На главную домой советы по ремонту квартиры
Поиск по сайту
Список кабинетов || Что это за доктор? || Записаться на прием

Основное меню


Технологии выполнения работ


Диагностика и лечение


Инженерные сети и коммуникации


Элементы конструкции


Расчет конструкций


Помещения


Встраиваемая техника


Строительные и отделочные материалы


Дизайн




Влияние высоты балки на прогиб

Вообще-то данную статью следовало бы озаглавить не "Влияние высоты балки на прогиб", а "Влияние соотношения высоты балки к длине на прогиб", а еще более точным, но еще менее понятным названием было бы "Влияние касательных напряжений в поперечном сечении балки на значение прогиба в зависимости от соотношения высоты к длине балки". Тем не менее оставим все как есть и просто попробуем разобраться, насколько это влияние велико и в каких случаях его необходимо учитывать.

Влияние поперечных сил на прогиб балки. Общие положения

Поперечные силы, действующие в том или ином поперечном сечении балки, определяются по соответствующей эпюре "Q". Отношение поперечных сил Qx к площади поперечного сечения Fx рассматривается как касательные напряжения, действующие в данном сечении, хотя тут нет линейной зависимости. Максимальные касательные напряжения как правило действуют ближе к середине высоты балки.

Площадь поперечного сечения балки может быть не постоянной величиной, поэтому площадь рассматриваемого сечения обозначена как Fx, тем не менее дальше мы будем рассматривать только один частный случай, а именно балки с постоянными параметрами сечения по всей длине, в частности с площадью F.

Как правило при соотношении длины балки к высоте l/h > 10 (где h - высота, l - длина балки) влияние касательных напряжений в поперечных сечениях балки на прогиб относительно мало и не превышает 0.8%. А для балок с соотношением l/h > 20 - и вовсе 0.2%. В таких случаях можно пользоваться упрощенными уравнениями метода начальных параметров, в частности:

∫dx∫Mxdx/EI = fx (537.5)

Эта формула в частности означает, что в данном случае при определении прогиба интегрированием уравнения моментов учитываются только нормальные напряжения, действующие в поперечных сечениях балки. Как мы знаем, нормальные напряжения приводят к линейным деформациям, а величина линейной деформации зависит от значения момента инерции I и значения модуля упругости материала Е.

Если соотношение длины балки к высоте l/h < 10, то влияние поперечных сил на значение прогиба желательно учитывать. И чем меньше соотношение длины к высоте, тем больше будет влияние поперечных сил.

На первый взгляд это кажется странным. Ведь чем больше высота балки, тем больше будет жесткость балки. И тут даже не линейная зависимость, потому как например момент инерции поперечного прямоугольного сечения I = bh3/12.

Однако ничего странного тут нет, действительно, чем больше высота балки, тем больше в итоге жесткость балки и тем меньше прогиб балки. Но при этом необходимо учитывать возрастающее влияние касательных напряжений на это относительно небольшое значение прогиба.

То есть, чем больше высота балки по отношению к длине, тем сильнее балка, с точки зрения строительной механики рассматриваемая как стержень, приближается к пластине.

Как мы знаем, особенность касательных напряжений в том, что они в отличие от нормальных напряжений, приводящих к линейным деформациям, зависящим от модуля упругости материала балки Е, вызывают деформацию сдвига. Соответственно величина деформации сдвига зависит от значения модуля сдвига G и при более точных расчетах это нужно учитывать.

Для этого может использоваться следующее уравнение, учитывающее действие касательных напряжений:

∫dx∫Mxdx/EI + k∫(Qx/GF)dx = fx (536.1)

где k - безразмерный коэффициент, зависящий от геометрической формы поперечного сечения.

- Для балок прямоугольного сечения k = 6/5

- Для балок сплошного круглого сечения k = 10/9,

- Для тонкостенных труб - k = 2.

Примечание: Нормальные напряжения, действующие вдоль оси х, и вызывающие линейные деформации вдоль оси х, сами по себе вроде бы не приводят к прогибу - вертикальному смещению нейтральной оси балки вдоль оси у. Однако в результате линейных деформаций, различных по высоте балки, изменяется угол наклона поперечного сечения, в результате прогиб зависит от угла наклона поперечного сечения. Поэтому для определения прогиба уравнение момента интегрируется дважды. В свою очередь касательные напряжения действуют вдоль оси у и деформация сдвига происходит сразу вдоль оси у, поэтому для учета влияния касательных напряжений уравнение поперечных сил интегрируется один раз.

Возможно это и не самое правильное объяснение природы действия касательных напряжений, но зато достаточно наглядное. Другие возможные объяснения, в частности рассматривающие плоское напряженное состояние в различных точках балки, я здесь не привожу.

Определение прогиба балки с учетом поперечных сил

Рассмотрим влияние поперечных сил на значение прогиба на следующем достаточно простом примере.

Имеется консольная балка, на конце балки приложена сосредоточенная нагрузка, проще говоря, сила Q. Уравнения моментов и поперечных сил, действующих в поперечных сечениях такой балки, давно известны и очень просты:

Мх = Q(x - l) (536.2)

Qx = Q (536.3)

Кроме того, нам известны начальные параметры для такой балки:

М0 = Ql (536.4.1)

Q0 = Q (536.4.2)

θ0 = 0 (536.4.3)

f0 = 0 (536.4.4)

Проинтегрировав уравнения момента и поперечных сил с учетом значений начальных параметров, получим:

fx = Q(x3/6 - lx2/2)/EI - kQx/GF (536.5)

В данном случае отрицательный знак перед вторым членом уравнения в правой части учитывает отрицательное направление прогиба. Впрочем как и интегрируемое уравнение момента.

Максимальный прогиб балки будет в конце - в точке приложения сосредоточенной силы (х = l), тогда:

- fl = Ql3/3EI + kQl/GF (536.6)

В принципе все необходимые данные для определения прогиба уже есть, тем не менее попробуем привести правую часть уравнения к общему знаменателю, чтобы оценить влияние прогиба от поперечных сил на общее значение прогиба. 

Модуль сдвига и модуль упругости материала связаны между собой следующей зависимостью:

Е = 2(1 + μ)G (318.3.9)

из этого следует, что

G = E/2(1 + μ) (536.7)

где μ - это коэффициент Пуассона.

А чтобы получить момент инерции сечения I, нужно площадь сечения F = bh умножить на h2 и разделить на 12:

Fh2/12 = I (536.8.1)

из этого следует, что

F = 12I/h2 (536.8.2)

Тогда,

GF = 6EI/((1 + μ)h2) (536.9)

Подставим полученные значения в уравнение (536.6):

- fl = Ql3/3EI + 2kQlh2(1 + µ)/12EI = (Ql3 + kQlh2(1 + μ)/2)/3EI (536.10)

А чтобы вынести в правой части уравнения (536.6) выражение Ql3 за скобки, умножим и разделим член уравнения (536.10) на l2:

- fl = (Ql3(1 + kh2(1 + μ)/2l2)/3EI (536.11)

Если мы заменим достаточно длинное выражение kh2(1 + μ)2l2 неким коэффициентом λ:

λ = k(1 + μ)h2/2l2 (536.12)

То форма записи уравнения (536.11) значительно сократится:

- fl  = Ql3(1 + λ)/3EI (536.13)

При этом коэффициент λ как раз и будет показывать приращение прогиба, зависящее от высоты балки. То есть для того, чтобы оценить влияние на прогиб высоты балки при соответствующей длине, достаточно определить значение коэффициента λ. И даже абсолютные значения высоты и длины балки при этом не нужны, достаточно знать отношение длины к высоте.

Например для балки прямоугольного сечения, материал которой имеет коэффициент Пуассона μ = 0.3 и соотношение l/h = 10, т.е. h/l = 0.1, значение λ составит:

λ = 6(1 + 0.3)0.12/2·5 = 0.0078

или 0.78% от прогиба, происходящего в результате действия нормальных напряжений.

При соотношении h/l = 0.2 влияние поперечных сил для такой балки оценивается в 3.1%, а при соотношении h/l = 0.5 - в 19.5%.

И так далее.

На главную домой

Категории:
Оценка пользователей: Нет
Переходов на сайт:1
Комментарии:

Комментариев нет

Добавить свой комментарий:

Имя:

E-Mail адрес:

Комментарий:

Ваша оценка:

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье "Записаться на прием к доктору" (ссылка в шапке сайта).




советы по строительству и ремонту



После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью и адресом электронной почты. Если вы хотите задать вопрос, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Спасибо. Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий к соответствующей статье.

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

На всякий случай кошелек webmoney: R158114101090

Или: Z166164591614


Доктор Лом. Первая помощь при ремонте, Copyright © 2010-2017