Влияние поперечных сил на прогиб балки. Общие положения
Поперечные силы, действующие в том или ином поперечном сечении балки, определяются по соответствующей эпюре "Q". Отношение поперечных сил Qx к площади поперечного сечения Fx рассматривается как касательные напряжения, действующие в данном сечении, хотя тут нет линейной зависимости. Максимальные касательные напряжения как правило действуют ближе к середине высоты балки.
Площадь поперечного сечения балки может быть не постоянной величиной, поэтому площадь рассматриваемого сечения обозначена как Fx, тем не менее дальше мы будем рассматривать только один частный случай, а именно балки с постоянными параметрами сечения по всей длине, в частности с площадью F.
Как правило при соотношении длины балки к высоте l/h > 10 (где h - высота, l - длина балки) влияние касательных напряжений в поперечных сечениях балки на прогиб относительно мало и не превышает 0.8%. А для балок с соотношением l/h > 20 - и вовсе 0.2%. В таких случаях можно пользоваться упрощенными уравнениями метода начальных параметров, в частности:
∫dx∫Mxdx/EI = fx (537.5)
Эта формула в частности означает, что в данном случае при определении прогиба интегрированием уравнения моментов учитываются только нормальные напряжения, действующие в поперечных сечениях балки. Как мы знаем, нормальные напряжения приводят к линейным деформациям, а величина линейной деформации зависит от значения момента инерции I и значения модуля упругости материала Е.
Если соотношение длины балки к высоте l/h < 10, то влияние поперечных сил на значение прогиба желательно учитывать. И чем меньше соотношение длины к высоте, тем больше будет влияние поперечных сил.
На первый взгляд это кажется странным. Ведь чем больше высота балки, тем больше будет жесткость балки. И тут даже не линейная зависимость, потому как например момент инерции поперечного прямоугольного сечения I = bh3/12.
Однако ничего странного тут нет, действительно, чем больше высота балки, тем больше в итоге жесткость балки и тем меньше прогиб балки. Но при этом необходимо учитывать возрастающее влияние касательных напряжений на это относительно небольшое значение прогиба.
То есть, чем больше высота балки по отношению к длине, тем сильнее балка, с точки зрения строительной механики рассматриваемая как стержень, приближается к пластине.
Как мы знаем, особенность касательных напряжений в том, что они в отличие от нормальных напряжений, приводящих к линейным деформациям, зависящим от модуля упругости материала балки Е, вызывают деформацию сдвига. Соответственно величина деформации сдвига зависит от значения модуля сдвига G и при более точных расчетах это нужно учитывать.
Для этого может использоваться следующее уравнение, учитывающее действие касательных напряжений:
∫dx∫Mxdx/EI + k∫(Qx/GF)dx = fx (536.1)
где k - безразмерный коэффициент, зависящий от геометрической формы поперечного сечения.
- Для балок прямоугольного сечения k = 6/5
- Для балок сплошного круглого сечения k = 10/9,
- Для тонкостенных труб - k = 2.
Примечание: Нормальные напряжения, действующие вдоль оси х, и вызывающие линейные деформации вдоль оси х, сами по себе вроде бы не приводят к прогибу - вертикальному смещению нейтральной оси балки вдоль оси у. Однако в результате линейных деформаций, различных по высоте балки, изменяется угол наклона поперечного сечения, в результате прогиб зависит от угла наклона поперечного сечения. Поэтому для определения прогиба уравнение момента интегрируется дважды. В свою очередь касательные напряжения действуют вдоль оси у и деформация сдвига происходит сразу вдоль оси у, поэтому для учета влияния касательных напряжений уравнение поперечных сил интегрируется один раз.
Возможно это и не самое правильное объяснение природы действия касательных напряжений, но зато достаточно наглядное. Другие возможные объяснения, в частности рассматривающие плоское напряженное состояние в различных точках балки, я здесь не привожу.
Определение прогиба балки с учетом поперечных сил
Рассмотрим влияние поперечных сил на значение прогиба на следующем достаточно простом примере.
Имеется консольная балка, на конце балки приложена сосредоточенная нагрузка, проще говоря, сила Q. Уравнения моментов и поперечных сил, действующих в поперечных сечениях такой балки, давно известны и очень просты:
Мх = Q(x - l) (536.2)
Qx = Q (536.3)
Кроме того, нам известны начальные параметры для такой балки:
М0 = Ql (536.4.1)
Q0 = Q (536.4.2)
θ0 = 0 (536.4.3)
f0 = 0 (536.4.4)
Проинтегрировав уравнения момента и поперечных сил с учетом значений начальных параметров, получим:
fx = Q(x3/6 - lx2/2)/EI - kQx/GF (536.5)
В данном случае отрицательный знак перед вторым членом уравнения в правой части учитывает отрицательное направление прогиба. Впрочем как и интегрируемое уравнение момента.
Максимальный прогиб балки будет в конце - в точке приложения сосредоточенной силы (х = l), тогда:
- fl = Ql3/3EI + kQl/GF (536.6)
В принципе все необходимые данные для определения прогиба уже есть, тем не менее попробуем привести правую часть уравнения к общему знаменателю, чтобы оценить влияние прогиба от поперечных сил на общее значение прогиба.
Модуль сдвига и модуль упругости материала связаны между собой следующей зависимостью:
Е = 2(1 + μ)G (318.3.9)
из этого следует, что
G = E/2(1 + μ) (536.7)
где μ - это коэффициент Пуассона.
А чтобы получить момент инерции сечения I, нужно площадь сечения F = bh умножить на h2 и разделить на 12:
Fh2/12 = I (536.8.1)
из этого следует, что
F = 12I/h2 (536.8.2)
Тогда,
GF = 6EI/((1 + μ)h2) (536.9)
Подставим полученные значения в уравнение (536.6):
- fl = Ql3/3EI + 2kQlh2(1 + µ)/12EI = (Ql3 + kQlh2(1 + μ)/2)/3EI (536.10)
А чтобы вынести в правой части уравнения (536.6) выражение Ql3 за скобки, умножим и разделим член уравнения (536.10) на l2:
- fl = (Ql3(1 + kh2(1 + μ)/2l2)/3EI (536.11)
Если мы заменим достаточно длинное выражение kh2(1 + μ)2l2 неким коэффициентом λ:
λ = k(1 + μ)h2/2l2 (536.12)
То форма записи уравнения (536.11) значительно сократится:
- fl = Ql3(1 + λ)/3EI (536.13)
При этом коэффициент λ как раз и будет показывать приращение прогиба, зависящее от высоты балки. То есть для того, чтобы оценить влияние на прогиб высоты балки при соответствующей длине, достаточно определить значение коэффициента λ. И даже абсолютные значения высоты и длины балки при этом не нужны, достаточно знать отношение длины к высоте.
Например для балки прямоугольного сечения, материал которой имеет коэффициент Пуассона μ = 0.3 и соотношение l/h = 10, т.е. h/l = 0.1, значение λ составит:
λ = 6(1 + 0.3)0.12/2·5 = 0.0078
или 0.78% от прогиба, происходящего в результате действия нормальных напряжений.
При соотношении h/l = 0.2 влияние поперечных сил для такой балки оценивается в 3.1%, а при соотношении h/l = 0.5 - в 19.5%. При h/l = 1 в 78%.
И так далее. | 
