Расчет 4-х пролетной рамы с равными пролетами

Имеется прямоугольная рама с 4 пролетами. Вертикальные элементы - стойки - и горизонтальные элементы - балки - имеют одинаковую длину l и жесткость EI. На раму действует равномерно распределенная вертикальная нагрузка, одинаковая во всех 4 пролетах, горизонтальной нагрузки нет (см. рис. 493.1).

При таких исходных условиях расчет рамы большой сложности не представляет, так как симметричность рамы и действующей нагрузки, а также равные длины и жесткости элементов значительно упрощают решение задачи.

1 этап расчета

Рисунок 493.1. а) расчетная схема 4-х пролетной рамы б) возможная расчетная схема 3-х пролетной балки для расчета рамы на первом этапе.

На этом этапе мы можем рассматривать нашу раму, как обычную неразрезную 3-х пролетную балку (рисунок 493.1 б)), у которой первый пролет - крайняя стойка - не нагружен, в двух следующих пролетах действует нагрузка, а опора D не шарнирная, а жесткое защемление. Или как 4-х пролетную балку с теми же условиями, но у которой последний, 4-й пролет имеет нулевую длину. В данном случае мы заменяем дополнительным 4 пролетом жесткое защемление на опоре D - средней стойке - означающее нулевой угол поворота поперечного сечения на этой опоре в силу симметричности исходных данных (на рисунке эта замена не показана). Тогда нам достаточно составить 3 уравнения 3 моментов:

2M_B1э(l + l) + M_C1эl = - 6R^ф_B;

M_B1эl + 2M_C1э(l + l) + M_D1эl = - 6R^ф_C; (315.4.1)

M_C1эl + 2M_D1э(l + 0) = - 6R^ф_D; 

где

R^ф_В = R^ф_D = А_B^ф = ql³/24

R^ф_C = В_C^ф + А_C^ф = ql³/12

Тогда

4M_B1эl + M_C1эl = - ql³/4;

M_B1эl + 4M_C1эl + М_D1эl = - ql³/2; (493.1)

M_C1эl + 2M_D1эl = - ql³/4;

Из первого и третьего уравнений системы мы можем сделать вывод, что:

М_С1эl = -ql³/4 - 4M_Bl = -ql³/4 - 2M_Dl; (493.2.1)

 или

М_D1э = 2 M_B1э; (493.2.2)

Тогда, подставив эти данные во второе уравнение системы, мы получим:

 M_B1эl + 4(-ql³/4 - 4M_B1эl) + 2M_B1эl = - ql3/2; (493.3.1)

3M_B1эl - 16M_B1эl = -ql³/2 + ql³; (493.3.2)

M_B1э = - ql²/26; (493.4.1)

M_D1э = - ql²/13; (493.4.2)

M_C1э = -ql²/4 + 4ql²/26 = - 10ql²/104 = - ql²/10.4; (493.4.3)

При этом угол наклона на опоре C будет составлять:

θ^пр_C = -ql³/24EI - M_Cl/3EI - M_Dl/6EI = - ql³/24EI + 10ql³/(3·104EI) + ql³/(6·13EI) = ql³/312EI (491.5)

2 этап расчета

Как мы выяснили при расчете трехпролетной рамы, две стойки рамы из 7 стержней, реагируя на угол наклона ql3/228 EI, изменят значения моментов максимум на 5.5%. В данном случае у нас рама состоит из 9 стержней и потому влияние 2 стоек будет еще меньше. Тем не менее, для упрощения расчетов максимальное изменение моментов мы можем принять равным:

ΔМ = 0.055·228/313 = 0.04; (493.6)

Это соответствует коэффициенту надежности по нагрузке, учитывающему изменение момента, γ_нм = 1.04.

Таким образом максимально возможное значение моментов с учетом влияния стоек, не учтенных на первом этапе расчета, будет составлять:

М = М_1э + ΔМ_1э; (493.6)

М_В = -(1 + 043)ql²/26 ≈ -ql²/24.93; (493.7.1)

M_D = -(1 + 043)ql²/13 ≈ -ql²/12.46; (493.7.2)

M_C = - (1 + 0.043)ql²/10.4 ≈ -ql²/9.97; (493.7.3)

Примечание: Конечно же влияние стоек, не учтенных на первом этапе расчета, будет разным. Для одних горизонтальных стержней момент будет увеличиваться, для других уменьшаться, кроме того моменты слева и справа от стойки будут не равны. Но данном случае мы не отслеживаем, изменения моментов слева и справа от рассматриваемой стойки, а просто принимаем для упрощения расчетов максимально возможные изменения моментов.

Значения моментов, действующих на стойки, для еще большего упрощения расчетов можно принять даже и без уменьшения, т.е. равными производной угла поворота поперечного сечения на рассматриваемой опоре. В данном случае

М'^в = ±θ' = ±3ql²/312 = ±ql²/104; (493.8)

Дело в том, что значение момента для стойки СС' будет положительным, т.е. растянутая зона поперечного сечения будет справа от стойки, а для стойки DD' значение момента будет отрицательным и растянутая зона сечения будет слева от стойки. Впрочем данные значения как правило не оказывают решающего влияния на расчет стоек, а потому для упрощения выполнения рамы в процессе строительства, так сказать, для унификации, вполне уместно предположить, что на промежуточные стойки могут действовать как положительные так и отрицательные моменты. К тому же принятая расчетная схема для данной рамы может быть далеко не единственной с учетом возможных сочетаний нагрузок.

Конечно же, это далеко не весь расчет. Так даже после расчета первого этапа следует определить опорные реакции, значения моментов в пролетах, если это необходимо, проверить правильность расчетов, исходя из условия нулевого прогиба на опорах. Однако задача данной статьи - показать один из возможных методов расчета 4-х пролетной рамы на действие симметричной вертикальной нагрузки. Как можно определить опорные реакции, моменты в пролетах и выполнить проверку, рассказывается отдельно.

Здесь лишь добавлю, что значения опорных реакций и моментов в пролетах также следует в итоге умножить на дополнительный коэффициент надежности по нагрузке.

На этом пока все.

Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье "Записаться на прием к доктору"

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV

На главную

• Расчет конструкций ::: Основы строймеха и сопромата ::: Рамы

Комментариев нет

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье "Записаться на прием к доктору" (ссылка в шапке сайта).