На главную домой советы по ремонту квартиры
Поиск по сайту
Список кабинетов || Что это за доктор? || Записаться на прием

Основное меню


Технологии выполнения работ


Диагностика и лечение


Инженерные сети и коммуникации


Элементы конструкции


Расчет конструкций


Помещения


Встраиваемая техника


Строительные и отделочные материалы


Дизайн




К расчету консольных балок

Консольная балка - достаточно сложная балка, не смотря на кажущуюся простоту. Например, есть доска длиной 3 м, доска лежит на некоем основании шириной 1 м, при этом свесы доски с каждой из сторон составляют 1 м. На доску действует равномерно распределенная нагрузка 100 кг/м. И тут возникает вопрос: как рассчитать такую балку?

1 вариант

Вроде бы у балки одна опора и повороту поперечных сечений она не мешает и получается, что эту опору можно рассматривать как шарнирную. Вот только такого понятия, как ширина опоры, во всяком случае на первом этапе расчета, при рассмотрении расчетных схем балок не существует.

Получается, что нашу доску мы можем рассматривать как балку с одной опорой и 2 консолями. Если ширину опоры не учитывать, длина консолей будет k = 1 м, а максимальный момент, действующий на опоре, будет составлять:

М = -qk2/2 = -100·12/2 = -50 кгc·м

Вроде бы все правильно, но и максимальная поперечная сила будет также действовать на опоре и будет равна опорной реакции А = 2qk = 200 кг. А между тем у нас доска длиной не 2 м, а 3, значит и опорная реакция должна быть больше А = ql = 100·3 = 300 кг.

А вот если мы сдвинем доску на 25 см, то у нас согласно принятой расчетной схеме получится балка с одной опорой и двумя консолями, не равными по длине, длина одной консоли будет 1.25 м, а второй 0.75 м и такая балка вообще не будет находиться в состоянии равновесия, проще говоря упадет. Между тем доска продолжает преспокойно лежать на основании, а значит нужно искать другой подход к расчету подобной балки. И такой подход есть.

2 вариант

Если вспомнить о том, что любая балка имеет некоторую жесткость, далекую от бесконечной, то такая балка под воздействием нагрузок будет деформироваться, проще говоря прогибаться. И совсем не факт, что в результате деформации та часть доски, которая находится над основанием, будет с этим основанием контактировать по всей площади. А значит в подобных случаях мы можем рассматривать доску как однопролетную балку с пролетом 1 м между опорами и с консолями 1 м.

В этом случае значение опорного момента не изменится, но теперь их будет 2 и опорных реакций также будет 2 и они будут составлять А = В = 150 кг. А для балки с разными консолями моменты на опорах составят:

МА = -qk12/2 = -100·0.752/2 = -28.125 кгc·м

МВ = -qk22/2 = -100·1.252/2 = -78.125 кгc·м

Строго говоря, такой подход к решению вопроса также не является совсем точным, так как доска будет контактировать с основанием не в двух точках, а на двух участках и опорные реакции будут представлять собой неравномерно распределенные нагрузки, а значит и расчетную длину консолей следует немного увеличить, но сейчас не об этом.

Представим себе следующую ситуацию. Та же доска длиной 3 м теперь лежит на двух опорах, ширина каждой опоры 50 см, расстояние в свету между опорами 1 м, консоли с каждой стороны по 0.5 м. Если опять же рассчитывать эту балку так сказать общепринятым способом, т.е. не учитывать ширину опор и рассматривать доску как однопролетную балку длиной 2 м с консолями 0.5 м, то мы получим следующие данные:

А = В = 200/2 = 100 кг (с учетом всей длины доски 150 кг)

МА = МВ = -qk2/2 = -100·0.52/2 = -12.5 кгc·м

Мl/2 =Al/2 - q(k + l/2)2/2 = 100·0.5 - 100(0.5 +0.5)2/2 = 0 кгм

А если мы будем рассматривать доску как трехплолетную балку с консолями k = 0.5 м и пролетами l1 = l3 = 0.5 м и l2 = 1 м, то такая балка будет уже дважды статически неопределимой и чтобы рассчитать такую балку можно воспользоваться методом трех моментов.

МАl1 + 2MB(l1 + l2) + MCl2 = - 6·Rф1;

MBl2 + 2MC(l2 + l3) + МDl3 = - 6·Rф2;

где

Rф1 = Rф2 = Aф + Вф = ql13/24 + ql23/24 = 100(0.53 + 13)/24 = 4.6875

Так как моменты на крайних опорах уже известны, то уравнения примут следующий вид

- 0.5·12.5 + 3MB + MC = - 28.125;

MB + 3MC - 6.25 = - 28.125;

Так как наша балка является симметричной и приложенная нагрузка является симметричной и соответственно МВ = МС, то мы сразу, без дальнейших долгих и мучительных вычислений можем определить значение моментов:

MB = MС = (- 28.125 + 6.25)/(3 + 1) = - 5.46875 кгс·м

Для определения момента в середине среднего пролета определим значения опорных реакций, исходя из следующих условий:

Для 1 пролета:

Аl1 - q(k + l1)2/2 = MB;  A = (MB + q(k + l12/2)/l1 = (-5.46875 + 100·12/2)/0.5 = 89.0625 кгс

тогда значение момента в середине первого пролета составит

M0.5l1 = 0.25A - q0.752/2 = 0.25·89.0625 - 100·0.752/2 = - 5.86 кгс·м

Для 2 пролета:

A(l1 + l2) + Bl2 - q(k + l1 + l2)2/2 = MC;  B = (MC - A(l1 + l2) + q(k + l1 + l2)2/2)/l2 = (- 5.46875 - 89.0625(0.5 + 1) + 100·22/2)/1 = 60.9375 кгс

тогда максимальное значение момента во втором пролете составит

Mmax = A + 0.5B - q1.52/2 = 89.0625 + 0.5·60.9375 - 100·1.52/2 = 7.03125 кгс·м

Как видим, разница в значениях моментов при расчете разными способами набежала нешуточная 0 и 7.03. И хотя для деревянной доски такая разница принципиального значения не имеет, так как расчет все равно ведется по максимальному изгибающему моменту. А вот если бы мы рассчитывали ж/б конструкцию, то неучтенный момент в пролете мог бы привести к обрушению.


Для 3 пролета (проверка):

2A + 1.5B + 0.5С - q(2.5)2/2 = МD; C = (MD - 2A - 1.5B + q(2.5)2/2)/0.5 = (-12.5 - 2·89.0625 - 1.5·60.9375 + 100·3.125)/0.5 = 60.9375 кгс

Для консоли (проверка):

2.5A + 2B + 1С + 0.5D - q(3)2/2 = 0;  (2.5 + 0.5)89.0625 + (2 + 1)60.9375 - 100·4.5) = 0 кгс

Это условие соблюдается, но такой проверки недостаточно. Нужно еще проверить, будет ли прогиб на опорах равен нулю. Вот только для консольной балки с началом координат, совпадающим с началом консоли, делать это нужно аккуратно. Для этого сначала нужно определить угол поворота в начале консоли.

fА = f0 + tgΘнk - qk4/24EI = 0;

fB = f0 + tgΘн(k + l1) + Al13/6EI - q(k + l1)4/24EI = 0;

В данном случае f0 - это некая постоянная интегрирования не равная нулю по вышеуказанным причинам. Тогда

tgΘнk - qk4/24EI = tgΘн(k + l1) + Al13/6EI - q(k + l1)4/24EI;

-tgΘнl1 = Al13/6EI + qk4/24EI - q(k + l1)4/24EI;

-0.5tgΘн = 89.0625·0.53·4/24EI + qk4/24EI - q(k + l1)4/24EI;

tgΘн = 98.4375/24EI;

тогда

f0 = -tgΘнk + qk4/24EI = -42.96875/24EI;

при таком тангенсе угла наклона в начале балки и с учетом начального прогиба прогиб на опоре С составит:

fС = f0 + tgΘн2 + A1.53/6EI + B13/6EI - q24/24EI = (-42.96875 + 196.875 + 1202.34375 + 243.75 - 1600)/24EI = 0;

прогиб на опоре D составит:

fD = f0 + 2.5tgΘA + A23/6EI + B1.53/6EI +C0.53/6EI - q2.54/24EI = (-42.96875 +246.09375 + 2850 + 853.125 - 3906.25)ql4/EI = 0;

Конечно же описанная выше ситуация маловероятна. Как правило ширина опор балок не превышает 5-10% от длины пролета. Но даже при такой, казалось бы, относительно небольшой ширине опор в расчетах возникает погрешность. Об этом необходимо помнить при выборе расчетной схемы и при определении длины пролета.

Кроме того, при малой ширине опор и соответствующей длине пролетов и консолей увеличивается вероятность того, что балка будет опираться на опору не в двух, а в одной точке (условно). И тогда такую балку можно опять-таки рассматривать как однопролетную с консолями. Например, та же доска длиной 3 м лежит на 2 опорах шириной 0.2 м таким образом, что расстояние в свету между опорами составляет 2 м, а консоли 0.3 м.  На доску действует все та же равномерно распределенная нагрузка 100 кг/м. Тогда приведенные выше уравнения трех моментов примут следующий вид:

Rф1 = Rф2 = Aф + Вф = ql13/24 + ql23/24 = 100(0.23 + 23)/24 = 33.3667

Так как моменты на крайних опорах уже известны, то уравнения примут следующий вид

- 0.2·1.125 + 4.4MB + 2MC = - 200.2;

2MB + 4.4MC - 0.225 = - 200.2;

Так как наша балка является симметричной и приложенная нагрузка является симметричной и соответственно МВ = МС, то:

MB = MС = (- 200.2 + 0.225)/(4.4 + 2) = - 31.24609375 кгс·м

Для определения момента в середине среднего пролета определим значения опорных реакций, исходя из следующих условий:

Для 1 пролета:

Аl1 - q(k + l1)2/2 = MB;  A = (MB + q(k + l12/2)/l1 = (-31.2461 + 100·0.52/2)/0.5 = -18.7461 кгс

Все. Дальше можно ничего не считать. Отрицательное значение реакции на опоре А означает, что доска не будет контактировать с опорой в точке А, а значит ее можно рассматривать, как однопролетную, но с пролетом 2 м и консолями 0.5 м и тогда на опорах

MА = МВ = - q0.52/2 = - 12.5 кгс·м

В пролете:

Mmax = A - q1.52/2 = 150 - 100·1.52/2 = 37.5 кгс·м

А если бы мы рассчитывали эту балку без учета ширины опор, как однопролетную с пролетом 2 м и консолями 0.3 м, то при той же нагрузке получили бы

MА = МВ = - q0.32/2 = - 4.5 кгс·м

В пролете:

Mmax = A - q1.52/2 = 130 - 100·1.32/2 = 45.5 кгс·м

Соответственно при расчете по осям, т.е. при пролете 2.2 м и при  консолях 0.4 м разница была бы еще больше.

Вот такая она - консольная балка.

На главную домой

Категории:
Оценка пользователей: Нет
Переходов на сайт:459
Комментарии:

Комментариев нет

Добавить свой комментарий:

Имя:

E-Mail адрес:

Комментарий:

Ваша оценка:

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье "Записаться на прием к доктору" (ссылка в шапке сайта).




советы по строительству и ремонту



После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью и адресом электронной почты. Если вы хотите задать вопрос, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Спасибо. Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий к соответствующей статье.

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

На всякий случай кошелек webmoney: R158114101090

Или: Z166164591614


Доктор Лом. Первая помощь при ремонте, Copyright © 2010-2016