Расчет арочной перемычки из кирпича

С тех пор, как люди придумали железобетон и начали делать из него простые по форме перемычки, необходимость в арочных перемычках, выложенных из кирпича, отпала. Тем не менее арочные перемычки из кирпича и натурального камня делаются и сейчас, просто потому, что оконный или дверной проем со сводом намного эстетичнее, чем порядком набивший оскомину прямоугольник.

Расчет арочной перемычки (лучковой перемычки, лучковой арки) в отличие от прямолинейной перемычки состоит из двух этапов: определения геометрических параметров и расчета на прочность. При этом в силу своей природы арочная перемычка для самонесущих стен, а тем более для перегородок, в расчете на прочность как правило не нуждается, а вот арочную перемычку несущих стен, на которые могут опираться балки или плиты перекрытия, проверить расчетом не помешает. Это мы и попробуем сделать.

Пример расчета арочной перемычки из кирпича.

1. На первом этапе определяются геометрические параметры перемычки.

Например, если перемычка будет из лицевого кирпича и достаточно хорошо видна, лицевой кирпич стены также дополнительно отделываться не будет, то имеет смысл сначала определить, при каком радиусе (а арочные перемычки из кирпича или натурального камня как правило описываются уравнением окружности) работы по прирезке камня основной стены будут минимальными. Если арка будет простой, без ярко выраженного замка, то стрела подъема арки может приниматься кратной высоте кладочного ряда. Например, при возведении стен из кирпича высотой 65 мм, высота кладочного ряда составит примерно 77 мм или 0.077 м.

Примечание: Для арок со стрелой подъема, равной половине длины пролета, т.е. представляющих собой половину окружности, никаких особых расчетов геометрических параметров не требуется. Для арочных перемычек, центральная ось которых описывается не уравнением окружности, а параболой, эллипсом или комбинацией уравнений подбор геометрических параметров будет более сложным, но нам для нашего примера вполне достаточно рассмотреть арку, ось которой описывается уравнением окружности.

Рисунок 1. Геометрические параметры арочной перемычки.

На рисунке 1 показана арочная перемычка над пролетом L = 2.35 м, стрела арки принята равной h = 4·0.077 = 0.308 м. Но для того, чтобы проектировать перемычку, нужно знать не просто длину пролета, а длину дуги окружности, другими словами - длину арки по низу. Так как по этой окружности будут выкладываться кирпичи, и чтобы не заниматься их подгонкой по размерам, особенно если таких арочных перемычек планируется сделать много, то длина арки должна быть приблизительно кратна 0.07-0.075 м. Знания, переданные нам древнегреческими геометрами, позволяют по высоте и длине пролета определить длину арки, но сначала придется определить угол а. Так как:

h = (L/2)(tg(a/4)), (278.1.1)

что следует из геометрии прямоугольного треугольника, то

tg(a/4) = 2h/L = 2·0.308/2.35 = 0.26213, (278.1.2)

тогда

а/4 = 14.688^о, следовательно а = 58.75^о.

Теперь мы можем определить значение радиуса окружности:

R = h/(1 - cos(a/2)) = 0.308/(1 - 0.871) = 2.395 м, (278.1.3)

Примечание: Вообще вывод данной формулы достаточно прост, но для тех, кто не понял, почему эта формула выглядит именно так, поясню. На рисунке 1 мы кроме всего прочего видим треугольник с гипотенузой R и катетом R - h (в данном случае второй катет равный L/2, нас не интересует), также нам известен угол между гипотенузой и катетом - а/2. Базовые знания по геометрии позволяют нам определить значение этого катета:

R - h = Rcos(a/2) (278.1.3.1)

Произведя ряд простейших преобразований с данной формулой, мы получим формулу (278.1.3). Но на всякий случай приведу весь ряд:

R - h - R = Rcos(a/2) - R - вычитаем из обеих частей уравнения R (278.1.3.2)

- h = Rcos(a/2) - R (278.1.3.3)

- h(-1) = (-1)(R Rcos(a/2) - R) - умножаем обе части уравнения на (-1) (278.1.3.4)

h = R - Rcos(a/2) (278.1.3.5)

h = R(1 - cos(a/2)) - в правой части уравнения выносим общий член за скобки (278.1.3.6)

h/(1 - cos(a/2)) = R(1 - cos(a/2))/(1 - cos(a/2)) - делим обе части уравнения на (1 - cos(a/2)) (278.1.3.7)

h/(1 - cosa/2) = R (278.1.3)

Почему так можно поступать с уравнениями, рассказывается отдельно.

И наконец можем определить длину дуги окружности:

m = ПRa/180 = 3.141·2.395·58.75/180 = 2.456 м, (278.1.4)

Так как арочная перемычка планируется симметричной, то для ее устройства нужно использовать нечетное число кирпичей. Например, если принять толщину растворного слоя в нижней точке 5 мм, то арку можно выложить из 2.456/0.07 = 35.08 кирпичей, а точнее из 35 кирпичей, а при толщине раствора в нижней точке 10 мм, то 2.456/0.075 = 32.74 кирпичей, а точнее из 33 кирпичей, при этом толщина растворного слоя в нижней точке должна составлять около 2.456/33 - 0.065 = 0.0094 м или 9.4 мм. Само собой добиваться такой точности при монтаже перемычки не нужно, достаточно следить, чтобы по ходу выкладывания перемычки не набегала большая погрешность.

Мне больше нравится вариант с 35 кирпичами. При таком варианте толщина растворного слоя в верхней части перемычки составит примерно 12.5 мм (так как радиус для верха перемычки составляет 2.395 + 0.25 = 2.645 м и соответственно увеличится и длина дуги окружности). При использовании 33 кирпичей толщина растворного слоя в верхней части арочной перемычки составит около 17 мм, что в общем-то тоже находится в допустимых пределах.

2. На этом расчет геометрических параметров арочной перемычки можно закончить и переходить к расчету на прочность.

2.1. Определение нагрузок на 1 погонный метр перемычки:

2.1.1 От веса кладки:

q₁ = p х b х h, (278.2.1)

где p в кг/м³ - плотность материала, из которого выкладывается стена, в том числе цементно-песчаного раствора и штукатурки, если таковая планируется. Плотность цементно-песчаного раствора на обычном кварцевом песке - до 2200 кг/м³, что необходимо учитывать при работе с пустотелым кирпичом, керамическими, гипсовыми блоками и блоками из легких бетонов, но чтобы не тратить время на определение процентной доли раствора в кладке, можно просто умножить плотность используемого материала на 1.1 -1.2 или принять максимальное из нижеприведенных.

Для справки:

• Плотность полнотелого кирпича 1600 - 1900 (в зависимости от материала)
• Плотность пустотелого кирпича 1000 - 1450 (в зависимости от характера пустот)
• Плотность блоков из пенобетона, газобетона, ячеистого бетона 300- 1600 (более точно плотность ячеистых блоков можно определить по марке D)
• Плотность гипсовых блоков 900 -1200

Например:

• если стена над перемычкой будет выкладываться из обычного красного кирпича с использованием лицевого пустотелого кирпича, то для надежности можно принять значение p =1800-1900 кг/м³.
• Для гипсовых блоков p =1200
• Для блоков из легкого бетона - в зависимости от плотности бетона. Чтобы определить эту самую плотность, нужно взвесить 1 блок (или попытаться приблизительно определить вес блока, просто подняв его), а потом разделить вес на высоту, ширину и толщину блока. Например, если блок весит 20 кг и имеет размеры 0.3х0.6х0.1 м, то плотность блока будет 20/ (0.3х0.6х0.1) = 1111 кг/м³. Таким же образом можно определить и плотность кирпича.
• Во всех остальных случаях (особенно в том случае, если Вы не знаете плотность материала и не можете определить его плотность) p =1900

b - толщина стены в метрах, к примеру, для кирпичной стены в два кирпича следует принимать b = 0.51-0.55 м, для стен, не отделываемых мокрой штукатуркой b = 0.51 м, для стен, отделываемых мокрой штукатуркой только внутри помещений b = 0.53 м, для стен, отделываемых мокрой штукатуркой и внутри и снаружи b = 0.55 м, если стены изнутри будут утепляться или зашиваться сухой штукатуркой, то вес утеплителя и сухой штукатурки также следует учесть, но опять же для упрощения расчетов можно принять толщину стены b = 0.53 м.

h - высота кладки над перемычкой. И тут может возникнуть несколько вопросов: как быть, если высота кладки над перемычкой метров 10, а то и больше? неужели всю эту высоту кладки нужно учитывать? СНиП II-22-81 (1995) "Каменные и армокаменные конструкции" в таких случаях рекомендует рассчитывать перемычку на нагрузку от высоты кладки, равной 1/3 длины пролета. Такая рекомендация основана на особенностях передачи внутренних напряжений в разного рода пластинах, каковой с теоретической точки зрения стена и является. Я рекомендую для пущей надежности производить расчет на нагрузку от высоты кладки, равной 1/2 длины проема. Кроме все прочего такие рекомендации позволяют не учитывать то, что нагрузка от кладки неравномерно изменяется по длине перемычки и в идеале следовало бы рассчитывать конструкцию с учетом этих особенностей. Однако расчет с запасом позволяет этих дополнительных сложностей расчета избежать.

Если над расчетным проемом будет еще один проем, то высоту кирпичной кладки в этом случае можно принимать равной расстоянию между верхом нижнего проема и низом верхнего проема, опять же из соображений надежности. Если ширина простенков значительно меньше длины проема, то перемычку имеет смысл рассчитывать на нагрузку от всей высоты вышележащей стены, даже если это будет 10 м или больше, но в этом случае нужно проверить прочность кладки на касательные напряжения, да и вообще делать арочную перемычку на проемом, если ширина простенков меньше 1/3 длины проема, я бы не рекомендовал. В большинстве случаев достаточно рассчитывать на нагрузку от высоты кладки, равной 1/2 длины проема. В этом случае

Для проема L = 2.35 м для кирпичной стены толщиной в 2 кирпича нагрузка q₁ = 1900 х 0.53 х 0.5 х 2.35 = 1183.23 кг/м

2.1.2. От собственного веса арочной перемычки:

Проектируемая нами арочная перемычка имеет достаточно сложную геометрическую форму, однако с учетом того, что мы ранее приняли нагрузку от вышележащей кладки с хорошим запасом, достаточно приблизительно рассчитать нагрузку от собственного веса:

q₂ = р х b x h x m/L, (278.2.2)

так как мы приводим нагрузку от собственного веса к длине проема.

Для арочной перемычки со стрелой 0.308 м над проемом длиной L = 2.35 м q₂ = 1900 х 0.53 х 0.25 х 2.456/2.35 = 263.1 кг/м

2.1.3. От отделочных материалов стен.

Стены могут отделываться различными материалами: сухой или мокрой штукатуркой, керамической плиткой, натуральным или искусственным камнем, пластиковыми или алюминиевыми панелями и т.д. Нагрузки от этих и других отделочных материалов следует учитывать при расчете, если указанные материалы будут непосредственно крепиться к стене. Если стены просто будут штукатуриться с одной или с двух сторон, то тогда эта нагрузка уже учтена в пункте 2.1.1. Если пока не известно, чем именно будут отделываться стены, то можно умножить нагрузку от кладки (п.2.1.1) на поправочный коэффициент 1.2-1.3.

2.1.4. От конструкции перекрытия.

Если стена, в которой делается арочная перемычка, несущая, то нагрузку от балок или плит перекрытия также следует учитывать в том случае, если отметка низа перекрытия находится ниже отметки, соответствующей 1/3 длины проема. Проще говоря, если от верха рассматриваемой нами перемычки до низа перекрытия менее 2.35/3 = 0.78 м, то нагрузку от конструкции перекрытия следует учитывать. А я рекомендую это делать даже если расстояние от верха рассматриваемой перемычки до низа перекрытия менее 2.35/2= 1.175 м.

Помимо веса конструкции перекрытия следует учитывать также и временную нагрузку.

Для справки, расчетная нагрузка на 1 м2, перекрытия в зависимости от конструкции может составлять:

• Перекрытие по деревянным лагам или металлическим балкам - 400-600
• Перекрытие по железобетонным балкам - 500 - 700
• Перекрытие из готовых железобетонных плит - 700-1000
• Перекрытие из монолитной железобетонной плиты - нагрузка определяется расчетом.

Чтобы определить нагрузку от конструкции перекрытия, а также всего, что будет постоянно или временно на перекрытии находиться, нужно знать длину элементов перекрытия.

Для проема длиной L = 2.35 м для несущей стены с пустотными плитами перекрытия длиной 6 м нагрузка от плит перекрытия с учетом временной нагрузки q₄ = 800 х 0.5 х 6 = 2400 кг/м

Таким образом погонная расчетная нагрузка на перемычку составляет:

q = q₁ + q₂ + q₃ + q₄

Для рассматриваемого проема полная расчетная нагрузка q = 1183.23 + 263.1 + 2400 = 3846.3 кг/м

Как быть в случае, если будут использоваться не плиты перекрытия, дающие равномерно распределенную нагрузку, а балки, дающие условно сосредоточенную нагрузку, можно посмотреть отдельно.

2.2.1 Выбор расчетной схемы.

Тут нас ожидает первая засада. Потому как нашу арочную перемычку можно рассматривать как арку на двух шарнирных опорах с двумя горизонтальными связями. А это означает, что такая арка является один раз статически неопределимой. Потому как неизвестных реакций опор - четыре, а уравнений статического равновесия можно составить всего 3. Значит, для расчета такой перемычки необходимо знать помимо всего прочего еще и модуль упругости кирпичной кладки арки, а также момент инерции поперечных сечений. А если рассматривать арку как жестко защемленную, то степень статической неопределимости увеличится до 3. Однако задача проектировщика - не усложнять условие задачи, а упрощать. Если мы будем рассматривать нашу арку как трехшарнирную, т.е. с дополнительным шарниром в замке, то это позволит без особых проблем определить все опорные реакции и затем определить максимальные напряжения в поперечных сечениях арки. Такое допущение можно сделать на следующих основаниях:

- Для арок определяющим является как правило не значение изгибающего момента, а продольной сжимающей силы. В этом главное отличие арок от прямолинейных балок. Более того, можно подобрать такую геометрическую форму арки, при которой изгибающий момент во всех поперечных сечениях арки будет равен 0.

- Даже если мы ошиблись и в замке арки будет действовать изгибающий момент, то это в худшем случае может привести к образованию пластического шарнира из-за превышения расчетного сопротивления. Пластический шарнир не нарушит геометрическую неизменяемость арки, к тому же не препятствует передаче нормальных напряжений и приводит к более равномерному распределению напряжений по высоте сечения арки, таким образом нивелируя значение изгибающего момента, а потому вполне допустим.

Примечание: На сегодняшний день не существует единого метода расчета арочных двухшарнирных или жестко защемленных перемычек, тем не менее арочные перемычки из камня возводились с древнейших времен и успешно стоят до сих пор. Как древним строителям виадуков и мостов удалось постичь тонкости расчета арочных перемычек - загадка, но скорее всего прочность конструкций достигалась использованием максимально прочных материалов. А потому, если по ходу расчета возникнут сомнения в его правильности, то лучше для надежности принять максимально прочные кирпичи или кладочные камни и раствор. В любом случае, чем прочнее камни и раствор, тем меньше будет деформация арочной перемычки от действующих нагрузок.

2.2.2. Определение расчетных параметров.

Так как расчет будет производиться относительно оси, проходящей через центры тяжести поперечных сечений арки, то сначала следует более точно определить геометрические параметры оси:

Рисунок 2. Расчетная схема арочной перемычки.

Радиус окружности, описываемой осью арки будет больше на половину длины кирпича и составит r = 2.395 + 0.125 = 2.52 м

Расчетная длина пролета также увеличится незначительно и составит l = L + 0.25sin(a/2) = 2.35 + 0.1226 = 2.472 м

Тогда стрела арки составит (согласно формулы (278.1.1)) f = (2.472/2)0.26213 = 0.324 м

2.3.1 Определение вертикальных опорных реакций

Так как нагрузка на нашу симметричную арку является равномерно распределенной, то

V_A = V_B = ql/2 = 3846.3·2.472/2 = 4754 кгс (149.1)

2.3.2 Определение горизонтальных опорных реакций

Так как на арку действует только вертикальная нагрузка, то горизонтальные опорные реакции будут равны по значению и противоположно направлены, а для определения одной из горизонтальных реакций достаточно составить уравнение моментов относительно дополнительно принятого нами шарнира - замка арки:

∑М_С = V_Al/2 - ql²/8 - H_Af = 0,

тогда

H_A = (V_Al/2 - ql²/8)/f = (4754·1.236 - 3846.3·2.472²/8)/0.324 = 9067.9 кгс.

Теперь самое время для определения максимальных внутренних напряжений в поперечных сечениях арки построить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и продольных усилий для нашей арки, для чего по хорошему следовало бы задействовать компьютер, которым вы в данным момент пользуетесь по прямому назначению, а именно для расчетов, так как необходимо решить некоторое множество уравнений. При этом, чем больше поперечных сечений будет рассматриваться, тем больше уравнений в итоге будет. Однако понимание основ сопромата позволяет свести количество решаемых уравнений к минимуму. Например для нашей арочной перемычки достаточно определить значения поперечных сил, изгибающего момента и продольных усилий для трех характерных сечений - в начале арки, посредине - где замок и в точке, расположенной посредине между началом арки и замком.

В точке А:

Q = V_Acos(a/2) + H_Asin(a/2) = 4754·0.8714 + 9067.9·0.4905 = 8590.8 кгс

M = 0

N = V_Asin(a/2) + H_A cos(a/2) = 4754·0.4905 + 9067.9·0.8714 = 10233.65 кгс

В точке С (замок арки):

Q = V_A - ql/2 = 0

М =0 (так как относительно этой точки мы и составляли уравнение моментов в п.2.3.2)

N = H_A = 9067.9 кгс

В точке D (середина между началом и замком арки):

Для этой точки следует более точно определить координаты по осям х и у. Опять же даже начальные знания геометрии позволяют это сделать достаточно легко, далее подробности процесса определения координат не приводятся, нам же для дальнейших расчетов достаточно знать, что координаты точки D по оси х = 0.5776 м, по оси у = 0.2337 м, тогда

Q = V_Acos(a/4) + H_Asin(a/4) - qcos(a/4)х = 4754·0.9673 + 9067.9·0.2535 - 2221.45·0.9673·0.5776 = 5656.1 кгс

М =V_Ax - H_Ay - qx²/2 = 4754·0.5776 - 9067.9·0.2337 - 3846.3·0.5776²/2 = -14.8625 кгс·м

N = V_Asin(a/4) + H_A cos(a/4) - qsin(a/4)х = 4754·0.2535 + 9067.9·0.9673 - 2221.45·0.2535·0.5776 = 9651.25 кгс

Примечание: вообще-то для угол наклона касательной к горизонтали в точке D не будет равен α/4, но тем не менее будет близок к этому значению, которое мы и приняли для упрощения расчетов.

Как видим, значение изгибающего момента, возникающего в одном из поперечных сечений арки (в точке D), достаточно мало, а максимальные усилия возникают в начале и в конце арочной перемычки (в точках А и В), именно для этих сечений и нужно проверить прочность.

2.4. Определение максимальных напряжений.

И тут нас поджидает вторая засада, потому как расчет по теории сопротивления материалов в чистом виде можно производить только для поперечных сечений, в которых действует только один вид напряжений. В рассматриваемом нами поперечном сечении действует и поперечная сила и сжимающее усилие, а значит возникают касательные и нормальные напряжения, а на сегодняшний день нет точного ответа, как производить расчет в таких случаях. Напомню, на сегодняшний день существует как минимум 5 теорий прочности и формулы, предлагаемые этими теориями для таких случаев несколько отличаются. Но мы пойдем как всегда по пути наибольшего запаса и произведем расчет по третьей теории прочности согласно которой:

σ_пр =(σ² +4т²)^0.5 (278.4)

где σ - нормальное напряжение

σ = N/F = 10233.65/(0.51·0.25) = 80263.9 кг/м² или 8.026 кг/см²

где F - площадь поперечного сечения нашей арочной перемычки

т - касательное напряжение

т = 1.5Q/F = 1.5·8590.8/(0.51·0.25) = 101068 кг/м² или 10.107 кг/см²

тогда

σ_пр = (8.026² + 4·10.107²)^0.5  = 21.75 кг/см²

2.5. Определение требуемого расчетного сопротивления

Ну а теперь все просто:

σ_пр ≤ R (278.5)

где R - расчетное сопротивление кирпичной кладки

Теперь достаточно подобрать по таблице 1 соотношение марки кирпича и раствора.

Нашим условиям удовлетворяют кирпичи или камни марки М150 и выше, уложенные на раствор марки М100 и выше

Как уже говорилось, чем прочнее будет перемычка, тем меньше будут деформации, а значит лучше эстетический вид. Вот собственно и весь расчет.

Если подобрать кирпич и раствор не удалось из-за слишком большой нагрузки на перемычку, то следует уменьшить радиус перемычки. Чем меньше радиус перемычки, тем меньше будет значение горизонтальных опорных реакций и тем меньше будет составляющая касательных напряжений в начале перемычки. Кроме того, уменьшение радиуса перемычки приведет к уменьшению нагрузки, действующей от веса кладки на арочной перемычкой и от плит перекрытия. При стреле арки около 1/3-1/2 ширины проема такие нагрузки будут минимальными, что объясняется особенностями перераспределения напряжений в соответствующим образом нагруженной пластине, каковой в данном случае кирпичная стена и является. Впрочем расчет пластин - отдельная большая тема. Так как ширина простенков принята много большей, чем высота поперечного сечения арки, то дополнительного расчета опорных участков на прочность не требуется.

И еще, если вместо арочной перемычки сделать прямолинейную, например - из металлопроката, то для того, чтобы выдержать расчетную нагрузку, потребовались бы как минимум 3 швеллера или двутавра №12. При этом расчетный момент посредине перемычки составил бы около 2655 кгс·м, т.е. почти в 200 раз больше, чем полученный нами для сечения в точке D.

Примечание: Уменьшать расчетное сопротивление сжатию для кладки высшего качества не требуется, а вот какая у вас будет кладка, я не знаю, поэтому дальше уже сами. Но все равно - швы между кирпичами арки должны очень качественно заполняться раствором - это главное условие прочности и минимальной деформации арки под действием нагрузки.

На этом пока все.

Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье "Записаться на прием к доктору"

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV

На главную

• Расчет конструкций ::: Примеры расчетов
• Расчет конструкций ::: Основы строймеха и сопромата ::: Арки

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье "Записаться на прием к доктору" (ссылка в шапке сайта).