напряжения, возникающие в материале конструкции на опорной площадке (причем, как в материале опорной площадки, так и в материале опорного участка балки эти напряжения по принципу равнодействия сил равны), нужно просто разделить эту нагрузку, на площадь опорной площадки и затем сравнить полученное значение с максимально допустимым для данного материала:

σ ≤ Rсм (148.1.1)

где σ - значение касательных напряжений;

Rсм - расчетное сопротивление смятию.

Например, опорная реакция для деревянной балки на опоре В составляет В = 10000 кг, длина опорного участка lоп = 15 см, ширина опорного участка b = 5 см. В этом случае в древесине на опорных участках будут возникать касательные напряжения:

σ = В / S = 10000/(15·5) = 133.3 кгс/см2 (148.1.2)

где S - площадь опорного участка. 

Расчетное сопротивление смятию Rсм90 на опорных участках для древесины составляет (в зависимости от различных факторов) около 30 кг/см2, а это значит, что деревянная балка на опорных участках будет сминаться и значит нужно увеличивать или длину опорных участков или ширину, или и то и другое вместе, или уменьшать конструктивными методами нагрузку.

Повторю, этот расчет очень примерный и такие нагрузки на опорную площадку могут возникать разве только в деревянной ферме или если конструкция сооружения такова, что балки перекрытия полностью воспринимают нагрузку от веса стен. Как правило для деревянной балки длиной до 6 м максимальная нагрузка на опоре вряд ли превысит 2000 кг, да и ширина балки при таких нагрузках наверняка будет больше. В примере расчета деревянного перекрытия мы для пролета 4 м подобрали несколько вариантов сечения балки в зависимости от шага балок, но у всех этих балок ширина была 10 см. Для балок высотой 20 см с опорными реакциями А = В = 800 кг (от распределенной нагрузки 400 кг/м или 4 кг/см) при длине опорных участков 10 см касательные напряжения составят:

σ = 800/(10·10) = 8 кгс/см2

И кажется, беспокоиться не о чем, но! Данный метод проверки допустим только в двух случаях: при жестком защемлении балки на опорах (или на рассчитываемой опоре) и для балки имеющей бесконечно большую жесткость. Во всех остальных случаях касательные напряжения, возникающие в материале балки или опорной площадки, будут распределяться не равномерно в связи с тем, что балка или перемычка под действием нагрузки будет прогибаться. При этом максимальные напряжения в материале опорной площадки будут возникать ближе к краю стены (началу опорной площадки), а минимальные - ближе к середине стены (концу опорной площадки). В материале балки максимальные напряжения будут также возникать в начале опорного участка, но в зависимости от конструкции сооружения максимальные напряжения могут возникать и ближе к концу опорного участка. А это значит, что рассчитывать опорную площадку или опорный участок следует на бóльшие напряжения. Если нет большого желания вникать в дальнейшие подробности, то можно просто умножить полученное значение касательных напряжений на коэффициент неопределенности (назовем его так) от 1.2 до 1.5 и сравнить полученное значение с максимально допустимым.

Примечание: Для бетонных и железобетонных конструкций значение коэффициента следует принимать около 1.67, и хотя мне такое значение коэффициента кажется несколько завышенным из-за априорного принятия треугольной эпюры распределения напряжений по длине опорной площадки, тем не менее запас еще никогда и никому не помешал.

А если столь простое решение Вас не устраивает, то рассмотрим:

Второй метод проверки прочности опорных участков балки на смятие

(сложный, долгий, но более точный)

Когда мы рассматривали основные принципы расчета балки, то пользовались при этом одной из расчетных схем, заменяя опорные участки балки или шарнирным опиранием или жестким защемлением. Таким образом проблемы расчета опорных участков и опорных площадок не существовало. Между тем реальные конструкции часто далеки от расчетных моделей, в частности у балок и перемычек всегда есть опорные участки и теперь пришло время рассмотреть, что же с этими опорными участками происходит в условиях, близких к реальным.

Когда мы прикладываем нагрузку к балке, длина которой намного больше длины и ширины, то балка при этом неизбежно прогнется и мы даже можем определить и прогиб балки и угол поворота поперечного сечения в любой точке балки. В данном случае нас интересует угол поворота поперечного сечения балки на шарнирной опоре. Если к балке приложена распределенная нагрузка q только в пролете балки, а на опорных участках нагрузки нет, то тангенс угла поворота на шарнирных опорах будет составлять:

tgθ = ql3/(24EI) (174.5.6.3)

где Е - модуль упругости материала балки или перемычки, в данном случае угол наклона появляется из-за деформаций вдоль волокон, а потому и использовать следует значение Е = 10000 МПа или 100000 кг/см2;

I - момент инерции поперечного сечения балки или перемычки (относительно оси z), для рассматриваемой балки Iz = 6666.67 см4.

Тогда

tgθ = 4·4003 / (24·100000·6666.67) = 0.016

Если на опорных участках распределенной нагрузки не будет, то угол наклона поперечного сечения для опорного участка будет постоянным и равным указанному (174.5.6.3), при этом ось, проходящая через центры тяжести поперечных сечений балки (на рисунке 148.1 обозначена фиолетовым цветом), отклонится от оси х на указанный угол θ и если балка и опорная площадка имеют бесконечно высокую прочность, то балка и опорная площадка будут контактировать в одной точке (на рисунке 148.1.а) обозначена красным цветом), а если еще точнее, то на отрезке шириной, равной ширине балки b:

деформации опорного участка балки и опорной площадки

Рисунок 148.1. а) прогиб бесконечно прочной балки на бесконечно прочной опоре;

б) деформации опорного участка балки и опорной площадки из-за прогиба балки;

в) эпюры касательных напряжений для опорного участка балки и для опорной площадки

А если и балка и опорная площадка имеют прочность, далекую от бесконечности, то в результате прогиба балки и материал балки на опорном участке и материал опорной площадки деформируются приблизительно так, как показано на рис.148.1.б). При этом величина деформации опорного участка балки может значительно отличаться от величины деформации опорного участка, тем не менее максимальные внутренние касательные напряжения, возникающие как в материале балки, так и в материале опорной площадки, будут равны (рис.148.1.в)). Значение именно этих напряжений и требуется определить.

Для того, чтобы это сделать, сначала определим максимально допустимую величину деформации балки на опорном участке. Если продолжать рассматривать балку с углом поворота на опоре 0° (пример 1), то распределение напряжений в такой балке будет равномерным и значит максимально допустимая величина деформации Δhд составит:

Δhд = Rсмh/E (148.2.1)

данная формула получена путем простейших преобразований формулы (174.5.1.1), здесь h - высота балки = 20 см, Rсм - все то же расчетное сопротивление смятию, Е - модуль упругости древесины, в данном случае нас интересует модуль упругости поперек волокон Е90 = 400 МПа или 4000 кг/см2. Так как балки часто опираются на стены, которые имеют высоту намного больше чем высота балки и соответственно могут иметь значительную большую высоту деформации в упругой стадии, то для нас при прочих равных условиях главным ограничителем является высота балки. Таким образом максимально допустимая величина деформации составит:

Δhд = 30·20/4000 = 0.15 см или 1.5 мм

При этом реальная высота деформации составит:

Δh = Вh / ES = 800·20 / 4000·100 = 0.04 см или 0.4 мм

А минимальная длина опорного участка при максимально допустимой упругой деформации составит:

lоп = Вh / EbΔhд = 800·20 / (4000·10·0.15) = 2.667 см

Визуально это будет выглядеть приблизительно так, как показано на рисунке 148.2.а):

высота деформации балки на опоре

Рисунок 148.2. Высота упругой деформации на опоре.

При прогибе балки величина деформации будет не одинаковой для различных поперечных сечений балки. Если модуль упругости материала опорной площадки бесконечно большой, то деформироваться будет только деревянная балка, как показано на рисунке 148.2.б). И при этом совсем не факт, что балка будет опираться на опорную площадку по всей длине опорного участка lоп. Определить длину опорной площадки lо мы можем, преобразовав формулу (174.5.2.4), воспользовавшись при этом сокровенными знаниями древнегреческих геометров, постигших таинство треугольника, а проще говоря, учебником геометрии за 5 или 6 класс:

lo = 2B / Rсмb = 2·800 / 30·10 = 5.33 см (148.2.2)

что в 2 раза больше, чем для опорного участка с равномерным распределением напряжений и это логично, вот только мы не учли угол поворота поперечного сечения. При наших условиях возможная длина опорного участка может составить:

lов = Δhд / tgθ = 0.15 / 0.016 = 9.375 см (148.2.3)

а это означает, что:

1. Длина опорного участка будет больше, чем 5.33 см при таком угле наклона;

2. Касательные напряжения будут меньше максимально допустимых;

3. Даже при длине опорной площадки 5.33 см деформация в начале опоры будет меньше предельно допустимой, так как напряжения в поперечном сечении балки на конце опорного участка не будут = 0 и значит при определении среднего значения касательных напряжений нужно сложить значения касательных напряжений в начале и в конце опорного участка и затем разделить результат на 2;

4. Так как материал опорной площадки не бесконечно жесткий и имеет вполне определенный модуль упругости, то он тоже будет деформироваться. В зависимости от прочностных свойств материала опорной площадки, высоты опоры и других не рассматриваемых пока факторов возможна ситуация, когда опора будет деформироваться на такую же высоту, что и опорный участок балки и тогда возможная длина опорного участка будет в два раза больше, потому как предельно допустимую высоту деформации в этом случае следует определять при вдвое меньшем значении угла поворота сечения (см. рис. 148.2.в)).

В принципе этим можно было бы и ограничиться, тем более что длину опорного участка следовало бы принять не менее 10 см из конструктивных соображений, но для истинных любителей сопроматовского экстрима продолжу рассказ.

Итак, если принять длину опорной площадки 5.33 см, то эпюры касательных напряжений, возникающих в балке и опоре, будут выглядеть примерно так, как показано на рисунке 148.1.в).

Так как значение касательных напряжений в начале опоры будет максимальным, то определить значение касательных напряжений в конце опорного участка можно, воспользовавшись правилами пропорциональности треугольников. Так отношение максимального касательного напряжения к длине опорного участка lо должно быть равным отношению касательного напряжения на конце опорного участка к разнице расстояний lo - lоп:

30 / 9.375 = х / (9.375 - 5.33) (148.3.1)

х = 30 - 17.056 = 12.944 кг/см2

И тогда опорный участок балки может выдержать нагрузку:

N = (30 + 12.944)·10·5.33 / 2 = 1144.45 кг (148.3.2)

И эта нагрузка все равно больше нашей расчетной опорной реакции, поэтому длину опорного участка можно еще уменьшить так, чтобы опорный участок точно выдерживал расчетную нагрузку. Правда для этого придется решить небольшое квадратное уравнение или систему из двух уравнений (148.3.1 и 148.3.2) с двумя неизвестными, так как в данном случае мы не знаем ни значения напряжения на конце опорного участка, ни длины опорного участка. Но в итоге результат будет приблизительно одинаковым (подробности расчета не привожу, так как это чистая математика, а не сопромат),

минимально допустимая длина опорного участка для деревянной балки опирающейся на бесконечно прочную опорную площадку составит для данного расчетного случая 3.22 см. Все остальное зависит от упругих свойств материала площадки, но как ни крути, сделать опорную площадку меньше, чем 2.67 см нельзя

как мы определили в самом начале расчетов по второму методу и таким образом практически вернулись к результату, который могли бы получить, определяя значение максимальных напряжений по первому простому методу, да еще и с запасом.

При действии на опорные участки балки помимо опорной реакции еще и сосредоточенной или распределенной нагрузки балку следует рассчитывать как шарнирно-опертую балку с консолями - опорными участками и в этом случае угол наклона для опорных участков будет не постоянным, а изменяющимся. А это значит, что эпюры касательных напряжений будут выглядеть немного иначе из-за изменяющегося угла поворота, но в принципе, как я уже говорил, умножение максимальных касательных напряжений, определенных для опорного участка с нулевым углом поворота, на коэффициент 1.2-1.5 как правило снимает все вопросы по расчету относительно коротких опорных участков.

Теоретические основы расчета опорных участков для металлических балок, железобетонных балок и плит такие же, как и в приведенном примере расчета опорного участка деревянной балки, однако для железобетонной балки следует дополнительно учитывать особенности железобетона, как композитного материала.

На главную домой

Категории:
Оценка пользователей: Нет
Переходов на сайт:6773
Комментарии:
14-03-2014: Нуржан

Здравствуйте, Доктор Лом! У вас две методики расчета - упрощенная и усложненная. Так вот у меня вопрос: вот к примеру рассчитаю я по упрощенному методу, в конце умножу полученное значение касательных напряжений на коэффициент неопределенности. И если полученное значение "пройдет", то будет ли это гарантией, что оно расчет правильный(все таки поправочный коэффициент учтен)?


14-03-2014: Доктор Лом

Это будет гарантией того, что конструкция будет иметь достаточную прочность или даже запас по прочности.


Добавить свой комментарий:

Имя:

E-Mail адрес:

Комментарий:

Ваша оценка:

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье "Записаться на прием к доктору" (ссылка в шапке сайта).




советы по строительству и ремонту



После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью и адресом электронной почты. Если вы хотите задать вопрос, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Спасибо. Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий к соответствующей статье.

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

На всякий случай кошелек webmoney: R158114101090

Или: Z166164591614


Доктор Лом. Первая помощь при ремонте, Copyright © 2010-2016