На главную домой советы по ремонту квартиры
Поиск по сайту
Список кабинетов || Что это за доктор? || Записаться на прием

Основное меню


Технологии выполнения работ


Диагностика и лечение


Инженерные сети и коммуникации


Элементы конструкции


Расчет конструкций


Помещения


Встраиваемая техника


Строительные и отделочные материалы


Дизайн




К расчету гибких стержней на действие сжимающей внецентренной нагрузки

Гибкие стержни отличаются от жестких тем, что в результате деформации при действии внецентренных нагрузок, вызывающих появление сжимающих напряжений,  в рассматриваемых поперечных сечениях стержня появляется дополнительный изгибающий момент, значение которого сопоставимо со значением основного момента, возникающего в результате эксцентриситета действия нагрузки. Для жестких стержней этот дополнительный момент настолько мал (поэтому такие стержни и рассматриваются, как жесткие), что этим дополнительным моментом при расчетах пренебрегают.

Если все вышесказанное перевести на более понятный и наглядный язык математики, то это будет выглядеть примерно так:

М = Ne + Nfсум (449.1)

σ = N/φF + M/W ≤ R (449.2)

Конечно же данные формулы являются максимально упрощенными и будут верными только в том случае, если нормальная сила N приложена с эксцентриситетом только относительно одной из главных осей поперечного сечения. При действии эксцентриситета в двух плоскостях формула (449.1) будет выглядеть так:

σ = N/φF + Mz/Wz + My/Wy ≤ R (449.2.1)

Но нам пока хватит и формулы (449.2), чтобы попробовать разобраться в проблеме.

Таким образом вроде бы ничего сложного в таком расчете нет, надо только определить максимальный прогиб fmax, возникающий в рассматриваемых сечениях.

Однако если присмотреться к гибкому стержню повнимательнее, то получается, что дополнительный момент, возникающий в результате прогиба, будет в свою очередь приводить к новому прогибу, назовем его условно f', а этот новый прогиб будет давать новый дополнительный момент, а новый момент - новый прогиб f'' и так до бесконечности. Как же определить этот суммарный прогиб?

Гибкий стержень с жестким защемлением

И тут нам на помощь опять приходит математика и знание основ теории сопротивления материалов. Рассмотрим как это происходит на примере стержня с одной жестко защемленной опорой. Расчетные схемы для стержней при действии внецентренной нагрузки (таблица 448.1.1, расчетная схема 1.1) позволяют нам достаточно просто определить значение прогиба на конце стержня, именно этот прогиб и будет максимальным.

эпюры для гибкого стержня с одной жестко защемленной опорой при действии внецентренной нагрузки

Рисунок 449.1. Расчетная схема и эпюры для гибкого стержня с одной жестко защемленной опорой при действии внецентренной сжимающей силы.

На рисунке 449.1 мы видим эпюры касательных напряжений Q, нормальных напряжений N, момента Ме, возникающего в результате эксцентриситета, эпюру углов поворота поперечных сечений θ, прогиба f, возникающего в результате действия момента от эксцентриситета, а также эпюру дополнительного момента Mf, возникающего в результате прогиба. Как видим, эпюра момента от эксцентриситета является прямоугольной, а эпюра момента от прогиба описывается квадратичной параболой, как и эпюра самого прогиба.

На первый взгляд все правильно, однако если для гибкого стержня мы учитываем момент, возникающий в результате изменения геометрии стержня, то также следует учесть и появление касательных напряжений в поперечных сечениях стержня по той причине, что нормальная сила N перестает быть нормальной из-за появления угла поворота сечений (согласно эпюре θ), а значит ее можно разложить на вертикальную и горизонтальную составляющие. При этом в данном случае горизонтальная составляющая по всей длине стержня и будет эпюрой касательных напряжений Qf. Соответственно немного изменится эпюра N, а вот эпюры Мf, θf и ff будут выглядеть также:

эпюры напряжений для гибкого стержня, изменившиеся в результате прогиба

Рисунок 449.2. Уточненные эпюры напряжений, возникающих при прогибе, для стержня с жестким защемлением.

Проверим справедливость наших предположений о виде эпюры Мf, так как это важно для дальнейшего расчета.

Эпюра моментов Мf на рисунке 449.1

Как мы знаем из курса строительной механики, прогиб - не что иное как результат интегрирования уравнения углов поворота или результат двойного интегрирования уравнения моментов с учетом жесткости стержня. Из этого следует, что эпюра момента от прогиба Mf описывается квадратичной параболой, так как значение нормальной силы остается неизменным, а изменение дополнительного эксцентриситета, который и есть прогиб, описывается уравнением прогиба. Соответственно дополнительный прогиб от момента, вызванного прогибом, будет равен площади кубической параболы - эпюры углов поворота, вызванных прогибом или площади квадратной параболы - эпюры Мf, умноженной на расстояние от начала координат до центра тяжести эпюры, если определять значение прогиба графоаналитическим методом.

Уравнение моментов от прогиба можно записать в следующем виде:

Мf = Nfmax - Nfх (449.3)

Для наглядности предположим, что максимальный прогиб в результате действия эксцентриситетного момента равен эксцентриситету e = f (хотя в действительности такое лучше не допускать, но об этом позже). Тогда максимальный прогиб от эксцентриситета:

fmax = (Nel·l/2)/EI = Nel2/2EI (449.4)

а прогиб от прогиба при е = fmax

f'max = ((2Nel/3)3l/8)/EI = Nel2/4EI (449.5)

т.е. дополнительный прогиб от прогиба будет в два раза меньше, чем основной прогиб. Если для упрощения расчетов предположить, что эпюра моментов от дополнительного прогиба Mf' также будет описываться квадратной параболой (хотя это и не совсем так), то следующий прогиб f'' составит 1/2 от прогиба f' или 1/4 от прогиба f. Таким образом мы получаем следующий логический ряд:

fсум = f + f' + f'' + f''' + ... + fn = 1 +1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 0 = 1 + 1/2 + (1/2)2 + (1/2)3 + (1/2)4 + ... + 0 = 2f (449.6)

Другими словами, общий прогиб при принятой расчетной схеме будет в 2 раза больше прогиба от эксцентриситета.

Однако в этом случае нам следует принять, что эпюра моментов от прогиба f' описывается параболой в 4 степени, эпюра моментов от прогиба f'' - параболой в 6 степени и так далее, и этот логический ряд приведет нас к тому, что эпюра моментов будет стремиться опять к прямоугольнику, а значит и эпюра прогибов - к эпюре, описанной квадратной параболой. Но эпюра прогибов у нас соответствует эпюре моментов от прогиба и получается логическое несоответствие. Да и трудно объяснить, почему вдруг почти на самом конце стержень вдруг деформируется под углом почти 90°.

Эпюра моментов Мf на рисунке 449.2

Появление угла наклона сечений приведет к крайне незначительному уменьшению нормальных напряжений. Так даже при угле наклона 10° косинус этого угла, следовательно и значение вертикальной составляющей нагрузки составит Nfmin = cos10° = 0.985N. А вот значение горизонтальной составляющей при таком угле будет Qfmax = sin10° = 0.174N. Тогда, если учесть появление касательных напряжений, а изменение нормальных напряжений по длине стержня не учитывать, то уравнение момента от прогиба будет иметь следующий вид:

Мf = Nfmax - Nfх + Qx2/2 (449.3.2)

При этом

fx = Nex2/2EI (449.7)

Так как и прогиб и момент от действия касательных напряжений (поперечных сил) описываются квадратичной зависимостью и чем больше прогиб, тем больше значение касательных напряжений, то можно допустить, что уравнение моментов значительно упростится (до Mf = Nfmax) и эпюра моментов от прогиба опять будет прямоугольной. В этом случае мы избавляемся от логического несоответствия при рассмотрении эпюр напряжений, возникающих в результате прогибов f', f'', f''' и так далее. А кроме того, это позволяет значительно упростить расчеты.

Таким образом, если рассматривать эпюру Мf на рисунке 449.2 как более верный вариант, то получается, что при fmax = e, f' = e, f'' = e и так до бесконечности. Другими словами суммарный прогиб будет стремиться к бесконечности и стержень явно потеряет устойчивость.

Отсюда мы можем определить критическое значение нормальной силы, при котором стержень теряет устойчивость, если остальные параметры (длина и жесткость) остаются постоянными:

fmax = e = Nкрel2/2EI (449.8)

тогда

Nкрl2/2EI = 1 (449.9.1)

или

Nл.кр = 2EI/l2 (449.9.2)

Т.е., если значение нормальной силы приближается к некоему максимуму Nкр, а тем более будет больше, то стержень теряет устойчивость. При приближении значения нормальной силы N к Nкр прогиб будет сильно нарастать. Например, при N = Nкр/2 суммарный прогиб, как мы уже выяснили, будет стремиться к 2f. А при N = 11Nкр/12 суммарный прогиб составит 12f. А вообще формула для определения суммарного прогиба будет выглядеть так:

fсум = f/(1 - N/Nкр) (449.10)

В нашем случае, когда при начальном прогибе, равном эксцентриситету, возникает критическая сила, формулу (449.10) можно записать и так:

fсум = f/(1 - f/e) (449.10)

Как мы знаем, математик Л. Эйлер определил значение критической силы, при которой происходит потеря устойчивости, как

Nэ.кр = п2EI/(μl)2 (449.11)

В рассматриваемом случае стержень имеет одну опору - жесткое защемление, т.е. μ = 2 и тогда

Nэ.кр = 3.142EI/4l2 = 2.467EI/l2 (449.11.2)

Однако, Эйлер определил значение критической силы для стержня с 2 шарнирными опорами, при действии центрально приложенной нормальной сжимающей силы, и допустив, что суммарный прогиб такого стержня описывается синусоидой.

Таким образом решение Эйлера является достаточно приближенным и наиболее подходящим для стержня с двумя шарнирными опорами, о чем и сообщается практически во всех учебниках и справочниках по сопромату. Тем не менее разница существенная - почти в 1.24 раза.

Примечание: Если рассматривать прогиб от эксцентриситета внецентренно приложенной нагрузки, как продольный изгиб стержня, возникающий даже при центрально приложенной нагрузке по ряду причин, перечисленных отдельно, то значение критической силы, определенное нами при внецентренно приложенной нагрузке, применимо и при центральном приложении нагрузки.

Изложенный выше метод определения критической силы также является достаточно приблизительным. Эпюра моментов Mf вряд ли будет представлять собой прямоугольник, хотя эпюры от дальнейших прогибов будут к нему стремиться. Поэтому более точное значение критической силы для данного случая загружения будет где-то между 2EI/l2 и 2.467EI/l2.

Что же по этому поводу говорят современные строительные нормативные документы?

А в СНиПах и СП как правило регламентируется решение обратной задачи. Т.е. изначально известна нагрузка, а уже под нее нужно подобрать сечение сжимаемого элемента. Однако нам ничего не мешает решить и прямую задачу, т.е. определить максимально допустимую нагрузку, приложенную по центру тяжести, поперечного сечения, для стержня с известным сечением.

Например, у нас имеется профильная труба сечением 100х100х4 мм длиной 3 м, забетонированная в основании и таким образом представляющая собой стержень с жестким защемлением. Момент инерции такой трубы составляет I = 225.1 см4, а радиус инерции i = 3.88 см, площадь сечения F = 14.95 см2. Расчетное сопротивление стали примем равным R = 2000 кг/см2.

Если воспользоваться СНиП СНиП II-23-81* "Стальные конструкции", то мы можем сначала определить гибкость стержня

λ = μl/i = 2·300/3.88 = 154.6 ≈ 155

тогда коэффициент продольного изгиба составит φ = 0.309 (определяется по таблице 19* методом интерполяции)

а максимально допустимая нормальная сила (вертикальная нагрузка)

N = φFR = 0.309·14.95·2000 = 9239.1 кг

Если определять для такой трубы критическую силу по формуле Эйлера, то

Nэ.кр = 3.142EI/2l2 = 9.87·2000000·225.1/(2·300)2 = 12342.9 кг 

А если по формуле (449.9.2), то:

Nл.кр = 2EI/l2 = 2·2000000·225.1/3002 = 10004.5 кг 

Как видим, значение критической силы, определенной по формуле (449.9.2) ближе к значению максимально допустимой силы, определенной по формуле Эйлера.

Между тем при длине стержня 1 м результаты будут совершенно другими

Nэ.кр = 3.142EI/2l2 = 9.87·2000000·225.1/(2·100)2 = 111082 кг 

λ = μl/i = 2·100/3.88 = 51.5

коэффициент продольного изгиба φ = 0.865, а максимально

N = φFR = 0.865·14.95·2000 = 25863.1 кг

Вот такая разница. Именно поэтому Ф.С. Ясинский предложил при достаточно малых значениях гибкости использовать уточненную формулу Эйлера. Впрочем, к данной статье это большого отношения не имеет.

Дело в том, что максимально допустимая нагрузка и критическая сила - принципиально разные понятия. Так определение критической силы можно рассматривать как расчет по 2 группе предельных состояний. Такой расчет показывает, при каком значении нагрузки произодет потеря устойчивости стержня, даже если расчетное сопротивление материала стремится, условно говоря, к бесконечности. А определение максимально допустимой нагрузки можно рассматривать вроде бы как расчет по прочности, т.е. по 1 группе предельных состояний, ведь расчет выполняется на основе значений расчетного сопротивления материала и площади поперечного сечения, но при этом учитывается гибкость элемента.

В связи с этим расчет на устойчивость сжатых стержней является как бы комбинацией расчета по 1 и по 2 группе предельных состояний.

Так как нормативные документы основаны не только на теоретических предпосылках, но еще и на многолетнем опыте проектирования, данных испытания различных конструкций и прочей весьма полезной информации, то расчет строительных конструкций конечно же нужно производить на основании действующих нормативных документов, тем не менее проверить значение критической силы тоже никогда не помешает.

Ну а мы тем временем продолжим рассмотрение теоретической части.

Гибкий стержень с двумя шарнирными опорами

Для стержня с 2 шарнирными опорами при действии внецентренной нормальной сжимающей силы, приложенной к верхней опоре, все будет значительно сложнее и не так наглядно, как для стержня с одной жестко защемленной опорой.

Для такого стержня эпюра моментов от эксцентриситета будет треугольной, при этом максимальный момент от эксцентриситета будет в точке приложения силы. А вот эпюра моментов от прогиба будет действительно ближе по виду к эпюре прогиба, описываемой кубической зависимостью, чем к треугольной эпюре моментов от эксцентриситета. Максимальный прогиб при этом будет не посредине стержня, а ближе к опоре, к которой приложена сжимающая сила (на расстоянии примерно 0.422l), в этой точке значение момента от эксцентриситета будет составлять 0.578Ne. В связи с этим уравнение прогиба будет достаточно сложным, да сравнивать моменты от эксцентриситета и от прогиба некорректно.

Тем не менее, если мы будем рассматривать эпюру моментов от прогиба как кубическую параболу и допустим, что максимальный прогиб будет посредине стержня, то момент от эксцентриситета в этом сечении составит 0.5Ne, а прогиб от эксцентриситета приложения нагрузки:

fl/2 = Nel2/16EI (449.12)

Соответственно прогиб от прогиба, определенный графоаналитическим методом, составит:

f'l/2 = ((3Nel/8)3l/(5·2)EI = 9Nel2/80EI (449.13)

Но это все равно больше, чем прогиб от эксцентриситета и в итоге стержень потеряет устойчивость даже раньше.

Таким образом значение прогиба от эксцентриситета, при котором стержень начнет терять устойчивость, будет составлять

9х/80 = 1/16

х = 80/(16·9) = 0.555

Другими словами, при прогибе от эксцентриситета f = 0.555e будет достигнуто значение критической силы или

Nл.кр = 16·0.555EI/l2 = 8.889EI/l2 (449.9.2.3)

Такое значение достаточно близко к значению критической силы, полученной Эйлером для стержня с двумя шарнирными опорами. Впрочем, как я уже говорил, некорректно сравнивать прогиб от эксцентриситета и прогиб возникающий в результате деформации стержня при центрально приложенной нагрузке.

Ну а чтобы все вышесказанное было более наглядным, рассмотрим следующий

Пример расчета гибкого стержня на действие внецентренной нагрузки

Имеется столб из деревянного бруса сечением 6х6 см. Один конец бруса забетонирован в земле, что позволяет рассматривать брус, как стержень с одной жестко защемленной опорой. На верху столба закреплен груз весом N = 100 кг, с эксцентриситетом от центральной оси e = 10 см, длина (высота) столба l = 3 метра. Собственным весом бруса мы для упрощения расчетов пренебрегаем.

Тогда момент от эксцентриситета

М = Ne = 100·10 = 1000 кгс·см

прогиб от момента

f = Ml2/2EI = 1000·3002/(2·108·105) = 32·100/(2·108) = 4.17 см

где момент инерции поперечного сечения I = 64/12 = 108 cм3, модуль упругости для древесины Е = 105 кг/см2.

Тогда суммарный прогиб

fсум = 4.17/(1 - 4.17/10) = 7.15 см

М = 1000 + 100·7.15 = 1715 кгс·см

σ = 100/(0.26·36) + 1715/36 = 10.68 + 47.64 = 58.32 кг/см2 < R = 130 кг/см2.

где φ = 0.26 (по графику 250.1), момент сопротивления W = 63/6 = 36 см3.

Как видим прочность столба обеспечена, еще и с хорошим запасом, а вот вид у столба с отклонением от оси до 7.15 см может быть не очень привлекательным.

Примечание: К сожалению я не нашел в технической литературе простого и внятного ответа на вопрос, как рассчитывать гибкие стержни на действие внецентренной нагрузки, в связи с этим и написал данную статью.

На главную домой

Категории:
Оценка пользователей: Нет
Переходов на сайт:389
Комментарии:

Комментариев нет

Добавить свой комментарий:

Имя:

E-Mail адрес:

Комментарий:

Ваша оценка:

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье "Записаться на прием к доктору" (ссылка в шапке сайта).




советы по строительству и ремонту



После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью и адресом электронной почты. Если вы хотите задать вопрос, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Спасибо. Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий к соответствующей статье.

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

На всякий случай кошелек webmoney: R158114101090

Или: Z166164591614


Доктор Лом. Первая помощь при ремонте, Copyright © 2010-2016