Основы расчета деревянных центрально-сжатых колон, стоек, подкосов.
Отличие колонн, стоек или подкосов от балок в том, что колонны, стойки и подкосы работают как правило только на сжатие, в то время как балки должны стойко сопротивляться изгибающему моменту, хотя и сжатие при этом также могут испытывать. С точки зрения строительной механики не имеет значения, из какого материала изготовлен элемент, работающий на сжатие, из металла, железобетона, пластика, стекла или древесины. Любой такой элемент, назовем его стержнем, должен выдерживать прикладываемую к нему нагрузку:
σ = N/F ≤ Rс (1.1)
где σ - внутренние нормальные напряжения, возникающие в поперечном сечении сжимаемого элемента, кг/см2;
N - расчетная нагрузка, кг;
F - площадь поперечного сечения колонны, стойки или любого другого элемента, работающего на сжатие, см2;
Rс - расчетное сопротивление древесины сжатию по пределу текучести, кг/см2. Для сосны первого сорта относительно небольшого сечения расчетное сопротивление составляет 140 кгс/см2. Чем ниже сорт, тем меньше расчетное сопротивление. При сечениях элемента более 11х11 см, а также для других пород древесины расчетное сопротивление можно определить по соответствующей таблице.
Суть данной формулы проста -
внутренние нормальные напряжения возникающие в сжимаемых элементах, должны быть меньше или равны расчетному сопротивлению. Это обеспечивает необходимую прочность элемента
Таким образом расчет на прочность по формуле (1.1) можно отнести к расчету по первой группе предельных состояний.
Как видим, по уровню сложности задача относится ко второму, максимум к третьему классу общеобразовательной школы. Однако с точки зрения теории сопротивления материалов все далеко не так просто по ряду причин:
1. Древесина - неоднородный природный материал, к тому же анизотропный. На несущую способность деревянных элементов влияют сучки, трещины, влажность и множество других факторов. В частности влияние размеров сечения учитывается, как мы уже видели разным значением расчетного сопротивления, чем меньше размеры сечения, тем больше влияние возможных дефектов древесины на несущую способность и потому для таких элементов расчетное сопротивление меньше.
2. Формула (1.1) предполагает, что сосредоточенная нагрузка N прикладывается точно к центру тяжести О поперечного сечения сжимаемого элемента. В действительности нагрузка практически всегда будет распределенной, причем далеко не всегда равномерно распределенной, так как идеально выдержать геометрические размеры деревянных элементов конструкции - нереально. Если торец (опорная площадка) колонны или стройки получен в результате распила ручной пилой по дереву - это одно, а если циркулярной пилой, то это совсем другое. В первом случае из-за возможных отклонений в перпендикулярности распила, а также в зависимости от размера зубьев пилы, нагрузка на колонну или стойку будет передаваться не по всей площади сечения, а только там где древесина различных элементов контактирует между собой. Помимо уменьшения площади контакта это также приводит и к появлению эксцентриситета приложения нагрузки. А если есть эксцентриситет, то есть и продольный изгибающий момент, действующий в поперечном сечении колонны или стойки.
3. С точки зрения строительной механики рассчитываемые элементы в данном случае прямолинейны, это означает что все центры тяжести О поперечных сечений рассчитываемых элементов расположены на одной прямой - центральной оси. Но древесина - неоднородный материал, имеющий разную плотность в зависимости от процентного содержания сердцевины, ядра и заболони в поперечном сечении, а кроме того, в результате сушки пиломатериалы часто изменяют свою форму, проще говоря, выгибаются, иногда так, что вообще использование сильно поведенных элементов ставится под вопрос. А это означает, что центры тяжести поперечных сечений по длине колонны или стойки будут смещены относительно центральной оси, что опять же можно рассматривать как эксцентриситет приложения нагрузки.
4. Под действием приложенной нагрузки колонна или стойка очень редко равномерно сжимается подобно пружине по вышеуказанным причинам, но очень часто выгибается в ту или иную сторону, напоминая при этом обычную балку, и такое поведение деревянных элементов следует учитывать при расчетах.
Конечно же, учесть все вышеуказанные отклонения и дефекты для стоек, колон или подкосов, которые в процессе проектирования существуют только на бумаге или в голове проектировщика - нереально. А вот добавить в формулу (1.1) некий поправочный коэффициент, максимально учитывающий вышеизложенные факторы - реально вполне. Таким коэффициентом является коэффициент продольного изгиба φ:
σ = N/φF ≤ Rc (1.2)
Таким образом мы получили формулу для проверки сжимаемых элементов на устойчивость.
Значение коэффициента продольного изгиба φ зависит от гибкости сжимаемого элемента λ. А гибкость элемента в свою очередь зависит от соотношения длины сжимаемого элемента к радиусу инерции поперечного сечения. Физический смысл понятия гибкость сжимаемого элемента приблизительно следующий:
чем больше длина сжимаемого элемента и чем меньше при этом высота и ширина рассчитываемого поперечного сечения элемента, тем больше вероятность того, что действующая на колонну, стойку или подкос нагрузка будет вызывать не равномерное сжатие, но еще и смещение центра тяжести относительно оси х
проще говоря продольный изгиб, а это значит, что сжимающие напряжения в различных точках поперечного сечения будут неодинаковыми.
Например, куб (рисунок 250.1. а) при действии некоторой равномерно распределенной нагрузки по всему сечению будет деформироваться (сжиматься) достаточно равномерно, соответственно гибкость куба будет близка к 0 и потому значение коэффициента продольного изгиба будет близко к 1. Согнуть куб практически не возможно. А если это будет не куб, а стойка квадратного сечения (рисунок 250.1. б), имеющая точно такие же размеры поперечного сечения, то чем больше будет длина стойки, тем больше будет гибкость стойки и значит вероятность того, что стойка не просто сожмется, а еще и выгнется, будет выше. Например, металлический пруток квадратного сечения имеет достаточно большую расчетную прочность и при сечении 2х2 см может выдерживать нагрузки на растяжение до 8-10 тонн (в зависимости от класса стали) вне зависимости от длины. В то же время чем больше будет длина прутка, тем меньше будет прикладываемая нагрузка, при которой центр тяжести поперечного сечения прутка посредине длины начнет смещаться относительно оси y или z, увеличивая таким образом величину эксцентриситета для данного сечения, а чем больше эксцентриситет, тем больше будут нормальные напряжения в этом поперечном сечении, и в итоге пруток согнется (потеряет устойчивость). При достаточно большой длине это может произойти даже под действием собственного веса. А стойка прямоугольного сечения (рисунок 250.1. в) скорее всего выгнется относительно той оси, относительно которой прочностные характеристики стойки меньше:
Рисунок 250.1. Эпюры внутренних напряжений в поперечных сечениях элементов с различными геометрическими параметрами.
На рисунке 250.1 достаточно условно (для большей наглядности) показаны эпюры внутренних сжимающих напряжений σ относительно главных осей z и у, при действии одинаковой по значению распределенной нагрузки на стержни (стойки) из одного материала но с различными геометрическими параметрами. Если посмотреть на деформации, которые возникают в сжимаемых элементах под действием этой нагрузки, то мы увидим, что эпюры сжимающих напряжений очень похожи на величину деформации сжимаемых элементов и в этом нет ничего удивительного, так как эти самые деформации и возникают в результате действия сжимающих напряжений. Более подробно это рассматривалось в статье: "Основы сопромата. Расчет прогиба балки", но сейчас нас интересует другое, а именно:
Так как на куб и два стержня действует одинаковая нагрузка, то и суммарное значение возникающих сжимающих напряжений для всех трех поперечных сечений одинаковое. Однако для куба эти напряжения равномерны (условно, неоднородность материала и прочие факторы конечно влияют, но будем считать влияние этих факторов незначительным), нет ни максимальных ни минимальных значений. В этом случае гибкость куба λ = 0, а коэффициент продольного изгиба φ = 1.
Для стержня (стойки) квадратного сечения по перечисленным выше причинам распределение сжимающих напряжений в плоскости поперечного сечения будет уже не таким равномерным. В результате даже небольшого продольного изгиба в поперечном сечении стойки будут возникать как сжимающие так и растягивающие напряжения, при этом эпюра сжимающих напряжений от действующей нагрузки будет точно такой же, как и для куба, однако суммарная эпюра будет выглядеть приблизительно так, как показано на рисунке 250.1. б. А это означает что максимальные сжимающие напряжения (на рисунке показаны красным цветом), возникающие ближе к граням сечения, будут больше среднего значения (показано синим цветом), которое используется при расчете на прочность.
Для стержня (стойки) прямоугольного сечения прогиб произойдет только вдоль оси z, так как момент сопротивления, да и момент инерции относительно оси у для такого сечения будет минимальным. При этом в поперечном сечении могут возникать не только сжимающие но и растягивающие напряжения, от чего это зависит мы узнаем чуть позже. А пока еще раз посмотрим на эпюры напряжений.
Если бы мы прикладывали к кубу и стержням максимально допустимые по несущей способности нагрузки, то очевидно, что для соблюдения условий формулы (1.1) максимальные значения сжимающих напряжений (обозначены красным цветом) должны быть одинаковыми для куба и двух стержней, а это означает, что среднее значение сжимающих напряжений (обозначено синим цветом) для стержня квадратного сечения будет меньше, чем для куба, а для стержня прямоугольного сечения еще меньше, чем для стержня квадратного сечения. Таким образом эти эпюры можно рассматривать как графическое отображение коэффициента продольного изгиба. Если бы эпюры были построены точно, то приблизительное значение коэффициента продольного изгиба для стержня квадратного сечения, показанного на рисунке 250.1. б) составило φ ≈ 0.75-0.8. А для стержня прямоугольной формы, показанного на рисунке 250.1. в) φ ≈ 0.4-0.45.
Однако картинки - картинками, но для расчета конструкций нужны более точные цифры. СНиП II-25-80(1988) предлагает следующие формулы для расчета коэффициента продольного изгиба в зависимости от значения гибкости:
При λ ≤ 70
φ = 1 - a(λ/100)2 (1.3)
где коэффициент а = 0,8 - для древесины или а = 1 - для фанеры;
при λ > 70
φ = A/λ2 (1.4)
где коэффициент А = 3000 - для древесины или А = 2500 - для фанеры.
Раньше для определения этого соотношения использовались таблицы или графики, в принципе ими можно пользоваться и сейчас, например полученные по графику 250.1 значения будут достаточно близкими к определенным по формулам:
250.2 График зависимости коэффициента продольного изгиба от гибкости.
Удобство данного графика еще и в том, что для определения гибкости необязательно сначала находить радиус инерции, а можно сразу определить коэффициент продольного изгиба по соотношению расчетной длины к высоте или ширине поперечного сечения или по отношению расчетной длины к диаметру, если рассчитываемый стержень имеет круглое сечение. Тем не менее знать, что же такое расчетная длина и почему она бывает разной и что такое радиус инерции, все-таки надо.
Математически гибкость элемента выражается так:
λ = lo/i или λ = lo/ru (1.5)
где lo - расчетная длина стойки (стержня, колонны, подкоса или любого другого сжимаемого элемента).
Расчетная и реальная длина колонны - разные понятия.
Расчетная длина сжимаемого элемента зависит от способа закрепления концов сжимаемого элемента. Варианты значений расчетной длины показаны на графике 250.1 справа. Почему расчетная длина при разных способах закрепления имеет различные значения описывается отдельно.
i или ru - радиус инерции сечения, еще его называют радиусом ядра сечения. Постараюсь объяснить, что такое радиус инерции, как можно более просто и кратко.
Понятие радиус инерции или радиус ядра сечения
полностью справедливо только для круглых сечений. У сечений круглой формы ядро сечения действительно представляет собой круг (рис.250.3. а), у сечений сложной геометрической формы ядро сечения как правило представляет собой эллипс (рис.250.3. г), а у сечений прямоугольной формы ядро сечения представляет собой ромб (рис.250.3. в) или квадрат - для сечений квадратной формы (рис.250.3. б):
Рисунок 250.3. Ядра сечения и радиусы инерции для сечений различных геометрических форм.
Физический смысл ядра сечения следующий
нагрузка к сжимаемому элементу далеко не всегда прикладывается к центру тяжести поперечного сечения. На рисунке 250.1 показана равномерно распределенная нагрузка, равнодействующая которой приложена именно к центру тяжести О. Но если бы к кубу (рис.250.1 а) была приложена неравномерно распределенная нагрузка или некая сосредоточенная нагрузка N, то суммарная эпюра сжимающих напряжений зависела бы от точки приложения сосредоточенной нагрузки или равнодействующей неравномерно распределенной нагрузки. Если бы сосредоточенная нагрузка прикладывалась относительно недалеко от центра тяжести поперечного сечения, то эпюра сжимающих напряжений выглядела бы, как на рис.250.1 б. А при значительном значении эксцентриситета приложения нагрузки эпюра сжимающих напряжений выглядела бы как на рис.250.1. в), т.е. в поперечном сечении действовали не только сжимающие, но и растягивающие напряжения. А при некотором (не показанном на рисунке 250.1) значении эксцентриситета эпюра сжимающих напряжений представляла бы собой треугольник.
Так вот, радиус ядра сечения - это и есть эксцентриситет, при котором эпюра напряжений представляет собой треугольник
Таким образом радиус ядра круглого сечения - это действительно радиус некоей окружности, на которой расположены эксцентриситеты нагрузки, при которых эпюра сжимающих напряжений представляет собой треугольник. И получается, что если сосредоточенная нагрузка или равнодействующая неравномерно распределенной нагрузки будет приложена в любой точке внутри этой окружности, то в поперечном сечении будут действовать только сжимающие напряжения.
Область внутри окружности, описываемой радиусом инерции, называется ядром сечения
На рисунке 250.3 ядра сечений обозначены зеленым цветом, для наглядности размеры ядер изменены.
Понятие ядра настолько универсально, что его используют даже такие далекие от сопромата люди, как seo-оптимизаторы, обильно насыщающие свою речь выражениями типа: составление семантического ядра, или анализ семантического ядра. На seo-слэнге под семантическим ядром подразумевается набор ключевых слов сайта и эти ключевые слова должны подбираться, а затем и использоваться так, чтобы реакция поисковиков была только положительной. Все остальные слова - это просто текст. Но не будем отвлекаться и вернемся к радиусу ядра сечения. Почему радиус ядра сечения называется также радиусом инерции? Оказывается, если умножить площадь поперечного сечения на квадрат радиуса ядра сечения, то мы получим момент инерции:
Fi2 = I (1.6)
Определение и физический смысл момента инерции здесь также не рассматривается, но будет достаточно сказать, что определить момент инерции сечения практически любой геометрической формы не сложно. Таким образом, зная момент инерции и площадь сечения рассчитываемого элемента, можно достаточно просто определить радиус инерции:
 (1.7)
При этом конечно же нельзя забывать, что при расчетах нужно использовать значение момента инерции поперечного сечения относительно той из осей, относительно которой момент инерции будет наименьшим (например, для поперечного сечения, показанного на рисунке 250.1 в) и на рисунке 250.3 в) момент инерции следует определять относительно оси у, а для элементов квадратного или круглого сечения момент инерции относительно оси z и относительно оси у будет одинаковым и потому выбор оси принципиального значения не имеет). Для того, чтобы определить моменты инерции для поперечных сечений сложной геометрической формы, нужно сначала определить положение главных центральных осей u и v, затем уже определять моменты инерции относительно этих осей. Но так глубоко уходить в пески безбрежной пустыни сопромата мы не будем, к тому же данная статья посвящена расчету на сжатие деревянных элементов конструкций, а сечения деревянных элементов имеют как правило или прямоугольную, или квадратную, или круглую форму.
Для элементов прямоугольного или квадратного сечения радиус инерции можно определить, не высчитывая предварительно момент инерции и площадь сечения. Так, например для прямоугольного сечения, показанного на рисунке 250.3. в) наименьший момент инерции будет относительно оси у и составит:
Iy = hb3/12 (1.8)
А так как площадь прямоугольного сечения равна:
F = hb (1.9)
то:
i = (b2/12)1/2 (1.7.2)
Для сжимаемых элементов с поперечным сечением квадратной формы (рис.250.3. б):
i = (a2/12)1/2 (1.7.3)
Для сжимаемых элементов круглого сечения (рис.250.3. a):
i = (D2/16)1/2 (1.7.4)
Если для определения коэффициента продольного изгиба вы будете пользоваться графиком 250.1, то не забывайте, что в соотношении lo / b под шириной имеется в виду минимальный размер поперечного сечения.
Основы расчета деревянных внецентренно-сжатых или сжато-изгибаемых элементов.
Если нагрузка к рассчитываемому элементу будет прикладываться с эксцентриситетом, то при расчете следует учесть изгибающий момент, возникающий в результате эксцентриситета:
σ = N/φF + М/W ≤ Rc (2.1)
Где момент равен:
М = Ne (2.2)
Ну а что такое изгибающий момент и момент сопротивления, рассказывается отдельно. Здесь лишь скажу, что определение момента сопротивления немного напоминает определение коэффициента продольного изгиба:
В поперечном сечении рассчитываемого на действие изгибающего момента также действуют нормальные напряжения. Однако по не обсуждаемым здесь причинам в поперечном сечении изотропного изгибаемого элемента прямоугольного или квадратного сечения в одной половине сечения действуют сжимающие напряжения, а в другой половине сечения действуют растягивающие напряжения, выглядит это приблизительно так:
Рисунок 149.3.3. Приведение изгибающего момента к равномерно изменяющейся нагрузке, эквивалентной действующим в поперечном сечении напряжениям.
Как видно из вышеприведенного рисунка, эпюра нормальных напряжений для поперечного сечения при действии изгибающего момента представляет собой не просто треугольник а два треугольника. А это означает, что материал конструкции работает на сжатие или растяжение еще менее эффективно, чем материал сжимаемых элементов. Т.е. эффективность снижается как минимум в 2 раза из-за того что материал работает одновременно и на растяжение и на сжатие. При этом равнодействующая равномерно изменяющейся нагрузки, создающей сжимающие или растягивающие напряжения будет находиться на расстоянии 2/3 высоты треугольника от центра тяжести сечения, почему это так - изучается в школе на уроках геометрии и здесь не обсуждается. Но если рассматривать момент сопротивления как площадь сечения, умноженную на некий поправочный коэффициент, учитывающий неравномерность и неоднозначность напряжений, возникающих в поперечном сечении расчитываемого элемента, то мы получим значение момента сопротивления:
W = F · 1/2 · h/3 = bh · h/6 = bh2/6 (2.3)
Где 1/2 означает, что материал сечения работает одновременно и на растяжение и на сжатие или что расчетная нагрузка действует только на половину рассчитываемого сечения, h/3 - расстояние от центра тяжести поперечного сечения до точки приложения равнодействующей силы от равномерно изменяющейся нагрузки (так как высота треугольника равна h/2, то 2/3 от высоты треугольника составляют h/2 · 2/3 = h/3).
Момент инерции в свою очередь характеризует суммарную величину деформации рассчитываемого элемента (подробности изложены отдельно):
Рисунок 174.5.2. Предполагаемая (для наглядности) суммарная деформация балки.
Так как расстояния между атомами и молекулами материала уменьшаются при действии сжимающих напряжений (более правильно было бы сказать, что под действием нагрузок материал деформируется, при этом расстояния между атомами и молекулами материала изменяются, а по-прежнему действующие межатомные и межмолекулярные связи пытаются восстановить первоначальное положение и сила, с которой они пытаются это сделать - это и есть сжимающие или растягивающие напряжения, но для простоты изложения оставим все, как есть) и увеличиваются при действии растягивающих напряжений, то момент инерции позволяет определить суммарное изменение этих расстояний по всей длине рассчитываемого элемента, в самой верхней или в самой нижней точке поперечного сечения, т.е. там, где действующие напряжения максимальны и соответственно максимально изменение расстояний между атомами или молекулами материала (на рисунке 174.5.2 это расстояние обозначено Δх). Это в свою очередь позволяет определять углы наклона поперечных сечений и изменения положения центра тяжести по всей длине рассчитываемого элемента. Таким образом, для того, чтобы определить момент инерции, нужно умножить момент сопротивления на расстояние от центра тяжести прямоугольного сечения до самой верхней или самой нижней точки сечения:
I = W · h/2 = bh3/12 (2.4)
Вот в принципе и все основные теоретические предпосылки к расчету центрально-сжатых и сжато-изгибаемых элементов деревянных конструкций. Пример расчета деревянной стойки приводится отдельно.
P.S. Я прекрасно понимаю, что человеку, впервые столкнувшемуся с расчетом строительных конструкций, разобраться в тонкостях и особенностях вышеизложенного материала бывает не просто, но тратить тысячи или даже десятки тысяч рублей на услуги проектной организации вы все равно не хотите. Что ж, я готов помочь. Больше подробностей смотрите в статье "Записаться на прием к доктору". | 
