Мсум = Ne + Nfсум (449.1)
σ = N/φF + M/W ≤ R (449.2.1)
где М = Ne, или
σ = N/F + Mсум/W ≤ R (449.2.2)
Конечно же данные формулы являются максимально упрощенными и будут верными только в том случае, если нормальная сила N приложена с эксцентриситетом только относительно одной из главных осей поперечного сечения. При действии эксцентриситета в двух плоскостях формула (449.1) будет выглядеть так:
σ = N/φF + Mz/Wz + My/Wy ≤ R (449.2.1)
Но нам пока хватит и формулы (449.2), чтобы попробовать разобраться в проблеме.
Таким образом вроде бы ничего сложного в таком расчете нет, надо только определить максимальный прогиб fmax, возникающий в рассматриваемых сечениях.
Однако если присмотреться к гибкому стержню повнимательнее, то получается, что дополнительный момент, возникающий в результате прогиба, будет в свою очередь приводить к новому прогибу, назовем его условно f', а этот новый прогиб будет давать новый дополнительный момент, а новый момент - новый прогиб f'' и так до бесконечности. Как же определить этот суммарный прогиб?
Гибкий стержень с жестким защемлением
И тут нам на помощь опять приходит математика и знание основ теории сопротивления материалов. Рассмотрим как это происходит на примере стержня с одной жестко защемленной опорой. Расчетные схемы для стержней при действии внецентренной нагрузки (таблица 448.1.1, расчетная схема 1.1) позволяют нам достаточно просто определить значение прогиба на конце стержня, именно этот прогиб и будет максимальным.
Рисунок 449.1. Расчетная схема и эпюры для гибкого стержня с одной жестко защемленной опорой при действии внецентренной сжимающей силы.
На рисунке 449.1 мы видим эпюры касательных напряжений Q, нормальных напряжений N, момента Ме, возникающего в результате эксцентриситета, эпюру углов поворота поперечных сечений θ, прогиба f, возникающего в результате действия момента от эксцентриситета, а также эпюру дополнительного момента Mf, возникающего в результате прогиба. Как видим, эпюра момента от эксцентриситета является прямоугольной, а эпюра момента от прогиба описывается квадратичной параболой, как и эпюра самого прогиба.
На первый взгляд все правильно, однако если для гибкого стержня мы учитываем момент, возникающий в результате изменения геометрии стержня, то также следует учесть и появление касательных напряжений в поперечных сечениях стержня по той причине, что нормальная сила N перестает быть нормальной из-за появления угла поворота сечений (согласно эпюре θ), а значит ее можно разложить на вертикальную и горизонтальную составляющие. При этом в данном случае горизонтальная составляющая по всей длине стержня и будет эпюрой касательных напряжений Qf. Соответственно немного изменится эпюра N, а вот эпюры Мf, θf и ff будут выглядеть также:
Рисунок 449.2. Уточненные эпюры напряжений, возникающих при прогибе, для стержня с жестким защемлением.
Проверим справедливость наших предположений о виде эпюры Мf, так как это важно для дальнейшего расчета.
Эпюра моментов Мf на рисунке 449.1
Как мы знаем из курса строительной механики, прогиб - не что иное как результат интегрирования уравнения углов поворота или результат двойного интегрирования уравнения моментов с учетом жесткости стержня. Из этого следует, что эпюра момента от прогиба Mf описывается квадратичной параболой, так как значение нормальной силы остается неизменным, а изменение дополнительного эксцентриситета, который и есть прогиб, описывается уравнением прогиба. Соответственно дополнительный прогиб от момента, вызванного прогибом, будет равен площади кубической параболы - эпюры углов поворота, вызванных прогибом или площади квадратной параболы - эпюры Мf, умноженной на расстояние от начала координат до центра тяжести эпюры, если определять значение прогиба графоаналитическим методом.
Уравнение моментов от прогиба можно записать в следующем виде:
Мf = Nfmax - Nfх (449.3)
Для наглядности предположим, что максимальный прогиб в результате действия эксцентриситетного момента равен эксцентриситету e = f (хотя в действительности такое лучше не допускать, но об этом позже). Тогда максимальный прогиб от эксцентриситета:
fmax = (Nel·l/2)/EI = Nel2/2EI (449.4)
а прогиб от прогиба при е = fmax
f'max = ((2Nel/3)3l/8)/EI = Nel2/4EI (449.5)
т.е. дополнительный прогиб от прогиба будет в два раза меньше, чем основной прогиб. Если для упрощения расчетов предположить, что эпюра моментов от дополнительного прогиба Mf' также будет описываться квадратной параболой (хотя это и не совсем так), то следующий прогиб f'' составит 1/2 от прогиба f' или 1/4 от прогиба f. Таким образом мы получаем следующий логический ряд:
fсум = f + f' + f'' + f''' + ... + fn = 1 +1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 0 = 1 + 1/2 + (1/2)2 + (1/2)3 + (1/2)4 + ... + 0 = 2f (449.6)
Другими словами, общий прогиб при принятой расчетной схеме будет в 2 раза больше прогиба от эксцентриситета.
Однако в этом случае нам следует принять, что эпюра моментов от прогиба f' описывается параболой в 4 степени, эпюра моментов от прогиба f'' - параболой в 6 степени и так далее, и этот логический ряд приведет нас к тому, что эпюра моментов будет стремиться опять к прямоугольнику, а значит и эпюра прогибов - к эпюре, описанной квадратной параболой. Но эпюра прогибов у нас соответствует эпюре моментов от прогиба и получается логическое несоответствие. Да и трудно объяснить, почему вдруг почти на самом конце стержень вдруг деформируется под углом почти 90°.
Эпюра моментов Мf на рисунке 449.2
Появление угла наклона сечений приведет к крайне незначительному уменьшению нормальных напряжений. Так даже при угле наклона 10° косинус этого угла, следовательно и значение вертикальной составляющей нагрузки составит Nfmin = cos10° = 0.985N. А вот значение горизонтальной составляющей при таком угле будет Qfmax = sin10° = 0.174N. Тогда, если учесть появление касательных напряжений, а изменение нормальных напряжений по длине стержня не учитывать, то уравнение момента от прогиба будет иметь следующий вид:
Мf = Nfmax - Nfх + Qx2/2 (449.3.2)
При этом
fx = Nex2/2EI (449.7)
Так как и прогиб и момент от действия касательных напряжений (поперечных сил) описываются квадратичной зависимостью и чем больше прогиб, тем больше значение касательных напряжений, то можно допустить, что уравнение моментов значительно упростится (до Mf = Nfmax) и эпюра моментов от прогиба опять будет прямоугольной. В этом случае мы избавляемся от логического несоответствия при рассмотрении эпюр напряжений, возникающих в результате прогибов f', f'', f''' и так далее. А кроме того, это позволяет значительно упростить расчеты.
Таким образом, если рассматривать эпюру Мf на рисунке 449.2 как более верный вариант, то получается, что при fmax = e, f' = e, f'' = e и так до бесконечности. Другими словами суммарный прогиб будет стремиться к бесконечности и стержень явно потеряет устойчивость.
Отсюда мы можем определить критическое значение нормальной силы, при котором стержень теряет устойчивость, если остальные параметры (длина и жесткость) остаются постоянными:
fmax = e = Nкрel2/2EI (449.8)
тогда
Nкрl2/2EI = 1 (449.9.1)
или
Nл.кр = 2EI/l2 (449.9.2)
Т.е., если значение нормальной силы N приближается к некоему максимуму Nкр, а тем более будет больше, то стержень теряет устойчивость. При приближении значения нормальной силы N к Nкр прогиб будет сильно нарастать. Например, при N = Nкр/2 суммарный прогиб, как мы уже выяснили, будет стремиться к 2f. А при N = 11Nкр/12 суммарный прогиб составит 12f. А вообще формула для определения суммарного прогиба будет выглядеть так:
fсум = f/(1 - N/Nкр) (449.10.1)
В нашем случае, когда при начальном прогибе, равном эксцентриситету, возникает критическая сила, формулу (449.10) можно записать и так:
fсум = f/(1 - f/e) (449.10.2)
Как мы знаем, математик Л. Эйлер определил значение критической силы, при которой происходит потеря устойчивости, как
Nэ.кр = п2EI/(μl)2 (449.11.1)
В рассматриваемом случае стержень имеет одну опору - жесткое защемление, т.е. μ = 2 и тогда
Nэ.кр = 3.142EI/4l2 = 2.467EI/l2 (449.11.2)
Однако, Эйлер определил значение критической силы для стержня с 2 шарнирными опорами, при действии центрально приложенной нормальной сжимающей силы, решая приближенное дифференциальное уравнение второго порядка.
Таким образом решение Эйлера является достаточно приближенным и наиболее подходящим для стержня с двумя шарнирными опорами, о чем и сообщается практически во всех учебниках и справочниках по сопромату. Тем не менее разница существенная - почти в 1.24 раза.
Примечание: Если рассматривать прогиб от эксцентриситета внецентренно приложенной нагрузки, как продольный изгиб стержня, возникающий даже при центрально приложенной нагрузке по ряду причин, перечисленных отдельно, то значение критической силы, определенное нами при внецентренно приложенной нагрузке, применимо и при центральном приложении нагрузки.
Изложенный выше метод определения критической силы также является достаточно приблизительным. Эпюра моментов Mf вряд ли будет представлять собой прямоугольник, хотя эпюры от дальнейших прогибов будут к нему стремиться. Поэтому более точное значение критической силы для данного случая загружения будет где-то между 2EI/l2 и 2.467EI/l2.
При расчетах строительных конструкций нас интересует даже не значение критической силы, а значение допустимой силы N, которую способен выдержать сжатый стержень. Как мы уже выяснили, допустимая сила всегда меньше критической силы хотя и может к ней стремиться.
Коэффициент продольного изгиба φ
Чтобы упростить расчеты (не определять каждый раз значение критической силы) было введено понятие коэффициента продольного изгиба. Коэффициент продольного изгиба показывает отношение действующей силы к максимально возможной силе, которую может выдержать рассматриваемое сечение.
Например, если рассматривается бесконечно жесткий стержень (чего, понятное дело, не бывает) или просто куб, изготовленный из некоего материала, то предполагается, что нормальные напряжения в поперечных сечениях таких образцов равномерно распределяются по всей площади поперечного сечения. Таким образом максимально возможная продольная сжимающая сила, которую может выдержать образец, равна:
Nв = FR (449.12)
где F = bh - площадь поперечного сечения образца (см формулу 499.2), b - ширина сечения, h - высота сечения
R - расчетное сопротивление материала.
Более того, на основании этой формулы и определяется расчетное сопротивление различных материалов в лабораторных условиях, потому что:
R = Nв/F (499.13)
а значит, коэффициент продольного изгиба равен:
φ = N/Nв = (N/Nкр)(Nкр/Nв) (499.14.1)
если рассматривать отношение Nкр/Nв, как коэффициент продольного изгиба Эйлера, то
φэ = (п2EI/(μl)2)/FR = (п2EI/((μl)2FR) (499.14.2)
Таким образом коэффициент продольного изгиба устанавливает взаимоотношение между упругими и прочностными характеристиками материала.
А чтобы формулу (499.14.2) еще больше упростить, Эйлер ввел понятие гибкости λмc:
φэ = п2Е/(λ2мсR) (499.15)
где
λмc2 = (μl)2F/I (499.16.1)
соответственно
λмc = μl√F/I (499.16.2)
или
λмc = μl/√I/F (499.16.3)
где
√I/F = i (499.17)
i - радиус инерции рассматриваемого поперечного сечения, тоже достаточно информативная величина. Таким образом гибкость любого сжатого стержня определяется по формуле:
λмс = μl/i (499.18)
Но и это еще не все. Упругие и прочностные характеристики материала несопоставимы (более подробно эта особенность будет рассмотрена на конкретном примере). Поэтому потребовалось определить граничные условия, при которых формула Эйлера выполняется. Эйлер с этим блестяще справился, разделив обе части уравнения (499.11.1) на F:
Nэ.кр/F = σэ.кр = п2EI/(F(μl)2) ≤ R (499.19)
т.е. когда нормальные напряжения, возникающие при действии критической силы в рассматриваемом поперечном сечении меньше или равны расчетному сопротивлению, формула критической силы Эйлера применима. Если больше - то нужно вносить поправки в значение коэффициента продольной деформации с учетом расчетного сопротивления материала, что и сделал Ф.С. Ясинский.
А значение λ, полученное из формулы (499.19) и позже обозначенное как λ1 - первая предельная гибкость, показывает минимальное значение гибкости, при которой соблюдается формула критической силы Эйлера. Если у стержня гибкость больше первой предельной, то такой стержень считается гибким и рассчитывается по формуле Эйлера. Если гибкость стержня меньше первой предельной, то такой стержень считается более жестким и рассчитывается с учетом поправок Ясинского, впрочем, расчет более жестких стержней в данной статье не рассматривается.
Ну и самое главное - вывод формулы первой предельной гибкости из правой части уравнения (499.19):
λ21 = п2Е/R (499.20.1)
соответственно
λ1 = п√Е/R (499.20.2)
Таким образом, зная модуль упругости и расчетное сопротивление материала, мы можем сразу определить первую предельную гибкость. Например для древесины 2 сорта:
λ1д2с = 3.14√100000/130 = 87.1 (499.20.2.1)
для стали с235 при толщине проката до 20 мм
λ1с245 = 3.14√2000000/2450 = 89.75 (499.20.2)
для стали с590 при толщине проката до 36 мм
λ1с590 = 3.14√2000000/5250 = 61.3 (499.20.3)
для бетона В30
λ1В30 = 3.14√325000/170 = 137.4 (499.20.3)
для гетинакса (очень примерно)
λ1г = 3.14√13000/100 = 35.8 (499.20.4)
Таким образом, зная упругие и прочностные характеристики материалов можно зараннее вычислить значения коэффициента продольного изгиба для любых значений гибкости. Так многие нормативные документы по расчету строительных конструкций уже содежат таблицы, по которым достаточно легко и быстро можно определить значение φ в зависимости от λ. За что отдельное большое спасибо создателям нормативных документов.
Давайте попробуем
определить φ согласно актуализированным строительным нормативным документам
В СНиПах и СП как правило регламентируется решение обратной задачи. Т.е. изначально известна нагрузка, а уже под нее нужно подобрать сечение сжимаемого элемента. Однако нам ничего не мешает решить и прямую задачу, т.е. определить максимально допустимую нагрузку, приложенную по центру тяжести, поперечного сечения, для стержня с известным сечением.
Например, у нас имеется профильная труба сечением 100х100х4 мм длиной 3 м, забетонированная в основании и таким образом представляющая собой стержень с жестким защемлением. Момент инерции такой трубы составляет I = 225.1 см4, а радиус инерции i = 3.88 см, площадь сечения F = 14.95 см2. Расчетное сопротивление стали примем равным R = 2050 кг/см2.
Если воспользоваться СНиП СНиП II-23-81* "Стальные конструкции", то мы можем сначала определить гибкость стержня
λмс = μl/i = 2·300/3.88 = 154.6 ≈ 155
Такая гибкость больше минимально допустимой, значит стержень можно рассчитывать по формулам Эйлера, но сначала воспользуемся готовой таблицей. Коэффициент продольного изгиба составит:
φн = 0.3105
определяется по таблице 2 методом интерполяции.
А максимально допустимая нормальная сила (вертикальная нагрузка)
N = φFR = 0.3105·14.95·2050 = 9516.1 кг
Если определять для такой трубы критическую силу по формуле Эйлера, то
Nэ.кр = 3.142EI/2l2 = 9.87·2000000·225.1/(2·300)2 = 12342.9 кг
А если по формуле (449.9.2), то:
Nл.кр = 2EI/l2 = 2·2000000·225.1/3002 = 10004.5 кг
А теперь определим φ по ЭЙлеру:
φэ = 12342.9/(14.95·2050) = 0.414
По моему методу:
φл = 10004.5/(14.95·2050) = 0.326
Таким образом в данном случае 0.3105/0.414 = 0.75 - это отношение N/Nкр (если определять по моему методу, то N/Nкр = 0.95). Но продолжим.
При длине стержня 1.7464 м и марке стали с245 (для которой мы уже определили λ1) результаты будут совершенно другими
Nэ.кр = 3.142EI/2l2 = 9.87·2000000·225.1/(2·174.64)2 = 36421.5 кг
Nл.кр = 2EI/l2 = 2·2000000·225.1/174.642 = 29522.1 кг
λ = μl/i = 2·17464/3.88 = 90
Гибкость больше допустимой поэтому можно использовать формулы Эйлера. Но сначала определим коэффициент продольного изгиба φ = 0.612 по таблице, а максимально возможная нагрузка при этом:
Nв = FR = 14.95·2450 = 36627.5 кг
φ по ЭЙлеру:
φэ = 36421.5/(14.95·2450) = 1
что в принципе логично. Таким образом в данном случае N/Nкр = 0.612.
Тут лишь еще раз отмечу, что максимально допустимая нагрузка и критическая сила - принципиально разные понятия. Так определение критической силы можно рассматривать как расчет по 2 группе предельных состояний. Такой расчет показывает, при каком значении нагрузки произойдет потеря устойчивости стержня, даже если расчетное сопротивление материала стремится, условно говоря, к бесконечности. А определение максимально допустимой нагрузки можно рассматривать вроде бы как расчет по прочности, т.е. по 1 группе предельных состояний, ведь расчет выполняется на основе значений расчетного сопротивления материала и площади поперечного сечения, но при этом учитывается гибкость элемента.
В связи с этим расчет на устойчивость сжатых стержней является как бы комбинацией расчета по 1 и по 2 группе предельных состояний.
Так как нормативные документы основаны не только на теоретических предпосылках, но еще и на многолетнем опыте проектирования, данных испытаний различных конструкций и прочей весьма полезной информации, то расчет строительных конструкций конечно же нужно производить на основании действующих нормативных документов, для которых значение коэффициента продольного изгиба определяется по эмпирическим формулам. Но иногда бывают ситуации, когда нужно рассчитать ну очень гибкий стержень, для которого нельзя найти значение φ по таблице или по формуле. Подобный случай рассмотрим несколько позже, а пока продолжим рассмотрение теоретической части.
Гибкий стержень с двумя шарнирными опорами
Для стержня с 2 шарнирными опорами при действии внецентренной нормальной сжимающей силы, приложенной к верхней опоре, все будет значительно сложнее и не так наглядно, как для стержня с одной жестко защемленной опорой.
Для такого стержня эпюра моментов от эксцентриситета будет треугольной, при этом максимальный момент от эксцентриситета будет в точке приложения силы. А вот эпюра моментов от прогиба будет действительно ближе по виду к эпюре прогиба, описываемой кубической зависимостью, чем к треугольной эпюре моментов от эксцентриситета. Максимальный прогиб при этом будет не посредине стержня, а ближе к опоре, к которой приложена сжимающая сила (на расстоянии примерно 0.422l), в этой точке значение момента от эксцентриситета будет составлять 0.578Ne. В связи с этим уравнение прогиба будет достаточно сложным, да сравнивать моменты от эксцентриситета и от прогиба некорректно.
Тем не менее, если мы будем рассматривать эпюру моментов от прогиба как кубическую параболу и допустим, что максимальный прогиб будет посредине стержня, то момент от эксцентриситета в этом сечении составит 0.5Ne, а прогиб от эксцентриситета приложения нагрузки:
fl/2 = Nel2/16EI (449.12)
Соответственно прогиб от прогиба, определенный графоаналитическим методом, составит:
f'l/2 = ((3Nel/8)3l/(5·2)EI = 9Nel2/80EI (449.13)
Но это все равно больше, чем прогиб от эксцентриситета и в итоге стержень потеряет устойчивость даже раньше.
Таким образом значение прогиба от эксцентриситета, при котором стержень начнет терять устойчивость, будет составлять
9х/80 = 1/16
х = 80/(16·9) = 0.555
Другими словами, при прогибе от эксцентриситета f = 0.555e будет достигнуто значение критической силы или
Nл.кр = 16·0.555EI/l2 = 8.889EI/l2 (449.9.2.3)
Nэ.кр = п2ЕI/l2 = 9.86EI/l2 (449.9.2.4)
Такое значение уже ближе к значению критической силы, полученной Эйлером для стержня с двумя шарнирными опорами (разница в 1.11 раза). Впрочем, как я уже говорил, некорректно сравнивать прогиб от эксцентриситета и прогиб возникающий в результате деформации стержня при центрально приложенной нагрузке.
Тем не менее рассмотрение данного примера позволяет сделать вывод, что:
Способ закрепления стержня также оказывает влияние на значение критической силы. Впрочем при рассмотрении только критической силы Эйлера этого не следует.
Ну а чтобы все вышесказанное было более наглядным, рассмотрим следующий
Пример расчета гибкого стержня на действие внецентренной нагрузки
Имеется столб из деревянного бруса сечением 6х6 см. Один конец бруса забетонирован в земле, что позволяет рассматривать брус, как стержень с одной жестко защемленной опорой. На верху столба закреплен груз весом N = 200 кг, с эксцентриситетом от центральной оси e = 5 см, длина (высота) столба l = 3 метра. Собственным весом бруса мы для упрощения расчетов пренебрегаем.
Тогда момент от эксцентриситета
М = Ne = 200·5 = 1000 кгс·см
прогиб от момента
f = Ml2/2EI = 1000·3002/(2·108·105) = 32·100/(2·108) = 4.17 см
где момент инерции поперечного сечения I = 64/12 = 108 cм3, модуль упругости для древесины Е = 105 кг/см2.
Так как прогиб от действия момента меньше прогиба от эксцентриситета то сразу можно сделать вывод, что значение N < Nкр. Более того, на основании вышеизложенного можно сделать вывод, что N/Nкр = 4.17/5 = 0.834 и при таком соотношении стержень проверку на устойчивость не пройдет. А кроме того Nкр = N/0.834 = 240 кг. Но попробуем убедиться в этом в процессе расчетов
Суммарный прогиб
fсум = 4.17/(1 - 0.834) = 25.12 см
М = 1000 + 200·25.12 = 6024.1 кгс·см
σ = 200/36 + 6024.1/36 = 5.55 + 167.33 = 172.9 кг/см2 < R = 130 кг/см2.
где W = 63/6 = 36 см
Критическая сила у нас
Nл.кр = 2EI/l2 = 2·108·105/3002 = 240 кг
φэ = Nл.кр/FR = 240/4680 = 0,05
Попробуем определить значение максимально допустимой нагрузки, решив квадратное уравнение:
N/36 + ((5N + N4.17/(1 - N/240))/36 = 130;
(N + 5N)(1 - N/240) + 4.17N = 4680(1 - N/240);
N + 5N - N2/240 - 5N2/240 + 4.17N = 4680 - 19,5N
29.67N - N2/40 - 4680 = 0;
N2 - 1186.8N + 187200 = 0;
N = 187.29 кг
φ = 0.05·187.29/240 = 0.05·0.78 = 0.039
Теперь попробуем определить значение напряжений по рекомендуемому нормативными документами методу, когда момент от прогиба учитывается коэффициентом продольного изгиба φн.
Сначала определяем гибкость стержня:
i = (a2/12)1/2 = 1.732 см
λ = 2l/i = 2·300/1.732 = 346
Вроде все нормально, стержень достаточно гибкий, но мы обнаруживаем, что по графику 250.1 не можем определить значение φн. Более того, по нормативным документам даже для растянутых стержней гибкость не должна превышать 200, поэтому и на графике максимальное значение гибкости - 200. Если попробовать определить по формуле φ = 3000/λ2, то получим φн = 0.025, тогда по формуле (449.2.1)
σ = 187.29/(0.025·36) + 936.45/36 = 208.1 + 26.01 = 234.11 кг/см2 > R = 130 кг/см2.
Если считать по формуле (449.2.2), что нормами также допустимо, то:
Вроде все нормально, стержень достаточно гибкий, но мы обнаруживаем, что по графику 250.1 не можем определить значение φн. Более того, по нормативным документам даже для растянутых стержней гибкость не должна превышать 200, поэтому и на графике максимальное значение гибкости - 200. Если попробовать определить по формуле φ = 3000/λ2, то получим φн = 0.025, тогда по формуле (449.2.1)
σ = 187.29/(0.025·36) + 936.46/36 = 208.1 + 26.01 = 234.11 кг/см2 > R = 130 кг/см2.
Таким образом при расчете столба, как стержня большой гибкости по методу Эйлера, рекомендованному для расчета стержней большой гибкости, прочность столба будет обеспечена при N = 187.29 кг. А при расчете по нормативным документам, что в принципе не очень допускается, при такой же действующей силе прочность столба будет недостаточной. Такие дела.
Вывод: при необходимости расчета очень гибких стержней значение N/Nкр для обеспечения запаса прочности всегда лучше принимать = 0.4.
Тогда
σ = 96/(0.025·36) + 480/36 = 106.67 + 13.33 = 120 кг/см2 < R = 130 кг/см2.
проверяем по формуле (448.2.2), что нормами также допускается:
σ = 96/36 + 5.57·480/36 = 2.67 + 76.27 = 78.94 кг/см2 < R = 130 кг/см2.
Ну а то, что значения напряжений получились разные, так это не проблема, главное, что прочность и устойчивость стержня обеспечена.
Примечание: К сожалению я не нашел в технической литературе простого и внятного ответа на вопрос, как рассчитывать гибкие стержни на действие внецентренной нагрузки и как именно определяется коэффициент продольного изгиба φ, в связи с этим и написал данную статью. Теперь она будет одной из моих лекций по основам сопротивления материалов. | 
