М = -qk2/2 = -100·12/2 = -50 кгc·м
Вроде бы все правильно, но и максимальная поперечная сила будет также действовать на опоре и будет равна опорной реакции А = 2qk = 200 кг. А между тем у нас доска длиной не 2 м, а 3, значит и опорная реакция должна быть больше А = ql = 100·3 = 300 кг.
А вот если мы сдвинем доску на 25 см, то у нас согласно принятой расчетной схеме получится балка с одной опорой и двумя консолями, не равными по длине, длина одной консоли будет 1.25 м, а второй 0.75 м и такая балка вообще не будет находиться в состоянии равновесия, проще говоря упадет. Между тем доска продолжает преспокойно лежать на основании, а значит нужно искать другой подход к расчету подобной балки. И такой подход есть.
2 вариант
Если вспомнить о том, что любая балка имеет некоторую жесткость, далекую от бесконечной, то такая балка под воздействием нагрузок будет деформироваться, проще говоря прогибаться. И совсем не факт, что в результате деформации та часть доски, которая находится над основанием, будет с этим основанием контактировать по всей площади. А значит в подобных случаях мы можем рассматривать доску как однопролетную балку с пролетом 1 м между опорами и с консолями 1 м.
В этом случае значение опорного момента не изменится, но теперь их будет 2 и опорных реакций также будет 2 и они будут составлять А = В = 150 кг. А для балки с разными консолями моменты на опорах составят:
МА = -qk12/2 = -100·0.752/2 = -28.125 кгc·м
МВ = -qk22/2 = -100·1.252/2 = -78.125 кгc·м
Строго говоря, такой подход к решению вопроса также не является совсем точным, так как доска будет контактировать с основанием не в двух точках, а на двух участках и опорные реакции будут представлять собой неравномерно распределенные нагрузки, а значит и расчетную длину консолей следует немного увеличить, но сейчас не об этом.
Представим себе следующую ситуацию. Та же доска длиной 3 м теперь лежит на двух опорах, ширина каждой опоры 50 см, расстояние в свету между опорами 1 м, консоли с каждой стороны по 0.5 м. Если опять же рассчитывать эту балку так сказать общепринятым способом, т.е. не учитывать ширину опор и рассматривать доску как однопролетную балку длиной 2 м с консолями 0.5 м, то мы получим следующие данные:
А = В = 200/2 = 100 кг (с учетом всей длины доски 150 кг)
МА = МВ = -qk2/2 = -100·0.52/2 = -12.5 кгc·м
Мl/2 =Al/2 - q(k + l/2)2/2 = 100·0.5 - 100(0.5 +0.5)2/2 = 0 кгм
А если мы будем рассматривать доску как трехплолетную балку с консолями k = 0.5 м и пролетами l1 = l3 = 0.5 м и l2 = 1 м, то такая балка будет уже дважды статически неопределимой и чтобы рассчитать такую балку можно воспользоваться методом трех моментов.
МАl1 + 2MB(l1 + l2) + MCl2 = - 6·Rф1;
MBl2 + 2MC(l2 + l3) + МDl3 = - 6·Rф2;
где
Rф1 = Rф2 = Aф + Вф = ql13/24 + ql23/24 = 100(0.53 + 13)/24 = 4.6875
Так как моменты на крайних опорах уже известны, то уравнения примут следующий вид
- 0.5·12.5 + 3MB + MC = - 28.125;
MB + 3MC - 6.25 = - 28.125;
Так как наша балка является симметричной и приложенная нагрузка является симметричной и соответственно МВ = МС, то мы сразу, без дальнейших долгих и мучительных вычислений можем определить значение моментов:
MB = MС = (- 28.125 + 6.25)/(3 + 1) = - 5.46875 кгс·м
Для определения момента в середине среднего пролета определим значения опорных реакций, исходя из следующих условий:
Для 1 пролета:
Аl1 - q(k + l1)2/2 = MB; A = (MB + q(k + l12/2)/l1 = (-5.46875 + 100·12/2)/0.5 = 89.0625 кгс
тогда значение момента в середине первого пролета составит
M0.5l1 = 0.25A - q0.752/2 = 0.25·89.0625 - 100·0.752/2 = - 5.86 кгс·м
Для 2 пролета:
A(l1 + l2) + Bl2 - q(k + l1 + l2)2/2 = MC; B = (MC - A(l1 + l2) + q(k + l1 + l2)2/2)/l2 = (- 5.46875 - 89.0625(0.5 + 1) + 100·22/2)/1 = 60.9375 кгс
тогда максимальное значение момента во втором пролете составит
Mmax = A + 0.5B - q1.52/2 = 89.0625 + 0.5·60.9375 - 100·1.52/2 = 7.03125 кгс·м
Как видим, разница в значениях моментов при расчете разными способами набежала нешуточная 0 и 7.03. И хотя для деревянной доски такая разница принципиального значения не имеет, так как расчет все равно ведется по максимальному изгибающему моменту. А вот если бы мы рассчитывали ж/б конструкцию, то неучтенный момент в пролете мог бы привести к обрушению.
Для 3 пролета (проверка):
2A + 1.5B + 0.5С - q(2.5)2/2 = МD; C = (MD - 2A - 1.5B + q(2.5)2/2)/0.5 = (-12.5 - 2·89.0625 - 1.5·60.9375 + 100·3.125)/0.5 = 60.9375 кгс
Для консоли (проверка):
2.5A + 2B + 1С + 0.5D - q(3)2/2 = 0; (2.5 + 0.5)89.0625 + (2 + 1)60.9375 - 100·4.5) = 0 кгс
Это условие соблюдается, но такой проверки недостаточно. Нужно еще проверить, будет ли прогиб на опорах равен нулю. Вот только для консольной балки с началом координат, совпадающим с началом консоли, делать это нужно аккуратно. Для этого сначала нужно определить угол поворота в начале консоли.
fА = f0 + tgΘнk - qk4/24EI = 0;
fB = f0 + tgΘн(k + l1) + Al13/6EI - q(k + l1)4/24EI = 0;
В данном случае f0 - это некая постоянная интегрирования не равная нулю по вышеуказанным причинам. Тогда
tgΘнk - qk4/24EI = tgΘн(k + l1) + Al13/6EI - q(k + l1)4/24EI;
-tgΘнl1 = Al13/6EI + qk4/24EI - q(k + l1)4/24EI;
-0.5tgΘн = 89.0625·0.53·4/24EI + qk4/24EI - q(k + l1)4/24EI;
tgΘн = 98.4375/24EI;
тогда
f0 = -tgΘнk + qk4/24EI = -42.96875/24EI;
при таком тангенсе угла наклона в начале балки и с учетом начального прогиба прогиб на опоре С составит:
fС = f0 + tgΘн2 + A1.53/6EI + B13/6EI - q24/24EI = (-42.96875 + 196.875 + 1202.34375 + 243.75 - 1600)/24EI = 0;
прогиб на опоре D составит:
fD = f0 + 2.5tgΘA + A23/6EI + B1.53/6EI +C0.53/6EI - q2.54/24EI = (-42.96875 +246.09375 + 2850 + 853.125 - 3906.25)ql4/EI = 0;
Конечно же описанная выше ситуация маловероятна. Как правило ширина опор балок не превышает 5-10% от длины пролета. Но даже при такой, казалось бы, относительно небольшой ширине опор в расчетах возникает погрешность. Об этом необходимо помнить при выборе расчетной схемы и при определении длины пролета.
Кроме того, при малой ширине опор и соответствующей длине пролетов и консолей увеличивается вероятность того, что балка будет опираться на опору не в двух, а в одной точке (условно). И тогда такую балку можно опять-таки рассматривать как однопролетную с консолями. Например, та же доска длиной 3 м лежит на 2 опорах шириной 0.2 м таким образом, что расстояние в свету между опорами составляет 2 м, а консоли 0.3 м. На доску действует все та же равномерно распределенная нагрузка 100 кг/м. Тогда приведенные выше уравнения трех моментов примут следующий вид:
Rф1 = Rф2 = Aф + Вф = ql13/24 + ql23/24 = 100(0.23 + 23)/24 = 33.3667
Так как моменты на крайних опорах уже известны, то уравнения примут следующий вид
- 0.2·1.125 + 4.4MB + 2MC = - 200.2;
2MB + 4.4MC - 0.225 = - 200.2;
Так как наша балка является симметричной и приложенная нагрузка является симметричной и соответственно МВ = МС, то:
MB = MС = (- 200.2 + 0.225)/(4.4 + 2) = - 31.24609375 кгс·м
Для определения момента в середине среднего пролета определим значения опорных реакций, исходя из следующих условий:
Для 1 пролета:
Аl1 - q(k + l1)2/2 = MB; A = (MB + q(k + l12/2)/l1 = (-31.2461 + 100·0.52/2)/0.5 = -18.7461 кгс
Все. Дальше можно ничего не считать. Отрицательное значение реакции на опоре А означает, что доска не будет контактировать с опорой в точке А, а значит ее можно рассматривать, как однопролетную, но с пролетом 2 м и консолями 0.5 м и тогда на опорах
MА = МВ = - q0.52/2 = - 12.5 кгс·м
В пролете:
Mmax = A - q1.52/2 = 150 - 100·1.52/2 = 37.5 кгс·м
А если бы мы рассчитывали эту балку без учета ширины опор, как однопролетную с пролетом 2 м и консолями 0.3 м, то при той же нагрузке получили бы
MА = МВ = - q0.32/2 = - 4.5 кгс·м
В пролете:
Mmax = A - q1.52/2 = 130 - 100·1.32/2 = 45.5 кгс·м
Соответственно при расчете по осям, т.е. при пролете 2.2 м и при консолях 0.4 м разница была бы еще больше.
Вот такая она - консольная балка. |