На главную домой советы по ремонту квартиры
Поиск по сайту
Список кабинетов || Что это за доктор? || Записаться на прием

Основное меню


Технологии выполнения работ


Диагностика и лечение


Инженерные сети и коммуникации


Элементы конструкции


Расчет конструкций


Помещения


Встраиваемая техника


Строительные и отделочные материалы


Дизайн




Статически неопределимые балки. Уравнения трех моментов

Как мы выяснили ранее, метод сил (метод перемещений) хорошо применим для двух- трехпролетных неразрезных балок. При больших степенях статической неопределимости вычисления методом перемещений становятся слишком громоздкими. Частично решить эту проблему помогает метод, основанный на рассмотрении углов поворота поперечных сечений балки на опорах. Этот метод условно можно назвать методом моментов.

Частично потому, что количество дополнительных уравнений, необходимых для определения значений опорных реакций, остается таким же, а вот количество неизвестных в таких уравнениях уменьшается до трех. По большей части теоретические предпосылки этого метода такие же как и у метода сил, и ограничения по жесткости и неподатливости опор в вертикальном направлении остаются те же, вот только изменяется подход к рассмотрению балки.

В данном случае многопролетная, статически неопределимая балка как бы рассекается на промежуточных опорах на множество однопролетных, статически определимых балок.

Для начала рассмотрим пример с двухпролетной балкой, какую мы рассматривали при описании метода сил.

1. Двухпролетная балка

приведение двухпролетной балки к основной и вспомогательной системам при методе моментов

Рисунок 315.1. Приведение двухпролетной балки к основной и вспомогательной системам при методе моментов.

1. Когда мы рассекаем балку на промежуточной статически неопределимой опоре (рис. 315.1.б)), мы получаем две статически определимых балки с общей опорой В (рис.315.1.в)). Рассчитать такие балки - не проблема, а для удобства расчетов даже созданы соответствующие таблицы, пример такой таблицы можно посмотреть здесь. Балки, показанные на рисунке 315.1.в), являются элементами основной системы. Балки, показанные на рисунке 315.1.г), являются элементами вспомогательной системы.

2. Под действием приложенной нагрузки поперечные сечения балок не будут находиться в плоскости, перпендикулярной к основной оси (оси х), а будут иметь некоторый наклон. Другими словами, между плоскостью, перпендикулярной к основной оси, и поперечным сечением будет некоторый угол, называемый углом поворота поперечного сечения Θ. На рисунке 315.1.е) показаны углы поворота для крайнего правого сечения левой балки и крайнего левого сечения правой балки. Таким образом между указанными поперечными сечениями образуется угол наклона φ. Общая эпюра углов поворотов поперечных сечений для статически определимых балок основной системы будет выглядеть приблизительно так, как показано на рисунке 315.1.д).

3. Между тем балка-то у нас неразрезная, а это означает, что угол между двумя очень близкими относительно оси х сечениями будет стремиться к нулю, а так как мы рассекаем балку мысленно, то крайнее правое сечение левой балки и крайнее левое сечение правой балки - это одно и то же поперечное сечение неразрезной балки и для такого сечения угол наклона φ = 0.

4. Если к рассматриваемым поперечным сечениям балок приложить изгибающие моменты (рис. 315.1.г), то при определенном значении моментов суммарный угол наклона поперечных сечений будет равен углу наклона между поперечными сечениями балок основной системы, только значение это будет иметь обратный знак (рис.315.1.ж).

5. Таким образом, если сложить угол наклона смежных поперечных сечений балок основной системы и угол наклона смежных поперечных сечений балок вспомогательной системы, то угол наклона φ на общей эпюре углов поворотов будет равен нулю (рис.315.1.и)), при этом угол поворота поперечного сечения Θ неразрезной балки может быть не равен нулю.

6. Так как в действительности никакие внешние моменты на статически неопределимых опорах не прикладываются, а мы всего лишь заменяем внутренние напряжения внешними моментами, то на суммарной эпюре моментов (на рисунке 315 не показана) на статически неопределимых опорах не может быть скачков (могут быть только точки экстремума). Из этого следует, что значение момента, приложенного к крайнему правому сечению, должно быть равно значению момента, приложенного к крайнему левому сечению:

Мл = Мп = М (315.1.1)

Примечание: Самое трудное при работе с моментами и углами поворота - уследить за знаками. Сейчас считается, что если сила или момент приводят к растяжению нижней части сечения, то эпюра моментов рисуется снизу, но такой момент считается положительным, соответственно, если сила или момент приводят к растяжению верхней области сечения, то эпюра моментов рисуется сверху, но такой момент считается отрицательным. Дело в том, что вне зависимости от того, сверху или снизу рисуется эпюра моментов в поперечных сечениях рассматриваемых конструкций возникают нормальные напряжения и если рассматривать только нижнюю часть сечения, то положительный момент означает растяжение в нижней части и таким образом знак "+" символизирует увеличение длины в нижней части рассматриваемой конструкции, а отрицательный момент означает сжатие в нижней части сечения и знак"-" символизирует уменьшение длины конструкции в нижней части. Из этого следует, что если момент для рассматриваемого сечения (точки на оси х) направлен по часовой стрелке, то такой момент положительный, а если против часовой стрелки, то момент отрицательный. Таким образом знак момента зависит от точки (поперечного сечения), относительно которой данный момент рассматривается. Так для смежных статически определимых балок моменты, показанные на рисунке 315.1.г), будут отрицательными, а для поперечного сечения на опоре В неразрезной балки моменты будут иметь различный знак и в сумме дадут ноль. Приблизительно то же самое можно сказать и о углах поворота поперечных сечений. Если сечение наклонено вправо от оси у, то такой угол поворота можно считать отрицательным, если влево от оси у, то такой угол поворота будет считаться положительным, что и отражено на соответствующих эпюрах углов поворотов на рисунке 315.1. Между тем при определении прогиба знак угла поворота крайних сечений будет зависеть от направления интегрирования и от того, прогиб вверх или вниз будет считаться положительным. Так, если начальный угол поворота (угол поворота на одной из опор) будет приводить к растяжению в нижней области, то такой угол поворота может считаться положительным, например, для рассматриваемых нами статически определимых балок основной системы значения углов поворота на обеих опорах могут рассматриваться, как положительные.  При действии положительного изгибающего момента углы поворота на опорах также будут положительными.

7. Если к одной из опор статически определимой балки, например опоре В, приложить положительный изгибающий момент, то в это приведет к изменению угла поворота поперечного сечения на опоре В на угол θB= Мl/3EI и к изменению угла поворота на опоре А на угол θА = Ml/6EI. На рисунке 315.1 для наглядности суммарного взаимодействия показаны отрицательные изгибающие моменты, которые приводят к отрицательным значениям углов поворота, но чтобы не путаться со знаками, изначально значения углов поворота для основной и для вспомогательной систем принимаются положительными.

Например, для двухпролетной балки, показанной на рисунке 315.1, угол наклона между поперечными сечениями балок основной системы будет составлять:

φВ = qa3/24EI +qb3/24EI = q(a3 + b3)/24EI (315.1.2)

значение угла наклона на смежной опоре при приложении моментов к балкам вспомогательной системы

φВ = МВпa/3EI + MВлb/3EI = M(a + b)/3EI = Ml/3EI (315.1.3)

φВ = φВ + φВ = q(a3 + b3)/24EI + Ml/3EI = 0 (315.1.4)

M = - q(a3 + b3)/8l (315.1.5)

после этого с учетом опорного момента определяются опорные реакции

A = A + A = qa/2 + M/a = qa/2 - q(a3 + b3)/8la (315.1.6)

C = C + C = qb/2 + M/b = qb/2 - q(a3 + b3)/8lb (315.1.7)

B = Bп + Вл + Вп + Вл = qa/2 + q(a3 + b3)/8la + qb/2 + q(a3 + b3)/8lb (315.1.8)

После того, как расчетные реакции определены, дальнейший расчет выполняется, как для обычной статически определимой балки, вот только необходимо выполнить дополнительные проверки, так прогиб на всех опорах при действующих нагрузках должен быть равен нулю.

При равных пролетах, т.е. при а = b = l/2

φВ = ql3/192EI + ql3/192EI = ql3/96EI = qa3/12 (315.1.9)

φВ = ql3/96EI + Ml/3EI = qa3/12EI + 2Mа/3EI = 0 (315.1.10)

M = - ql2/32 = - qa2/8 (315.1.11)

Опорные реакции составят

A = C = qa/2 - qa/8 = 3qа/8 (315.1.12)

B = 2(qa/2 + qa/8) = 10qa/8 (315.1.13)

Если однопролетная балка имеет одну жестко защемленную опору и шарнирную опору, то такую балку можно рассматривать как двухпролетную неразрезную шарнирно опертую балку, у которой один из пролетов равен нулю и соответственно момент на жестко защемленной опоре будет М = - ql2/8, согласно формулы (315.1.5). Это позволяет рассчитывать данным методом не только шарнирно опертые многопролетные балки, но и балки, имеющие жесткое защемление на концах.

2. Трехпролетная балка

При рассмотрении трехпролетной балки у нас появится еще одна неизвестная величина - момент на опоре С:

приведение трехпролетной балки к основной и вспомогательным системам

Рисунок 315.2. Приведение трехпролетной балки к основной и вспомогательным системам

То есть угол наклона между смежными сечениями на опоре В балок вспомогательной системы будет зависеть не только от значения моментов, приложенных на рассматриваемой опоре, но также и от значения момента, приложенного на опоре С. И тогда формула для определения угла наклона на опоре В будет выглядеть так:

φВ = МВпa/3EI + MВлb/3EI - МСпb/6EI = MB(a + b)/3EI + MCb/6EI (315.2.2)

φВ = q(a3 + b3)/24EI + MB(a + b)/3EI + MCb/6EI = 0 (315.2.3)

Соответственно для опоры С:

φС = MС(b + c)/3EI - MВb/6EI (315.2.4)

φС = q(b3 + c3)/24EI + MC(b + c)/3EI + MBb/6EI = 0 (315.2.5)

Решая систему из двух уравнений (315.4.3) и (315.4.4), можно найти значения моментов на опорах. Например при равных пролетах a = b = c решение задачи значительно упрощается, так как и моменты МВ и МС, действующие на опорах, при этом будут равными из-за симметричности балки и равномерно распределенной нагрузки:

φВ = φС= qa3/12EI + 2Ma/3EI + Ma/6EI = 0 (315.2.6)

5Ma/6EI = - qa3/12EI (315.2.7)

M = - qa2/10 (315.2.8)

Когда мы решали подобную задачу методом сил, то получили следующие уравнения:

Δ10 + Δ1У1 + Δ1У2 = 0 (314.4.2)

Δ20 + Δ2У1 + Δ2У2 = 0

Если мы угол наклона заменим греческой буквой Δ, а статически неопределимые опоры пронумеруем, то уравнения (315.2.3) и (315.2.5) примут вид:

Δ10 + Δ11 + Δ12 = 0 (314.4.2)

Δ20 + Δ21 + Δ22 = 0

т.е. мало чем будут отличаться от канонических уравнений метода сил.

Если у балки будет 4 пролета, то в итоге мы получим систему из 3 уравнений, в одном  из которых будет 3 неизвестных члена, а в первом и последнем - по 2 неизвестных члена. Соответственно для расчетов 5 пролетной балки придется составить систему из 4 уравнений, в двух из которых будет по 3 неизвестных члена, а в первом и последнем также по 2 неизвестных члена, для 6 пролетной - из 5 уравнений и так далее, но при этом количество неизвестных членов в первом и последнем уравнении всегда будет равно двум, а в остальных уравнениях - трем, так как количество моментов, действующих на опорах смежных балок вспомогательных систем, не может быть больше 4. А так как моменты, действующие на рассматриваемой опоре, равны согласно (315.1.1), то количество неизвестных в уравнениях сокращается до 3 и потому уравнения вида (315.2.3) и (315.2.5) называются уравнениями трех моментов.

Для любой многопролетной балки уравнение трех моментов для n-ной опоры можно записать так:

Mn-1ln/6EI + Mn(ln + ln+1)/3EI + Mn+1ln+1/6EI = - φn (315.3.1)

А если обе части уравнения умножить на 6EI, то уравнение трех моментов будет выглядеть так:

Mn-1ln + 2Mn(ln + ln+1) + Mn+1ln+1 = - 6φnEI (315.3.2)

где φn - рассмотренный нами суммарный угол наклона между смежными сечениями на n-ной опоре.

Произведение φnEI иногда для упрощения записи рассматривается, как суммарная фиктивная опора Rnф:

φnEI = Rnф = Вnф + An+1ф = ωnan/ln + ωn+1bn+1/ln+1 (315.3.3)

Физический смысл этой формулы следующий: с точки зрения строительной физики сила, момент, угол поворота и прогиб - это не какие-то случайные понятия, а четко связанные между собой. Например, когда мы определяем опорную реакцию В при действии равномерно изменяющейся нагрузки (от 0 на опоре А до q на опоре В), мы умножаем площадь нагрузки (ql/2) на расстояние от опоры А до центра тяжести этой площади (2/3l) и затем делим это все на длину пролета (l), в итоге В = ql/3, соответственно А = ql/6. А если в качестве грузовой эпюры рассматривать эпюру моментов, также имеющую вид треугольника (например, при моменте, приложенном на опоре В), то значение фиктивных реакций составит Вф = Мl/3, Аф = Ml/6. В общем случае эту закономерность можно отобразить так:

определение фиктивных опорных реакций по эпюрам моментов

Рисунок 315.3. Определение суммарной фиктивной реакции по эпюрам моментов для балок основной системы.

Однако в большинстве случаев чертить эпюры моментов для балок основной системы,  затем определять центры тяжести этих эпюр и расстояния до центров тяжести нет большой необходимости, так как для наиболее распространенных вариантов приложения нагрузки фиктивные опорные реакции давно известны и определить их можно по соответствующим таблицам. Пример такой таблицы представлен ниже.

Таблица 315.1. Фиктивные опорные реакции для различных вариантов загружения балки основной системы

фиктивные опорные реакции для балок

4. Решение системы уравнений

После того, как углы поворота на опорах (фиктивные опорные реакции) для всех балок основной системы определены, можно приступать к решению системы уравнений. Вот только, если пролетов у балки много, то запись окончательного уравнения, позволяющего определить один из неизвестных моментов, может занять не одну минуту и не одну страницу. В таких случаях можно воспользоваться следующей методикой:

Для балки, имеющей k пролетов, потребуется составить k - 1 уравнений. Если значения выражений - 6Rnф заменить параметром ci, то уравнения будут иметь следующий вид:

система уравнений трех моментов после первого преобразования (315.4.1)

Если умножить все уравнения на пока произвольные параметры αi, а затем сложить все левые и правые части уравнений системы (315.4.1), то итоговое уравнение после соответствующих преобразований, позволяющих сократить запись, будет иметь вид:

запись итогового уравнения  (315.4.2)

Теоретически множители α могут иметь такие значения, при которых все выражения в квадратных скобках (множители для Мn в формуле (315.4.2)), кроме последнего, будут равны нулю. На основании этого предположения из уравнения (315.4.2) можно составить еще одну дополнительную систему уравнений:

новая система уравнений трех моментов  (315.4.3)

Количество уравнений в такой системе будет k - 2, с - 1 неизвестными параметрами α. Так как число параметров α на единицу больше количества уравнений, то для решения системы значение одного из этих параметров задается произвольно. Наиболее удобным для дальнейших расчетов будет принять значение α1 = 1. Тогда значения остальных коэффициентов α можно определить, решая систему уравнений (315.4.3):

определение коэффициентов альфа (315.4.4.1)

В общем виде:

определение альфа в общем виде(315.4.5)

Примечание: Если придать абстрактным математическим коэффициентам α конкретный физический смысл, то коэффициенты αn есть не что иное, как такое соотношение моментов на соседних опорах , при котором суммарный угол наклона на рассматриваемой опоре будет равен нулю и тогда эти коэффициенты можно выразить так αn = Mn/Mn-1. Например, если первое уравнение системы (315.4.1) разделить на М1, то это уравнение c учетом вышесказанного можно записать так:

1 преобразованное уравнение системы (315.4.6)

тогда

определение коэффициента альфа из уравнения системы (315.4.4.2)

После подставления определенных вышеуказанным способом параметров α уравнение (315.4.2) примет вид

преобразование итогового уравнения  (315.4.7)

Соответственно значение Мk-1 будет составлять

определение момента из итогового уравнения(315.4.8)

После этого полученное значение Мk-1 подставляется в последнее уравнение системы (315.4.1) и определяется значение Мk-2. Из предпоследнего уравнения после подставления значений Мk-1 и Мk-2 определяется значение Мk-3 и т.д. Таким образом количество неизвестных в уравнениях системы (315.4.1) сводится к одному.

Если на одном или обоих концах балки есть нагруженные консоли, то определить изгибающие моменты на крайних опорах - не проблема. Значения этих моментов подставляются в уравнение трех моментов, как известные величины, тогда в первом и последнем уравнениях также будет по 3 члена. Если один или оба конца рассчитываемой балки защемлены, то жесткое защемление рассматривается как дополнительный пролет с длиной l = 0, таким образом придется составить еще одно или два уравнения.

5. Уравнение трех моментов для балки с переменной жесткостью:

Когда мы умножали обе части уравнения (315.3.1) на 6EI, то тем самым задавали момент инерции I, как некую постоянную величину. Между тем момент инерции также может быть переменной величиной (например, когда многопролетная железобетонная плита имеет различное армирование в пролетах) и для таких случаев уравнение моментов можно записать так:

уравнение 3 моментов для общего случая (315.5.1)

где

приведенные длины пролетов (315.5.2)

Io - момент инерции одного из участков балки, принятый за основу.

Вот, в принципе и все теоретические предпосылки для расчета статически неопределимых конструкций методом моментов. А как эту теорию можно применить на практике, рассказывается отдельно.

На главную домой

Категории:
Оценка пользователей: Нет
Переходов на сайт:10045
Комментарии:
12-07-2016: Владимир

Ответьте пожалуйста правильно ли я интерпретирую Вашу статью: Если на одном или обоих концах балки есть нагруженные консоли, то определить изгибающие моменты на крайних опорах - не проблема. Значения этих моментов подставляются в уравнение трех моментов, как известные величины, тогда в первом и последнем уравнениях также будет по 3 члена. Я подставил консоли и получилось, что уравнение (315.4.8) при расчете Трехпролетной балки с консолями должно рассчитываться так: МС = (сВ * α1 + сС * α2 - МD * Ɩ3 * α2 - МА * Ɩ1 * α1) / (Ɩ2 * α1 + 2 * (Ɩ2 + Ɩ3) * α2) Правильны ли мои выводы?


12-07-2016: Доктор Лом

В целом ваши выводы правильные. Вот только для трехпролетной балки решение может быть проще, так как составляются всего 2 уравнения, а известные значения моментов на крайних опорах переносятся с соответствующим знаком в правую часть уравнений. Таким образом достаточно в первом уравнении выразить МВ через МС, а вторым уравнением найти МС.


15-07-2016: Владимир

Большое спасибо За Вашу работу!!!


Добавить свой комментарий:

Имя:

E-Mail адрес:

Комментарий:

Ваша оценка:

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье "Записаться на прием к доктору" (ссылка в шапке сайта).




советы по строительству и ремонту



После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью и адресом электронной почты. Если вы хотите задать вопрос, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Спасибо. Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий к соответствующей статье.

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

На всякий случай кошелек webmoney: R158114101090

Или: Z166164591614


Доктор Лом. Первая помощь при ремонте, Copyright © 2010-2016