Сопромат для чайников, основные расчетные формулы

Итак, давайте разбираться, зачем понадобилось ломать школьную линейку, оставляя детей без школьных принадлежностей, и чем это может нам помочь. Пришло время добавить к наглядности несколько формул, тут все будет почти так же просто и понятно, как и в первой части сопромата для чайников, но понадобятся знания математики на уровне 4-5 классов и начальные знания по геометрии.

Основы сопромата, расчет прогиба балки

Часто при расчете строительных конструкций важно определить не только геометрические параметры сечения конструкции, но и величину прогиба конструкции с точностью до миллиметра. Дело в том, что величина прогиба для любой конструкции нормируется различными СНиПами и не должна превышать 1/250 для балок междуэтажных перекрытий, 1/200 для чердачных перекрытий и перемычек и так далее, список длинный. Когда расчет производится для себя (например строится частный дом и нужно сделать балки перекрытия или перемычки), то определять величину прогиба не обязательно, никто Вас ругать не будет, главное чтобы по несущей способности расчет был верный, но все же определить прогиб конструкции желательно. Ведь знание величины прогиба позволить более точно выбрать, например, вариант отделки потолка.

Сопромат для чайников

По большому счету основы теории сопротивления материалов (сопромата) даже проще, чем таблица умножения. Таблица умножения большая, ее нужно тупо заучить как "Отче наш", а основы сопромата сводятся к нескольким основным положениям, которые достаточно легко наглядно продемонстрировать и потому их легко запомнить даже абсолютному "чайнику" в сопромате.

Впрочем, это мое субъективное мнение. Многие люди считают, что сопромат - это очень сложно, даже поговорка такая есть:"сдал сопромат - можно жениться". Гуманитариям и врачам проще проштудировать перед сессией десяток увесистых томов, а людям с аналитическим складом ума проще запомнить несколько основных положений той или иной дисциплины и даже все формулы помнить не обязательно. Большинство формул можно вывести самому, пользуясь математическим аппаратом и опираясь на основные положения, во всяком случае я во время сдачи экзаменов именно так и делал.

Обстоятельства сложились так, что вступительный курс лекций по сопромату я пропустил, так как вернулся после службы на флоте в институт за 2 недели до сессии, поэтому основы сопромата пришлось постигать самому, за что самый суровый и неподкупный препод на потоке, заваливший не одну сотню студентов, поставил мне пятерку. Ну и понеслось, преподаватели, видя пятерку по сопромату, ставить меньшую отметку по своему предмету не решались и в итоге у меня получился красный диплом.

Впрочем не будем отвлекаться, а вернемся к основам в изложении такого же чайника, как и некоторые из вас.

Приведение сосредоточенной нагрузки к эквивалентной равномерно распределенной

При расчете некоторых строительных конструкций, например, балок перекрытия, перемычек для несущих стен, стропильных ног и т.п. иногда приходится учитывать, что часть нагрузок, действующих на такие конструкции является равномерно распределенной, при этом другая часть - это условно сосредоточенные нагрузки.

Это в свою очередь означает, что расчет нужно вести по разным формулам, например, определять максимальное значение изгибающего момента отдельно для равномерно распределенной нагрузки и отдельно для сосредоточенных нагрузок. То же касается и определения максимального прогиба конструкции. Хорошо, если такая сосредоточенная нагрузка только одна, расчеты при этом не сильно усложнятся, а вот если таких сосредоточенных нагрузок несколько, да еще и приложены они на разных расстояниях друг от друга и несимметрично, то расчет становится достаточно сложным. Между тем, чем больше на строительную конструкцию действует сосредоточенных нагрузок, тем ближе суммарная эпюра моментов от этих сосредоточенных нагрузок к эпюре от равномерно распределенной нагрузки. Поэтому для упрощения расчетов конструкций постоянного по длине сечения вполне допустимо заменять сосредоточенные нагрузки на эквивалентную равномерно распределенную. Однако делать это нужно осторожно, так как варианты приложения сосредоточенных нагрузок бывают разные:

Виды опор, какую расчетную схему выбрать

Однопролетные строительные конструкции могут опираться на что угодно и закреплены при этом могут быть по-разному. Металлические и железобетонные перемычки, плиты перекрытия как правило укладываются на цементно-песчаный раствор, деревянные балки перекрытия могут быть прибиты гвоздями или прикручены шурупами или просто оперты на стены, элементы железобетонного каркаса обычно соединяются с помощью электросварки и бетонирования, металлические конструкции могут быть соединены при помощи сварки, болтов или заклепок. Но строительная механика таких способов опирания и закрепления не знает, а предлагает нам для расчетов совсем другие варианты опор, из которых самые распространенные - это шарнирное опирание и жесткое защемление на опоре. А ведь при расчете строительных конструкций одна их первейших задач - это определение опорных связей, проще говоря, выбор опор. Понять, почему это так важно, поможет следующий пример:

Основы сопромата. Определение касательных напряжений.

Расчет разного рода балок, особенно постоянного прямоугольного сечения, на прочность при действии касательных напряжений очень редко является определяющим в отличие от приведенных выше расчетов. Тем не менее знать, что такое - касательные напряжения - и как они влияют на работу конструкции, пусть даже очень упрощенно, но все-таки надо

Основы сопромата, момент сопротивления

Как мы уже говорили, любой материал сопротивляется растяжению или сжатию до известного предела, после которого сопротивление бесполезно. В сопромате такой предел называется "расчетным сопротивлением" и обозначается литерой "R", как и электрическое сопротивление. Измеряется расчетное сопротивление в МПа или кгс/см². Физический смысл расчетного сопротивления очень простой - значение расчетного сопротивления означает, с какой силой можно воздействовать на некоторую площадь поперечного сечения материала. Поэтому расчетное сопротивление и измеряется в МПа, Н/см² или кгс/см².

Расчет на растяжение стержня

Расчет на прочность прямолинейного стержня при действии центрально приложенной растягивающей силы является одной из самых простых задач в теории сопротивления материалов.

Смысл данного расчета сводится к тому, чтобы обеспечить необходимую прочность материала, исходя из условия:

N/F = σ < R_р (525.1)

Приведение неравномерно распределенной нагрузки к эквивалентной равномерно распределенной

Иногда при расчете конструкций, на которые действует симметричная распределенная нагрузка, описываемая достаточно сложными уравнениями, возникает необходимость привести данную нагрузку к эквивалентной равномерно распределенной для упрощения этих самых расчетов.

Так например, все мы знаем, что максимальный изгибающий момент при действии равномерно распределенной нагрузки на шарнирно опертую балку будет в середине пролета (l/2) и составит:

Что такое жесткость и гибкость элементов

Разницу в работе гибких и жестких стержней под воздействием нагрузки люди заметили достаточно давно. Так один из мастеров восточных единоборств, гуляя по зимнему саду, сделал примерно следующий вывод: жесткая сухая ветка под тяжестью налипшего снега ломается, а гибкая ветка прогибается и, сбросив налипший снег, возвращается в прежнее положение с минимумом повреждений.

Если перевести это гибкую поэтическую аллегорию, помогавшую мастеру восточных единоборств привлекать новых учеников, на современный жесткий язык теории сопротивления материалов, то звучать это будет примерно так: если напряжения в рассматриваемом поперечном сечении жесткого элемента конструкции превышают значение нормативного сопротивления, то это приведет сначала к значительным пластическим деформациям, а затем, при увеличении напряжений, и к разрушению жесткого элемента (будет это разрушение хрупким или вязким, принципиального значения не имеет). В то же время гибкий элемент конструкции под действием такой же нагрузки, не разрушится, но потеряет устойчивость.

Какой момент инерции выбрать?

В последнее время мне все чаще задают вопрос: какой момент инерции выбрать для расчетов балки и почему? А после этого добавляют примерно следующее: "во всех учебниках сопромата пишут только, что сечение должно стремиться к квадрату, но в жизни часто встречается двутавр, например" или "всюду пишут, что сечение должно стремиться к квадрату и брать надо наименьший момент инерции. Никак не могу ухватить за хвост физический смысл, можно это как-то на пальцах истрактовать?".

Момент силы

Момент силы - это сила, умноженная на плечо действия. Измеряется момент силы в Ньтон-метрах (Нм) - система СИ, или килограммсилметрах (кгс·м) - система СГС. Физический смысл момента силы понял еще Архимед, открывший принцип рычага. И действительно в его предложении: "дайте мне точку опоры и я переверну мир" с точки зрения физики нет ничего невозможного.

Формула для определения момента силы на удивление проста:

Момент инерции, куда пропала скорость?

Несколько лет назад я написал статью "Моменты инерции поперечного сечения", где попытался в максимально упрощенной и доступной форме изложить, в чем именню по моему мнению смысл понятия - момент инерции поперечного сечения и откуда он взялся.

Статья получилась достаточно большой. Я, хоть и не Толстой Л.Н., но тоже люблю разливаться мыслью по древу, но некоторые моменты все равно оказались упущены или недостаточно акцентированы, что у некоторых, хотя далеко не у всех читалей вызывает вопросы.

Формула прогиба

В статье "Расчетные схемы для балок" задается достаточно много вопросов и делается достаточно много комментариев на тему правильности той или иной формулы. Как правило я отвечаю на вопросы там же в комментариях, но на этот раз тема неординарная и я решил вынести ее в отдельную статью. К тому же в комментариях степень числа можно отобразить только как ^, а это затрудняет восприятие.

Сначала приведу переписку из комментариев касательно правильности формулы прогиба:

Музыкальная теория расчета гибких нитей (Часть 1)

Когда шаловливые дети играют с гитарой, а не на гитаре, например, пытаются поднять гитару за одну струну - ту, что посредине, если гитара семиструнная, то родители, увидев такую шалость, могут ребенка и поругать.

Потому что из-за этого гитара может расстроиться. В самом прямом и натуральном смысле этого слова. Настроить гитару теперь далеко не каждый сможет, а услуги настройщика стоят дорого. Кроме денежных расходов и потерь времени тут вполне может случиться целая лекция на вольные темы от старого, почти выжившего из ума настройщика. А кому оно надо? За свои же деньги - лишний геммор, да на свою же голову!

Но если один из родителей еще и разбирается в сопромате, то, увидев столь вольное обращение с гитарой, может ребенка и наказать. Причем очень строго: за грубое нарушение теории расчета гибких нитей. Вот так! Не меньше!

Музыкальная теория расчета гибких нитей - маленькая теоркомедия в 4 актах

 Итак, маленькая теоркомедия в 4 актах.

Акт первый

Мы начинаем прикладывать условно сосредоточенную нагрузку Q к струне в центре тяжести гитары, на расстоянии l/2 от опор.

Т = 0; V_A = V_B = 0; H_A = H_B = 0; V_{A(гитары)} = V_{B(гитары)} = Q/2 = ql/2 (690.2)

Гитара - в СССР.

Конец первого акта